【正文】 濾波器的工作原理 我們知道，模擬濾波器是對(duì)模擬信 號(hào)實(shí)行線性濾波的一種線性時(shí)不變系統(tǒng)，如圖 所示。 2 圖 模擬濾波器原理 在頻域分析時(shí)，線性濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù) ??SHa 等于系統(tǒng)的單位沖激函數(shù)的 響應(yīng))(tha 的拉普拉斯變換： ? ? ?????????? ? dtehH stta （ ） 很明顯，當(dāng) s=jω ，上式就是傅立葉變換的表達(dá)式，它反映了濾波器的傳輸特性對(duì)各種頻率的響應(yīng)，也就是濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù) ? ??jHa ，它決定著濾波特性。還可以看出，濾波器的濾波過(guò)程就是完成信號(hào) ??txa 與它的單位沖激函數(shù)響應(yīng) ??tha 之間的數(shù)學(xué)卷積運(yùn)算 過(guò)程 。因 ? ?n? 在時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)中所起的作用相當(dāng)于單位沖 激函數(shù)在時(shí)域連續(xù)信號(hào)和系統(tǒng)中所起的作用 。如果利用離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)數(shù)字信號(hào)（時(shí)間離散、幅度量化的信號(hào)）進(jìn)行濾波則構(gòu)成數(shù)字濾波器。 無(wú)限沖擊響應(yīng) IIR 和有限沖擊響應(yīng) FIR濾波器 按系統(tǒng)沖擊響應(yīng)（或差分方程）可以分成無(wú)限沖擊響應(yīng) IIR 和有限沖擊響應(yīng) FIR濾波器兩類。具體的有最大通帶增益（即通帶允許起伏 ? ）；最大阻帶增益 ? ；通帶截止頻率 p? ；阻帶截止頻率s? 。這些典型的濾波器各有特點(diǎn)：巴特沃斯濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性在通帶或者阻帶有波動(dòng)發(fā)，可以提高選擇性。 （ 2）確定濾波器階數(shù) （ 3）設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器。對(duì)于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成： 2)2)()0(lg10paapjHjH??? （ ） 2)2)()0(lg10saapjHjH??? （ ） 如果Ω =0 處幅度已歸一化為一，即 ? ? 1??jHa ， p? 和 s? 表示為 2)(lg10 pap jH ???? （ ） 2)(lg10 sas jH ???? （ ） 以 上 技 術(shù) 指 標(biāo) 用 圖 表 示 ， 圖 中 c? 稱為 3dB 截 止 頻 率 ， 因? ? 21??ca jH ,20 ? ? dBjH ca 3?? 8 圖 低通濾波器的幅度特性 濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定以后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù) ??sHa ，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo) p? 和 s? ，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此 ????? js2 |)()()( sHaHjH aaa = )()( ?? ? jHjH aa () 如果能由 p? ， p? ， s? ， s? 求出 ? ?2?jHa ，那么就可以求出所需的 ??sHa ，對(duì)于上面介紹的典型濾波器，其幅度平方函數(shù)有自己的表達(dá)式，可以直接引用。它的幅頻特性模平方為 222 ))(11()(Nca jH????? () 式中 N 是濾波器的階數(shù)。 （ 2）通帶，阻帶下降的單調(diào)性。 圖 不同階數(shù) N 的巴特沃斯濾波器特性 現(xiàn)根據(jù)式（ ）求巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù) Ha（ s）。所有復(fù)數(shù)極點(diǎn)兩兩呈共軛對(duì)稱分布。 ? ? ? ??????Nk kNca sssH1 （ ） 當(dāng) N 為偶數(shù)時(shí) ? ?? ?? ? ????? ?????? ???????? ??????????212221 2212c o s2Nk ccNckNk kNcasNkssssssH?? （ ） 當(dāng) N 為奇數(shù)時(shí) ? ?? ???????????? ???????? ??????211222212c os2NkcccNcassNkssH?? （ ） 為使用方便把式（ ）和式（ ）對(duì) c? 進(jìn) 行歸一化處理，為此，分子分母各除以 Nc? ，并令css ??? ， s? 稱為歸一化復(fù)頻率： c? jΩ δ c?? 11 ? ? ? ??? ?????? ???????? ??????Nka sNkssH12 12212c o s21??（ N 為偶數(shù)） （ ） ? ?? ? ? ???????????? ???????? ??????2112 112212c o s21NkassNkssH?? （ N 為奇數(shù)）（ ） 用歸一化頻率 c????? / 表示的頻率特性稱為原型濾波特性（Ω ? 即歸一化復(fù)頻率 s 的虛部）。 p? ， S? ， SR ， PR 的意義如圖所示。 切比雪夫?yàn)V波器及最小階數(shù)的選擇 巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無(wú)論在通帶和阻帶都是頻率的單調(diào)函數(shù)。 切比雪夫?yàn)V波器的振幅特性就是具有這種等波紋特性。圖（ ）畫出了 ??xT1 — ??xT4多項(xiàng)式特性曲線，從這組特性曲線可以看出：│ x│≤ 1 時(shí)， ??xTN 在177。 （ 2） 在通帶內(nèi)│Ω / c? │≤ 1， ? ??jHa 在 1 和211?? 之間變化；在通帶外，│Ω / c? │ 1，特性呈單調(diào)下降，下降速度為 20NdB/dec。即相位是非線性的，這給信號(hào)傳輸時(shí)帶來(lái)線性畸變，所以在要求群時(shí)延為常數(shù)時(shí)不宜采用這種濾波器。 a b ζ jΩ 圖 16 極點(diǎn)所在的橢圓可以和半徑為 a 的圓和半徑為 b 的圓聯(lián)系起來(lái)，這兩個(gè)圓分別稱為巴特沃斯小圓和巴特沃斯大圓。 17 和 butterworth 低通模擬濾波器設(shè)計(jì)一樣，若給定性能指標(biāo)要求： c? ， s? ， PR ，sR 確定 Chebyshev 低通模擬濾波器最小階數(shù) N 和截止頻率 c? （ 3dB 頻率）。何以上濾波器相比，相同的性能指標(biāo)所需要的階數(shù)最小。在零頻時(shí)的群延遲為 NNNN/1!)!2(2 ??????。它既適合編寫小巧玲瓏的程序，也適合于開(kāi)發(fā)復(fù)雜的大型應(yīng)用程序。它既包括二維和三維的數(shù)據(jù)可 視化、圖像處理、動(dòng)畫等高層指令， 19 也包括低層的繪圖指令，允許用戶為應(yīng)用程序設(shè)計(jì)自己的用戶圖形界面。它是一組動(dòng)態(tài)的庫(kù)函數(shù)，使得用戶 在自己的C 和 Fortran 程序中可以和 MATLAB 交互，調(diào)用 MATLAB 的動(dòng)態(tài)鏈接庫(kù)作計(jì)算。 人機(jī)界面適合科技人員 ① 語(yǔ)言規(guī)則與科技人員的書(shū)寫習(xí)慣相近，因此易讀易寫，易于在科技人員之間交流 。這些都大大減輕了編程和調(diào) 試的工作量。④如果數(shù)據(jù)齊全，一條命令即可畫出圖來(lái)。 MATLAB 軟件包括基本部分和專業(yè)擴(kuò)展部分。通過(guò)這些工作，已經(jīng)發(fā)展起來(lái)的工具箱有控制系統(tǒng)、信號(hào)處理、圖像處理、系統(tǒng)辨識(shí)、模糊集合、神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)、小波分析等 20 余個(gè)。 （ 3） 計(jì)模擬低通濾波原型濾波器。但是，按照這種設(shè)計(jì)思想的編程較為麻煩。 設(shè)計(jì)指標(biāo)：通帶截止頻率 p? =200π，阻帶截止頻率 s? =300π，通帶衰減 pR =1dB，阻帶衰減 sR =16dB。 Rs=16。s39。 magH=abs(H)。Frequency(Hz)39。)。, sR np ? ) [b,a]=cheby1(n, 39。, sftypeR np ? ) 其中， pR 為通帶波紋（ dB） , n? 為濾波器截止頻率，‘ s’為模擬濾波器，確省 22 時(shí)為數(shù)字濾波器。 Rp=1。) [b,a]=cheby1(N,Rp,Wn,39。)。 phaH=unwrap(angle(H))。)。 grid on N =1 Wn = +005 模擬帶通濾波器的仿真 圖 模擬高通濾波器仿真 23 函數(shù) BUTTER 用于 Butterworth 濾波器設(shè)計(jì)，調(diào)用格式： [b,a]=butter(n, n? ,’s’) [b,a]=butter(n, n? ,’ftype’,’s’) 其中， n 為濾波器階數(shù)； n? 為濾波器截止頻率，‘ s’為模擬濾波器，確省時(shí)為數(shù)字濾波器。 %Matlab %Design a butterworth analog bandpass filter Wp=[1000 2020]*2*pi。 [N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,39。)。 wp=[500 2500]*2*pi。s39。s39。 magH=abs(H)。Frequency(Hz)39。)。具體做法是：先根據(jù)對(duì)高通、帶通、帶阻等濾波器特性指標(biāo)要求，導(dǎo)出相應(yīng)的低通原型的指標(biāo)來(lái)，確定低通原型的 ()Hs，再根據(jù)一定變換關(guān)系得出高通、帶通、帶阻濾波器的 ()Hs。低通原型與帶通傳遞函數(shù)的變換關(guān)系為 222sp s??? （ ） 而 sj??，有 222p j j?? ? ???? （ ） cz???? 0 zc?? | ( )|HHj? ? ? zc?? ? | ( )|LHj? 0 ? 27 說(shuō)明 S 平面中的虛軸證號(hào)映射到 P 平面的虛軸上，并有下列頻率變換關(guān)系存在 222? ? ???? （ ） 其頻率變換關(guān)系曲線如圖 所示，由上式曲線應(yīng)對(duì)稱于原點(diǎn)，圖中只給出了 0?? 的部分。 利用頻率變換方法求解帶通傳遞函數(shù)的具體思路是：由給定帶通指標(biāo)：通帶寬度B、帶通通帶中心頻率 2? 、通帶衰減 1? 、阻帶始點(diǎn)頻率 1z? 與 2z? 、阻帶衰減 2? 等，求出低通原型指標(biāo) c? 及阻帶始點(diǎn)頻率 z? ；然后按低通原型指標(biāo)確定低通原型傳遞函數(shù) ()Hp；再代入（ ）可以得到帶通傳遞函數(shù) ()BHs為 222( ) ( ) |BL sp sH s H p ???? 實(shí)際上，也可以講一個(gè)低通濾波器與一個(gè)高通濾波器相聯(lián)接，只要低通濾波器的截止頻率 Lc? 大于高通濾波器的截止頻率 Hc? 即可，如圖 所示。 30 低通與高通相聯(lián)接組成帶阻濾波器的原理 5 總結(jié)與展望 幾乎在所有的工程技術(shù)領(lǐng)域中都會(huì)涉及到信號(hào)處理問(wèn)題 ，濾波器作為信號(hào)處理的重要組成部分，已發(fā)展的相當(dāng)成熟。 信號(hào)處理已有一段悠久而豐富的歷史了 , ,這一領(lǐng)域總是得益于它的理論 ,應(yīng)用與實(shí)現(xiàn)信號(hào)處理系統(tǒng)的技術(shù)之間的緊密結(jié)合 , 日見(jiàn)增長(zhǎng)的應(yīng)用范圍和日益增長(zhǎng)的高級(jí)算法的需求總是與現(xiàn)實(shí)信號(hào)處理系統(tǒng)的器件技術(shù)的快速發(fā)展齊頭并進(jìn) .在許多方面都清楚的表明 ,信號(hào)處理的重要性和理系統(tǒng)也將會(huì)實(shí)現(xiàn)。本設(shè)計(jì)的目的就是為了在數(shù)字信號(hào)處理濾波理論方面給出一種條理清晰的論述。 32 參 考文獻(xiàn) 1 王世一 .數(shù)字信號(hào)處理 .北京理工大學(xué)出版社 . 1997 2 Bernard Gold, Lawrence R. Rabiner. Theory and Application of Digital Signal Processing. PrenticeHall. Inc., 1975 3 Dimitris G. Manolakis, John G. Proakis. Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications. Macmillan Publishing Company. 1992 4 丁玉美 高西全 數(shù)字信號(hào)處理 西安電子科技大學(xué) 5 王金龍 沈良 無(wú)線通信系統(tǒng) 人民郵電出版社 6 樓順天 基于 matlab 的系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì) 西安電子科技大學(xué)