【正文】 響應函數(shù) ? ??jHa ，它決定著濾波特性。在頻譜關系上，一個輸入信號的頻譜? ??jaX ，經過濾波器的作用后，被變換成 ? ? ? ??? jXjH aa 的頻譜。還可以看出，濾波器的濾波過程就是完成信號 ??txa 與它的單位沖激函數(shù)響應 ??tha 之間的數(shù)學卷積運算 過程 。如圖 所示。因 ? ?n? 在時域離散信號和系統(tǒng)中所起的作用相當于單位沖 激函數(shù)在時域連續(xù)信號和系統(tǒng)中所起的作用 。由此可見，輸入序列的頻譜 ? ?TjeX ? 經過濾波后，變?yōu)?? ? ? ?TjTj eXeH ?? ，按照 ? ?TjeX ? 的特點和我們處理信號的目的，選取適當?shù)?? ?TjeH ?使的濾波后的 ? ? ? ?TjTj eXeH ?? 符合我們的要求 。如果利用離散時間系統(tǒng)對數(shù)字信號（時間離散、幅度量化的信號）進行濾波則構成數(shù)字濾波器。 按信號通過系統(tǒng)時的特性（主要是幅 頻特性）來分類：可以有低通、高通、帶通 4 和帶阻四種基本類型。 無限沖擊響應 IIR 和有限沖擊響應 FIR濾波器 按系統(tǒng)沖擊響應（或差分方程）可以分成無限沖擊響應 IIR 和有限沖擊響應 FIR濾波器兩類。 (1) FIR 濾波器 (非遞歸型 ): ??? ?? 10 )()()( Nm mnxmhny ??? ?? 10 )()( Nn nZnhZH (2) IIR 濾波器（遞歸型） ? ?? ? ???? Nk Mk knxbknyany kk1 0 )()()( ????????? NkkMkkzazbzXzYzHkk101)()()( 還有一些其他的分類方法，例如在特定場合使用的濾波器。具體的有最大通帶增益（即通帶允許起伏 ? ）；最大阻帶增益 ? ；通帶截止頻率 p? ；阻帶截止頻率s? 。這些工作的理論分析和設計方法在 20 世紀 30 年代就完成，然而煩瑣 .冗長的數(shù)字計算使它難以付諸實用。這些典型的濾波器各有特點：巴特沃斯濾波器具有單調下降的幅頻特性；切比雪夫濾波器的幅頻特性在通帶或者阻帶有波動發(fā)，可以提高選擇性。 模擬濾波器按幅度特征可以分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器。 （ 2）確定濾波器階數(shù) （ 3）設計模擬低通原型濾波器。 模擬低通濾波器的設計指標有 p? ， p? 和 s? ，其中 p? 和 s? 分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率。對于單調下降的幅度特性，可表示成： 2)2)()0(lg10paapjHjH??? （ ） 2)2)()0(lg10saapjHjH??? （ ） 如果Ω =0 處幅度已歸一化為一，即 ? ? 1??jHa ， p? 和 s? 表示為 2)(lg10 pap jH ???? （ ） 2)(lg10 sas jH ???? （ ） 以 上 技 術 指 標 用 圖 表 示 ， 圖 中 c? 稱為 3dB 截 止 頻 率 ， 因? ? 21??ca jH ,20 ? ? dBjH ca 3?? 8 圖 低通濾波器的幅度特性 濾波器的技術指標給定以后，需要設計一個傳輸函數(shù) ??sHa ，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標 p? 和 s? ，一般濾波器的單位沖激響應為實數(shù)，因此 ????? js2 |)()()( sHaHjH aaa = )()( ?? ? jHjH aa () 如果能由 p? ， p? ， s? ， s? 求出 ? ?2?jHa ，那么就可以求出所需的 ??sHa ，對于上面介紹的典型濾波器，其幅度平方函數(shù)有自己的表達式，可以直接引用。因此極點必須落在 s 平面的左半平面，相應的 ? ?sHa ? 的極點落在右半平面。它的幅頻特性模平方為 222 ))(11()(Nca jH????? () 式中 N 是濾波器的階數(shù)。 不同階數(shù) N 的巴特沃斯濾波器特性如 圖 所示，這一幅頻特性具有下列特點： （ 1）最大平坦性：可以證明：在Ω =0 點，它的前（ 2N1）階導數(shù)都等于 0，這表明巴特沃斯濾波器在Ω =0 附近一段范圍內是非常平直的，它以原點的最大平坦性來逼近理想低通濾波器。 （ 2）通帶，阻帶下降的單調性。 （ 3） 3dB 的不變性：隨著 N 的增加，頻帶邊緣下降越陡峭，越接近理想特性，但不管 N 是多少，幅頻特性都通過 3dB 點。 圖 不同階數(shù) N 的巴特沃斯濾波器特性 現(xiàn)根據(jù)式（ ）求巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù) Ha（ s）。 (2)所有極點以 jΩ軸為對稱軸成對稱分布， jΩ軸上沒有極點。所有復數(shù)極點兩兩呈共軛對稱分布。全部零點位于 s=∞處。 ? ? ? ??????Nk kNca sssH1 （ ） 當 N 為偶數(shù)時 ? ?? ?? ? ????? ?????? ???????? ??????????212221 2212c o s2Nk ccNckNk kNcasNkssssssH?? （ ） 當 N 為奇數(shù)時 ? ?? ???????????? ???????? ??????211222212c os2NkcccNcassNkssH?? （ ） 為使用方便把式（ ）和式（ ）對 c? 進 行歸一化處理，為此，分子分母各除以 Nc? ，并令css ??? ， s? 稱為歸一化復頻率： c? jΩ δ c?? 11 ? ? ? ??? ?????? ???????? ??????Nka sNkssH12 12212c o s21??（ N 為偶數(shù)） （ ） ? ?? ? ? ???????????? ???????? ??????2112 112212c o s21NkassNkssH?? （ N 為奇數(shù)）（ ） 用歸一化頻率 c????? / 表示的頻率特性稱為原型濾波特性（Ω ? 即歸一化復頻率 s 的虛部）。在低通原型濾波頻率特性上，截止頻率 c? =1。 p? ， S? ， SR ， PR 的意義如圖所示。 同理，當 ? = c? 時， 2020)( SRjH ??? ，?????????????????NCPSR210)(11lg10?? 。 切比雪夫濾波器及最小階數(shù)的選擇 巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶和阻帶都是頻率的單調函數(shù)。因此，更有效的設計方法應該是將精確度均勻地分布在整個通帶內。 切比雪夫濾波器的振幅特性就是具有這種等波紋特性。采用何種型式切比雪夫濾波器取決于實際用途。圖（ ）畫出了 ??xT1 — ??xT4多項式特性曲線，從這組特性曲線可以看出：│ x│≤ 1 時， ??xTN 在177。此外，切比雪夫多項式滿足下列遞推公式 ? ? ? ? ? ?xTxxTxT NNN 11 2 ?? ?? N=1， 2 ? （ ） 圖 （ a）是按式（ ）畫出的切比雪夫等波紋濾波器的幅頻特性，圖 （ b）是通帶內起伏與 ? ???NT 的關系。 （ 2） 在通帶內│Ω / c? │≤ 1， ? ??jHa 在 1 和211?? 之間變化；在通帶外，│Ω / c? │ 1，特性呈單調下降，下降速度為 20NdB/dec。通帶內誤差分布是均勻的，實際上這種逼近稱為最佳一致逼近。即相位是非線性的，這給信號傳輸時帶來線性畸變，所以在要求群時延為常數(shù)時不宜采用這種濾波器。將Ω =js帶入式（ ） ? ? ? ????????? ????jsTsHsHNaa2211? （ ） 為求極點分布需求解方程： 01 22 ????????? ??cN jsT? （ ） 表 N=0~7 時切比雪夫多項式 TN（ x） N TN(x) N TN(x) 0 1 1 x 4 5 188 24 ?? xx xxx 52020 35 ?? 14 2 3 122?x xx 343? 6 7 1184832 246 ??? xxx xxxx 75611264 357 ??? 考慮到cjs? 是復變量，為解出切比雪夫多項式，設： cjs? = ? ? ?????? jj ?????? c o s hc o sc o sc o s （ ） 另把cjs? =cosθΩ ? ??jHa 1 211?? c? N=4 N=5 (a) 1 1 o 1 1 1 1 ?? ?? o ? ?2??jHa ????5T 211?? (b) 圖 切比雪夫濾波特性及內波紋 ? ???NT 關系 1 1 1 1 x T1(x) 1 1 1 1 x T2(x) 1 1 1 1 x T3(x) 1 1 1 1 x T4(x) 圖 T1— T4 切比雪夫特性曲線 15 代入式（ ）， 并 且 令 此 式 等 于?1j?，求解 α ， β ：? ? ?????????? ?????????? ? ?Nj sN arj sTccNc osc osc os ?1j? （ 2. 20） 解的滿足上式的 α， β為 ??????????????????????1sinh1212arNNk （ ） 把 α， β值代回式（ ），求的極點值： ???????????? ??????? ??? 1s i nh1s i nh2 12s i n arNNkjs ckkk + ???????????? ?? ?? 1s i nh12 12c os arNc is hNkj c ， k=1,2,?， 2N () ks 就是切比雪夫濾波器 ? ? ? ?sHsH aa ? 的極點，給定 N， c? ， ε即可求的 2N個極點分布。 a b ζ jΩ 圖 16 極點所在的橢圓可以和半徑為 a 的圓和半徑為 b 的圓聯(lián)系起來，這兩個圓分別稱為巴特沃斯小圓和巴特沃斯大圓。因而切比雪夫濾波器的系統(tǒng)函數(shù)表示為： ? ? ? ????????Nk kNNca sssH112/ ? （ ） 切比雪夫濾波器的截止角頻率 c? 不是像巴特沃斯濾波器中所規(guī)定的（ 3dB）處角頻率，而是通帶邊緣的頻率。 17 和 butterworth 低通模擬濾波器設計一樣，若給定性能指標要求： c? ， s? ， PR ，sR 確定 Chebyshev 低通模擬濾波器最小階數(shù) N 和截止頻率 c? （ 3dB 頻率）。因此，在階數(shù) N的計算公式上是相同的，而 3dB 截止頻率 c? 則不同。何以上濾波器相比，相同的性能指標所需要的階數(shù)最小。由式 ? ? )/(1 1)( 2222CNa EAjH ????? ??? 濾波器的階數(shù)可由下式確定 110 10/ ?? PR? ， 20/10 SRA?