廣義積分概念引入的幾何背景分析(編輯修改稿)
2025-09-13 11:40 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?()bfxd??題。如下圖為無(wú)界函數(shù) f(x)的圖像，f(x) 在(a, b]上有意義，在 a 附近無(wú)界，曲線(xiàn) f(x)下方、x 軸上方 y=b 右邊的區(qū)域的面積為 A。x=bba xy0分析： 我們將 x=0 向左平移 (a b),此時(shí)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為定積分的問(wèn)題。?由 f(x)，x= ,x=b 以及 x 軸圍成的圖形的面積 A 為 ，a ()bfxd??當(dāng) a 趨向于 0 時(shí)，所求面積為 S= 。0lima?()bfxd?例 1 求曲線(xiàn) 下方、直線(xiàn) 右方、 軸上方、 軸左方的區(qū)域21()fx?1??y的面積。YO X1 x=a分析：所求面積區(qū)域如圖所示。由于 為函數(shù) 的無(wú)窮間斷點(diǎn)，0x?21()fx?故所給區(qū)域不閉合。但平面區(qū)域是閉合的（即平面上的任一點(diǎn)在區(qū)域的內(nèi)部、外部或邊界上是明確的）。由于區(qū)域不閉合，不能用定積分之直接表示其面積。在直線(xiàn) 與 之間做一條垂直于 軸的直線(xiàn) (1 0),得一曲邊梯1x??0a形（如陰影部分所示），其面積課表示為 。需求面積的不封閉區(qū)域可1()afxd??看成由陰影部分所示的曲邊梯形的右邊界 從 左側(cè)向直線(xiàn) 無(wú)限平?00x?移得到。故不封閉區(qū)域的面積可形式上記為 ，其實(shí)質(zhì)為01()f?或 ，即 = 。10lim()afxd????01li()fxd??????fxd?01lim()fd??????解：設(shè)所求曲線(xiàn) 下方、直線(xiàn) 右方、 軸上方、 軸左方的2()f??xy區(qū)域的面積為 A。A= 01()fxd?? = 10lim()af???= 210liadx???= ( )0lia??1a? 由上述計(jì)算結(jié)果可知 發(fā)散，故所求區(qū)域的面積為 。01()fxd?? ??例 2 求曲線(xiàn) 下方、直線(xiàn) 左方、 軸上方、 軸右方的區(qū)域2()fx?1x?xy的面積。分析：所求面積區(qū)域如圖所示。由于 為函數(shù) 的無(wú)窮間斷點(diǎn)，0x21()fx?故所給區(qū)域不閉合。但平面區(qū)域是閉合的。由于區(qū)域不閉合，不能用定積分直接表示其面積。在直線(xiàn) 與 之間作一條垂直于 軸的直線(xiàn) (0 1),得0x?1a一曲邊梯形（如陰影部分所示），其面積課表示為 。需求面積的不封1()afxd??閉區(qū)域可看成由陰影部分所示的曲邊梯形的右邊界 從 右側(cè)向直線(xiàn)?0無(wú)限平移得到。故不封閉區(qū)域的面積可形式上記為 ，其實(shí)質(zhì)為0x? ()f或 ，即 = 。詳解法同例 1。10lim()afdx???10li()fxd?????10()fxd?10limxd?????YO Xx=a 1例 3 求函數(shù) f(x)= 下方、x=1 右方、x=1 左方、 x 軸上方的區(qū)域面21x積。0x = ayx = b1 1 x分析：所求面積如圖所示。由 為函數(shù) f(x)= ，的無(wú)窮間斷點(diǎn)知區(qū)0x?21x域不封閉，故其面積不能用定積分來(lái)直接表示。直線(xiàn) 將區(qū)域分成左右兩個(gè)0
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