對“幾何直觀”概念的幾點辨析(編輯修改稿)
2025-07-22 13:12 本頁面
【文章內容簡介】 ，解釋的過程更是要借助于“形”的細節(jié)嚴謹地開展，是帶有初步的演繹推理的成分（已類似于證明）。而幾何直觀，也是在用“形”，但這個“形”，可以是眼睛見到的，可以是畫出的，也可以是大腦想到的。更重要的是，它是要依托“形”直接地產生對數量關系及事物其它本質屬性的感知，即“未經充分邏輯推理而對事物本質的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質的認識。[6]”直白地講，幾何直觀是一種立足于“形”卻帶有思維跳躍性的解決數學問題的方式，它是基于表象的、在人頭腦中進行的“快捷推理”。如前文所舉的分數大小比較的例子，當學生頭腦中想到“一個圓平均分成四份，其中的一份與平均分成五份中的一份相比”，這時，生活經驗首先介入，然后支撐表象馬上建立，于是“大于”的結果直接就在學生頭腦中形成了。這明顯與用圖形來規(guī)范嚴謹地進行說理是不一樣的。因此，幾何直觀與數形結合雖有一定聯系，卻并非同一意義，這往往為很多人所混淆。也正因為站在這樣的角度，筆者覺得，《標準》對幾何直觀的文字描述還不是最理想，至少是很難讓人將幾何直觀與數形結合中的“以形助數”區(qū)別開來。當然，這也許是筆者理解不夠造成的。三、幾何直觀與直觀幾何談起幾何直觀，我們又不得不提及大家經常聽到的另一個名詞——直觀幾何。那么，幾何直觀和直觀幾何，這兩者又是怎么回事呢？我們在初中階段都經歷過這樣的幾何學習——從定義、公設、公理或已證的命題出發(fā)，通過一系列嚴謹的步驟、嚴密的推理，完成對某個命題的證明。這樣的幾何就是論證幾何，或稱之為證明幾何。論證幾何有利于培養(yǎng)人的邏輯思維能力，提高人的理性思維水平，歐幾里得的《幾何原本》就是一個典范，它為數學的發(fā)展和人類的進步做出了卓越的貢獻。但是，人除了邏輯思維能力之外，還需要形象思維能力。而在幾何的學習中，如果能“從直觀形象這一側面”（希爾伯特語），通過觀察、想象、操作等手段去認識圖形、發(fā)現規(guī)律或解決問題，那么，人的形象思維能力就會得到良好發(fā)展，發(fā)現能力和創(chuàng)新精神也會得到有效培養(yǎng)。這種“通過圖形進行觀察，根據直觀認識來研究圖形的性質和相關問題，以這種方法為主要手段的幾何學叫直觀幾何。[7]”在小學數學中，由于學生的年齡特點和認知特點，他們學習幾何需要更多地從經驗入手，通過觀察比較，或通過動手操作，從而獲得對圖形的認識，并發(fā)展空間觀念。舉些例子來說明：如，在學習兩直線相交的相關知識時，我們引導學生通過觀察、比較，他們就會得出對頂角（學生叫對角）相等的結論（圖2）。倘若學生有疑義，則可讓他們借助工具來測量，那就一定會得出這樣的結論。再如，在學習平行四邊形面積時，我們也是讓學生通過觀察，想象到沿著平行四邊形的高剪下一個三角形，拼到另一側就可轉化為一個長方形（圖3），然后進行對比，找到兩
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