【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 單 次 數(shù)i 為 組 距 ,N 為 總 次 數(shù)表二：三（ 2）班 30名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)頻數(shù)分布表 分組 區(qū)間 組中值 xc 簡(jiǎn)單 頻數(shù) f 相對(duì)次數(shù)f/N% 累積 頻數(shù)Fb Fa 累積百分比 % 90 95 1 30 1 80 85 7 29 8 70 75 10 22 18 60 60 65 7 12 25 50 55 3 10 5 28 40 45 2 2 30 100 Σx 30 中數(shù)的意義與應(yīng)用 ? 優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單 ,容易理解 ,中數(shù)的概念簡(jiǎn)單明了 。 ? 缺點(diǎn)：它反應(yīng)不夠表敏 。 ? 計(jì)算中數(shù)時(shí) ,受抽樣的影響較大 ,不如平均數(shù)穩(wěn)定； ? 中數(shù)乘以總數(shù)與數(shù)據(jù)的總和不相等； ? 中數(shù)不能作進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算等等。 ? 在一些特殊情況下，它的應(yīng)用受到重視。這些特殊情況是：當(dāng)一組觀測(cè)結(jié)果中出現(xiàn)兩極端數(shù)目時(shí)。當(dāng)次數(shù)分布的兩端數(shù)據(jù)或個(gè)別數(shù)據(jù)不清楚時(shí)，只能取中數(shù)作為集中趨勢(shì)的代表值。當(dāng)需要快速估計(jì)一組數(shù)據(jù)的代表值是，也常用中數(shù)。 三、眾數(shù)的概念與求法 ? 眾數(shù) (Mode)又稱為范數(shù) ,密集數(shù) ,通常數(shù)等 ,常用符號(hào) M0表示。眾數(shù)是指在次數(shù)分布中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)的數(shù)值。 ? (一 )直接觀察求眾數(shù) ? （二） 用公式法求眾數(shù) ? （三） 眾數(shù)的意義與應(yīng)用 ? (一 )直接觀察求眾數(shù) ? 只憑觀察找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是眾數(shù) 。 ? 4 （二）用公式法求眾數(shù) ? 皮爾遜的經(jīng)驗(yàn)法 (分?jǐn)?shù)分布為正態(tài)分布 ) ? Mo=3Md2M 金氏插補(bǔ)法（了解） 式中 Lb為含眾數(shù)這一區(qū)間的精確下限； fa不高于眾數(shù)所在組一個(gè)組距那一分組區(qū)間的次數(shù)； fb不低于眾數(shù)所在組一個(gè)組距那一分組區(qū)間的次數(shù)； I為組距 若 fa=fb ,則 Mo不次數(shù)最多那一區(qū)間的組中值。 這個(gè)公式適合次數(shù)分布比較偏斜的情況，當(dāng)然，比較接近正態(tài)分布的出適用。 aObabfM L iff? ? ??眾數(shù)的意義與應(yīng)用 ? 眾數(shù)的概念簡(jiǎn)單明了 ,容易理解 。 ? 但它不穩(wěn)定 ,受分組的影響 ， 亦受樣本變動(dòng)的影響 。 ? 反應(yīng)不夠靈敏 ， 觀察眾數(shù) ， 不嚴(yán)格計(jì)算而來(lái) ， 用計(jì)算方法所得眾數(shù)亦是一個(gè)估計(jì)值 。 同時(shí)不能作進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算 。 ? 眾數(shù)也不是一個(gè)優(yōu)良的集中量數(shù) ,應(yīng)用也不廣泛 。 ? 但在下述情況下也常有應(yīng)用： ① 當(dāng)需要快速而粗略地尋求一組數(shù)據(jù)的典型情況時(shí)； ② 當(dāng)一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)同質(zhì)的情況時(shí) ， 可用眾數(shù)表示； 當(dāng)次數(shù)分布中有兩極端的數(shù)目時(shí) ,有時(shí)也用眾數(shù) (一般用中數(shù) )； ④ 當(dāng)粗略估計(jì)次數(shù)分布的形態(tài)時(shí) ,有時(shí)用平均數(shù)與眾數(shù)之差 ,表示次數(shù)分布是否偏態(tài)的指標(biāo) 。 平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)之間的關(guān)系 ? 在一個(gè)正態(tài)分布中 ,平均數(shù) 、 中數(shù) 、 眾數(shù)三者相等 ,因此在數(shù)軸上三點(diǎn)重合 。 ? 在正偏態(tài)分布中 MMdM。 ? 在負(fù)偏態(tài)分布中 MMdM。 ? 平均數(shù)為一個(gè)平衡點(diǎn) ， 是一組數(shù)據(jù)的重心 。 它使數(shù)軸保持平衡 ， 即支點(diǎn)兩側(cè)的力矩是相等的 。 ? 中數(shù)：只使其兩側(cè)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)相同 。 ? 眾數(shù)：是指次數(shù)出現(xiàn)最多的 ， 即重量較大的那個(gè)數(shù)據(jù) 。 思考與練習(xí)題 應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)表示集中趨勢(shì)要注意什么問(wèn)題？ 對(duì)于下列數(shù)據(jù)，使用何種集中量數(shù)表示集中趨勢(shì)其代表性更好？并計(jì)算它們的值。 （ 1） 4 5 6 6 7 29 （ 2） 3 4 5 5 7 5 （ 3） 2 3 5 6 7 8 9 求下列次數(shù)分布的平均數(shù)、中數(shù)和眾數(shù) 分組 f 分組 f 65 1 35 34 60 4 30 21 55 6 25 16 50 8 20 11 45 16 15 9 40 24 10 7 求下列四個(gè)年級(jí)的總平均成績(jī) 年級(jí) 一 二 三 四 91 92 94 n 236 318 215 200 X第二節(jié) 教育統(tǒng)計(jì)的特征量 ? 二、 差異量：代表一組數(shù)據(jù)離散程度、變異程度的量。 （一）全距（ R） ? 最大值與最小值之差 m a x m i nR X X??（三） 方差與標(biāo)準(zhǔn)差 ? 方差 (Varance)也稱變異數(shù) 、 均方 。 作為統(tǒng)計(jì)量 ， 常用符號(hào) S2,δx2表示 ， 作為總體參數(shù) ，常用符號(hào) δ2表示 。 ? 標(biāo)準(zhǔn)差 (Srandard deviation)即方差的平方根 ， 常用 S或 SDδx表示 。 若用 δ表示 ， 則是指總體的標(biāo)準(zhǔn)差 。 方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算 22 12122 121()()()1()1niiniiniiniiXXNXXNXXSnXXSn????????????????????? 問(wèn)題 1： 某班甲乙兩組在一次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別為 65， 68， 71， 72， 74（均分為 70分）和 30， 50， 86， 90，94（均分為 70分）。如何評(píng)價(jià)兩組的學(xué)習(xí)情況？ 又如：某某研究者對(duì)實(shí)驗(yàn)班用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，而對(duì)照班仍用傳統(tǒng)的講授方式進(jìn)行教學(xué)，期末進(jìn)行統(tǒng)一測(cè)試，兩班學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦?，試比較兩種授課方式產(chǎn)生的效果有何不同？ 實(shí)驗(yàn)班 對(duì)照班 83 86 87 78 72 75 76 92 87 78 90 88 76 89 84 87 82 95 79 77 86 84 83 81 91 90 89 87 86 85 88 87 85 79 78 91 89 84 92 79 85 82 76 74 80 81 75 84 87 83 78 83 79 68 74 83 77 69 76 87 84 78 87 90 83 85 88 76 78 73 87 80 84 76 75 79 84 89 87 75 71 72 76 85 88 85 83 82 78 66 65 總平均數(shù) = 平均分 標(biāo)準(zhǔn)差 D 方差 和 平方和 實(shí)驗(yàn)班 (45) 3853 324107 對(duì)照班 (46) 3592 288544 表 1:30名學(xué)生英語(yǔ)成績(jī)頻數(shù)分布表 分?jǐn)?shù) 組中值 XC f Fb 70 72 2 30 65 67 5 28 60 52 9 23 55 57 8 14 50 52 6 6 ∑ 30 求平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和方差 方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義 ? 方差與標(biāo)準(zhǔn)差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好指標(biāo) ， 其值越大 ， 說(shuō)明離散程度大 ， 其值小 ， 說(shuō)明數(shù)據(jù)比較集中 ， 它是統(tǒng)計(jì)描述與統(tǒng)計(jì)分析中最常應(yīng)用的差異量數(shù) 。 ? 它基本具備一個(gè)良好的差異量數(shù)應(yīng)具備的條件：（ 1） 反應(yīng)靈敏； （ 2） 有一定的計(jì)算公式嚴(yán)密確定； （ 3） 容易計(jì)算； （ 4） 適合代數(shù)運(yùn)算； （ 5）受抽樣變動(dòng)的影響小 ， 即不同樣本的標(biāo)準(zhǔn)差或方差比較穩(wěn)定； （ 6） 簡(jiǎn)單明了； （ 7） 具有可加性 。 四、差異系數(shù) ? 當(dāng)所觀測(cè)的樣本水平比較接近 ， 而且是對(duì)同一個(gè)特質(zhì)使用同一種測(cè)量工具進(jìn)行測(cè)量時(shí) ， 要比較不同樣本之間離散程度的大小 ， 一般可直接比較標(biāo)準(zhǔn)差或方慶功的大小 。 標(biāo)準(zhǔn)差的單位與原數(shù)據(jù)的單位相同 ， 有時(shí)稱它為絕對(duì)差異量 。 ? 差異系數(shù) ， 又稱變異系數(shù) 、 相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差等 ， 通常用符號(hào) CV表示 ， 其計(jì)算公式如下： ? （ 1） 同一團(tuán)體不同觀測(cè)值的離散程度的比較；（ 2） 對(duì)于水平相差較大 ， 但進(jìn)行的是同一觀測(cè)的各種團(tuán)體 ， 進(jìn)行觀測(cè)值離散程度的比較 。 %1 0 0??XCV ?? 例題：某校期末考試語(yǔ)文平均成績(jī)?yōu)?，?biāo)準(zhǔn)差為 ；英語(yǔ)平均成績(jī)?yōu)?，標(biāo)準(zhǔn)差為 。問(wèn)哪一學(xué)科離散程度大？ %%1 0 )( ???語(yǔ)文CV%%1 0 )( ???英語(yǔ)CV? 例題：設(shè)某考區(qū)已錄取高中學(xué)生語(yǔ)文平均分為 69分，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，而未錄取高中的學(xué)生語(yǔ)文平均分為 40分，標(biāo)準(zhǔn)差為 。比較他們語(yǔ)文成績(jī)的離散程度。 CV1=*100%=%； CV2=*100%=%。 未錄取學(xué)生的離散程度大。 ? 某市區(qū)入學(xué)男童（ 7歲組）體重的平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為 ；身高的平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為 。問(wèn)身高與體重那個(gè)差異大？ 由公式 %1 0 0??XCV?課堂練習(xí) : 練習(xí) ? 分別用定義公式及原始數(shù)據(jù)計(jì)算 3， 5， 8， 9， 10的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。 ? 計(jì)算下列資料的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。 分?jǐn)?shù) 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 總和 頻數(shù) 2 4 6 11 24 37 19 12 9 4 128 ? 2022年測(cè)得我國(guó) 17歲學(xué)生 400M跑成績(jī)，男學(xué)生平均數(shù)為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，女學(xué)生平均數(shù)為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，試比較 17男女學(xué)生 400M跑成績(jī)的離散程度。 第二節(jié) 教育統(tǒng)計(jì)的特征量 ? 相關(guān)量：用于描述兩個(gè)或多個(gè)變量間關(guān)聯(lián)程度的量。 ?相關(guān)關(guān)系 ?相關(guān)系數(shù) ： 用來(lái)描述兩個(gè)變量相互之間變化方向及密切程度的數(shù)字特征量稱為相關(guān)系數(shù)。 ?積差相關(guān) ?等級(jí)相關(guān) ?點(diǎn)二列相關(guān) ? 相關(guān) ?數(shù)學(xué)與物理、物理與英語(yǔ)相關(guān)性比較 數(shù)學(xué) 物理 英語(yǔ) 物理 1 70 75 76 75 2 60 63 60 63 3 82 75 65 75 4 44 60 56 60 5 52 55 70 55 6 90 97 85 97 7 80 89 48 89 r 相關(guān)系數(shù)與相關(guān)程度表一覽表 | r | 0 ≤ |r| ≤ |r| ≤ 相關(guān) 程度 零相關(guān) 微相關(guān) 切實(shí)相關(guān) 密切相關(guān) 高度相關(guān) 完全相關(guān) 相關(guān)關(guān)系 05101520250 2 4 6 8 10系列105101520250 2 4 6 8 10系列1正相關(guān) 相關(guān)關(guān)系 05101520250 2 4 6 8 10系列105101520250 2 4 6 8 10系列1零相關(guān) 負(fù)相關(guān) 積差相關(guān)系數(shù) ? 積差相關(guān) 兩組（ N＞ 30） 的 正態(tài) 、且呈線性關(guān)系的連續(xù)變量之間的相關(guān)。 積差相關(guān)系數(shù)的定義公式： YXNYYXXXYr ???? ?? ))((積差相關(guān)系數(shù)的定義 ? 用原始數(shù)據(jù)計(jì)算： 用特征量計(jì)算： 例： P46 back ?? ?? ???????NYYNXXNYXXYr/)(/)(/))((2222YXNYXNXYr???? ?等級(jí)相關(guān)系數(shù) ? 等級(jí)相關(guān)系數(shù) 以等級(jí)次序排列或以等級(jí)次序表示的變量之間的相關(guān) Spearman 二列等級(jí)相關(guān)： N不一定必須大于 30 )1(6122????NNDrR 數(shù)學(xué) d1 物理 d2 D 1 70 4 75 2 60 5 63 5 0 3 82 2 75 4 44 7 60 6 1 5 52 6 55 7 1 6 90 1 97 1 0 7 80 3 89 2 1 )17(71)1(612222????????????NNDrDR由計(jì)算器算得例： 10個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)和物理成績(jī)的等級(jí)相關(guān)分析 序號(hào) 數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù) X 物理分?jǐn)?shù) Y X等級(jí) Y等級(jí) D D2 1 94 93 1 1 0 0 2 90 92 2 3 86 92 1 1 4 86 70 7 5 72 82 5 4