用平均值定理求某些問題的最值(編輯修改稿)
2025-09-03 14:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 為定值，怎樣轉(zhuǎn)化?(學生討論)生：雖然x+(52x)+(52x)≠常數(shù)，但是要保證52x＝52x，因此52x不宜再變，要使這三個正變量和為定值．只需考慮4x+(52x)+(52x)＝常數(shù)．師：這個想法很好!是必不可少的思維過程．這樣，原函數(shù)的變形方向就非常明確了．生：原函數(shù)變形為y＝［4x(52x)2］．師：具備使用定理2的條件了嗎?生：具備了．4x＞0，52x＞0且4x+(52x)+(52x)＝10，還有當4x＝52x時，求得的x值在函數(shù)的定義域內(nèi)．師：回答得很全面．我們要學會善于全方位地把握問題，培養(yǎng)自己良好的思維品質(zhì)．(學生完成解答，教師巡視并用實物投影展示學生甲的解題過程、講評)師：由例例2可以看出，用平均值定理可以解決哪類函數(shù)的最值問題?生：解決定積或定和條件下的兩個或三個正變量的和或積的最值問題．師：多數(shù)情況下，題設(shè)中具備使用定理的條件并未直接給出，怎樣促成使用定理的三個條件，選配好正變量?生：通過恒等變形，如例1中使用的拆分變量的方法，例2中使用的匹配系數(shù)的方法等，促成使用定理的三個條件．師：當然，這些方法都是服務(wù)于使用定理的，正確使用定理 解決問題是關(guān)鍵．下面請同學
們觀察兩個題目的解法是否正確?(四)易錯解法討論(投影片5) 例3 求函數(shù)y＝12x的最值，下面解法是否正確?為什么?解：y＝12x＝1(2x+)．因2x+≥，則y≤，所以ymin＝ (學生討論)生甲：解法錯誤．因為在不能斷定2x與為正數(shù)的前提下，不能使用定理1求函數(shù)的最值．
師：不能斷定2x與的正負應(yīng)該怎么辦?生乙：可以對x和0為標準分類討論．師：這是一個解決問題的好辦法．請你說說怎樣解?生乙：當x＞0時，2x＞0，＞0且2x＝6．定理1，得當且僅當2x＝，即x＝時，y＝12x＝1(2x+)有最大值，最大值是y＝當x＜0時，2x＞0，＞0且(2x)( )＝6．由定理1，得當且僅當2x＝，即x＝62時，y＝12x有最小值，最小值是y＝．師：很好．既然同學們的眼光很敏銳，那么自己解題時可不能只見樹木，不見森林，僅套用
“積為定值，和有最小值”的結(jié)論，造成如此錯誤．(投影片6) 例4 求函數(shù)y＝2x2+ (x＞0)的最小值，下面解法是否正確?為什么?解法1：由x＞0，知2x2＞0，＞0，則y＝2x2+≥當且僅當2x2＝，即x＝時，ymin＝解法2：由x＞0，知2x2＞0，＞0，＞0，則y＝則ymin＝(學生討論)生甲：解法1是錯誤的．因為正變數(shù)2x2與的積不是常數(shù)，不滿足定理1的使用條件．師：為什么利用不等式求函數(shù)最值時，必須注意不等式中一端是變量，另一端必須是常量呢?請同學們看投影片．(投影片7)師：如果不等式兩端都是變量f(x)≥g(x)，如圖54，可知f(x)≥g(x)恒成立，且“＝”在x＝a時，能取到，這時能說f(a)是函數(shù)f(x)的最小值嗎?生乙：解法2也是錯誤的．因為“＝”成立的條件是2x2＝，而由得知方程無解．也就是說不存在的x0＞0使y0＝2x20+成立，y取不到，因此不是此函數(shù)的最小值．師：求解定和、定積條件下的最值問題，最值的取得必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“
相等”三個條件．如果僅把注意力集中在選取或設(shè)置符合定值條件下的正變量，而對相等條
件忽略，那么就會造成這種錯誤．這道題大家怎么解?生：把拆成相等的兩項和，同時也保證了2x2＞0，＞0且2x2，與的積是常數(shù)，這時
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