大學(xué)文科數(shù)學(xué)-張國楚-定積分(編輯修改稿)
2024-09-01 05:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 定理 1 （定積分換元積分法）若函數(shù) f(x)在[a,b]上連續(xù)，函數(shù) 滿足下列條件： ）（ t?].[ ??????? ，）（，且）（，）（ ????? tbtaba39。 .ba f x dx f t t dt?? ?????（ ） （ （ ） ） （ ）（ 2）在 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 則有定積分換元公式 ）（ t??][ ??，（ 1） x=asint ， t∈ [0， ]，則 dx=acostdt 當(dāng) t 從 0 變到 時(shí)， x 從 0 遞增到 a ，故取 應(yīng)用公式（ ） ,并注意到在第一象限中 cost≥0, 則有 2?2? 20 ??? ?? ，.4122si n222c o s1c o sc o sc o s2202202022220022attadttatd tatd tatadxxaa??????????????????）（）（ 00 22 a ＞dxxa? ??例 2計(jì)算 解 令 解 令 u=sint , 則 du=costdt. 當(dāng) t 由 0 變到 時(shí) , u從 0 遞增到 ()有 2?.212c o ssi n 1021020 ??? ??uudutd tt?.c oss in20?? tdtt例 3 計(jì)算 定理 2（定積分分部積分法）若 u， v是 [a， b] 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則 .v d uuvu d v bababa ?? ??例 5計(jì)算 ?e xd x1.ln??0 .c o s xdxx例 4計(jì)算 .2c o ssi nsi nsi nc o s000 0 0?????? ?? ???? ? ?xx d xxxxxdx d xx 解 .11lnln 1111?????? ?? eeee xedxxxxxxdx 解 作業(yè) 必作題 習(xí)題 6 第二題、第四題、第五題。 選作題 習(xí)題 6第三題。 思考題 定積分的換元積分法中應(yīng)注意的事項(xiàng)？ 微積分的基本定理主要解決了定積分的什么問題？ 定義：設(shè)函數(shù) f(x)定義在無窮區(qū)間 [a,+∞]上，且在任何有限區(qū)間 [a， A] 上可積，如果存在極限 則稱此極限 J為函數(shù) f（ x）在 [a,+∞] 上的無窮限反常積分，簡稱無窮限積分，記作 J= 167。 3定積分的拓展 —— 非正常積分 并稱 收斂。如果極限不存在 ,則稱無窮限積分 發(fā)散 . dxxfA??? ）（dxxfA??? ）（dxxfA??? ）（無窮限積分的幾何意義 若 f(x)≥0 , 則 無窮限積分 收斂的幾何意義是 ,圖 ()中介于曲線 y=f(x) 、直線 x=a 及 x 軸之間向右無限延伸的陰影區(qū)域有面積 ,并以極限的值作為它的面積 . ][ ??? ，ax???a dxxf ）（ 解 任取實(shí)數(shù) a ,討論如下兩個(gè)無窮限積分： 例 討論積分 ；）（ 2a r c t a na r c t a na r c t a nl i m1l i
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