高三數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-12-17 08:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x 的夾角為 45?, 且傾角為鈍角 , 解得 f?(1)=3. 又 f(1)=2, ∴ | |=1 且 f?(1)0. 2f?(1) 1+2f?(1) ∴ 3a2b=3 且 a+b=2. 解得 a=1, b=3. ∴ f(x)=x3+3x2. 已知函數(shù) f(x)=ax3+bx2+cx+d 在 x=0 處取得極值 , 曲線 y=f(x) 過原點和點 P(1, 2). 若曲線 f(x) 在點 P 處的切線與直線 y=2x的夾角為 45?, 且傾角為鈍角 . (1)求 f(x) 的解析式 。 (2)若 f(x) 在區(qū)間 [2m1, m+1] 遞增 , 求 m 的取值范圍 . 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 4 解 : (2)由 (1)知 f?(x)=3x2+6x. 又由 f?(x)0?x2 或 x0, ∴ f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (∞ , 2] 和 [0, +∞ ). ∵ 函數(shù) f(x) 在區(qū)間 [2m1, m+1] 遞增 , ∴ 2m1m+1≤ 2 或 m+12m1≥ 0. ∴ [2m1, m+1] (∞ , 2] 或 [2m1, m+1] [0, +∞ ). 解得 m≤ 3 或 ≤ m2. 1 2 即 m 的取值范圍是 (∞ , 3]∪ [ , 2). 1 2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 5 已知函數(shù) f(x)=x3ax23x. (1)若 f(x) 在區(qū)間 [1, +∞ ) 上是增函數(shù) , 求實數(shù) a 的取值范圍 。 (2)若 x= 是 f(x) 的極值點 , 求 f(x) 在 [1, a] 上的最大值 。 (3)在 (2)的條件下 , 是否存在實數(shù) b, 使得函數(shù) g(x)=bx 的圖象與函數(shù) f(x) 的圖象恰有三個交點 , 若存在 , 求出實數(shù) b 的取值范圍 。 若不存在 , 請說明理由 . 1 3 解 : (1)由已知 f?(x)=3x22ax3. ∵ f(x) 在區(qū)間 [1, +∞ ) 上是增函數(shù) , ∴ 在 [1, +∞ ) 上恒有 f?(x)≥ 0, 即 3x22ax3≥ 0 在 [1, +∞ ) 上恒成立 . 則必有 ≤ 1 且 f?(1)=2a≥ 0. a 3 解得 a≤ 0. 故實數(shù) a 的取值范圍是 (∞ , 0]. 由于 f?(0)=30, ∴ f?(x)=3x28x3. 在 [1, 4] 上 , 當(dāng) x 變化時 , f?(x), f(x) 的變化情況如下表 : ∴ f(x) 在 [1, 4] 上的最大值是 f(1)=6. (3)函數(shù) g(x) 與 f(x) 的圖象恰有三個交點 , 即方程 x34x23x=bx 恰有三個不等實根 . (2)由題設(shè) f?( )=0, 即 + a3=0. 1 3 1 3 2 3 解得 a=4. 令 f?(x)=0 得 x= 或 3. 1 3 x 1 (1, 3) 3 (3, 4) 4 f?(x) 0 + f(x) 6 ? 18 ? 12 ∵ x=0 是方程一個的根 , ∴ 方程 x24x3=b 即 x24x(3+b)=0 有兩個非零不等實根 . ∴ △ =16+4(3+b)0 且 3+b?0. 解得 b7 且 b?3. 故實數(shù) b 的取值范圍是 (7, 3)∪ (3, +∞ ). 已知函數(shù) f(x)=x2eax, 其中 a≤ 0, e 為自然對數(shù)的底數(shù) . (1)討論函數(shù) f(x) 的單調(diào)性 。 (2)求函數(shù) f(x) 在區(qū)間 [0, 1] 上的最大值 . 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 6 解 : (1)∵ f(x)=x2eax, ∴ f?(x)=2xeax+x2eax?a =(ax2+2x)eax. ∵ a≤ 0, ∴ 對 函數(shù) f(x) 的單調(diào)性可討論如下 : ① 當(dāng) a=0 時 , 由 f?(x)0 得 x0。 由 f?(x)0 得 x0. ∴ f(x) 在 (∞ , 0) 上單調(diào)遞減 , 在 (0, +∞ ) 上單調(diào)遞增 。 ② 當(dāng) a0 時 , 由 f?(x)0 得 x0 或 x 。 2 a 由 f?(x)0 得 0x . 2 a在 ( , +∞ ) 上也單調(diào)遞減 . 2 a ∴ f(x) 在 (0, ) 上單調(diào)遞增 , 在 (∞ , 0) 上單調(diào)遞減 , 2 a 已知函數(shù) f(x)=x2eax, 其中 a≤ 0, e 為自然對數(shù)的底數(shù) . (1)討論函數(shù) f(x) 的單調(diào)性 。 (2)求函數(shù) f(x) 在區(qū)間 [0, 1] 上的最大值 . 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 6 解 : (2)由 (1)知當(dāng) a=0 時 , f(x) 在區(qū)間 [0, 1] 上為增函數(shù) 。 ∴ 當(dāng) a=0 時 , f(x) 在區(qū)間 [0, 1] 上的最大值為 f(1)=1。 當(dāng) 2≤ a0 時 , f(x) 在區(qū)間 [0, 1] 上為增函數(shù) 。 ∴ 當(dāng) a2 時 , f(x) 在區(qū)間 [0, 1] 上的最大值為 : 當(dāng) a2 時 , f(x) 在區(qū)間 [0, 1] 上先增后減 , ∴ 當(dāng) 2≤ a0 時 , f(x) 在區(qū)間 [0, 1] 上的最大值為 f(1)=ea。 且在 x= 時取最大值 . 2 a f( )= . 2 a a2e2 4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 7 證 : (1)∵ xe2, ∵ 當(dāng) x1 時 , g?(x)0, ∴ g(x) 在 (1, +∞ ) 上為增函數(shù) . 又 g(x) 在 x=1 處連續(xù) , ∴ f(x)=lnx2. 已知函數(shù) f(x)=lnx. (1)求證 : 當(dāng) 1xe2 時 , 有 x 。 (2)求證 : 當(dāng) xa0 時 , 恒有 ax . xa 2f(x) 2+f(x) f(x)f(a) x+a 2 2f(x) 2+f(x) ∴ 要證 x 成立 , 即 lnx 成立 . x+1 2(x1) 記 g(x)=lnx . x+1 2(x1) 則 g?(x)= (x+1)2 4 1 x 只要證明 x(2lnx)2+lnx, x(x+1)2 (x1)2 = . ∴ g(x)g(1)=0. ∴ ln
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