高三數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(已改無(wú)錯(cuò)字)
2022-12-24 08:50:12 本頁(yè)面
【正文】 x 成立 . x+1 2(x1) ∴ 當(dāng) 1xe2 時(shí) , 有 x 成立 . 2f(x) 2+f(x) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 7 證 : (2)由 (1)知對(duì)任意的 x?(1, +∞ ), ∴ h(x) 在 (1, +∞ ) 上為減函數(shù) . 已知函數(shù) f(x)=lnx. (1)求證 : 當(dāng) 1xe2 時(shí) , 有 x 。 (2)求證 : 當(dāng) xa0 時(shí) , 恒有 ax . xa 2f(x) 2+f(x) f(x)f(a) x+a 2 都有 lnx 成立 . x+1 2(x1) ∵ 當(dāng) xa0 時(shí) , 1, a x ∴ ln . a x a x +1 2( 1) a x ∴ lnxlna . x+a 2(xa) lnxlna xa ∴ , x+a 2 記 h(x)=lnx , x x1 則 h?(x)= x x ( x 1)2 1 2 0, xa f(x)f(a) 即 . x+a 2 ∴ h(x)h(1)=0. ∴ 對(duì)任意的 x?(1, +∞ ), 都有 lnx . x x1 xa f(x)f(a) 同理可證 ax . x+a 2 ∴ ax . xa f(x)f(a) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 8 已知函數(shù) f(x)=( 1)2+( 1)2 的定義域?yàn)? [m, n), 且 1≤ mn ≤ 2. (1)討論 f(x) 的單調(diào)性 。 (2)證明 : 對(duì)任意 x1, x2?[m, n), 不等式 |f(x1)f(x2)|≤ 4 2 5 恒成立 . x m n x (1)解 : ∵ f(x)=( 1)2+( 1)2 x m n x = + +2, m2 x2 x2 n2 2x m 2n x ∴ f?(x)= + m2 2x x3 2n2 2 m 2n x2 m2x3 2 = (x4 m2n2mx3 +m2nx) m2x3 2 = (x2mx+mn)(x+ mn )(x mn ) ∵ 1≤ m≤ xn≤ 2, ∴ 0, m2x3 2 x2mx+mn=x(xm)+mn0, x+ mn 0. ∴ 由 f?(x)0 得 m≤ x mn 。 由 f?(x)0 得 mn xn. ∴ f(x) 在 [m, mn ) 上是減函數(shù) , 在 [ mn, n) 上是增函數(shù) . 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 8 已知函數(shù) f(x)=( 1)2+( 1)2 的定義域?yàn)? [m, n), 且 1≤ mn ≤ 2. (1)討論 f(x) 的單調(diào)性 。 (2)證明 : 對(duì)任意 x1, x2?[m, n), 不等式 |f(x1)f(x2)|≤ 4 2 5 恒成立 . x m n x 另解 : 由題設(shè) f(x)=( + 1)2 +1. x m n x 2n m 令 t= + , x m n x ∵ 1≤ mn≤ 2, x?[m, n), n m 則 t ≥ 2 ? =2 x m n x 2, t?= . 1 m x2 n ∴ 由 t?0 得 m≤ x mn 。 由 t?0 得 mn xn. ∴ t(x) 在 [m, mn ) 上是減函數(shù) , 在 [ mn, n) 上是增函數(shù) . ∵ 函數(shù) y=(t1)2 +1 在 [1, +∞ ) 上是增函數(shù) , 2n m ∴ f(x) 在 [m, mn ) 上是減函數(shù) , 在 [ mn, n) 上是增函數(shù) . 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 8 已知函數(shù) f(x)=( 1)2+( 1)2 的定義域?yàn)? [m, n), 且 1≤ mn ≤ 2. (1)討論 f(x) 的單調(diào)性 。 (2)證明 : 對(duì)任意 x1, x2?[m, n), 不等式 |f(x1)f(x2)|≤ 4 2 5 恒成立 . x m n x ∴ 對(duì)任意的 x1, x2?[m, n), 有 (2)證 : 由 (1)知 f(x) 在 [m, n) 上的最小值為 f( mn )=2( 1)2, n m 最大值為 f(m)=( 1)2. n m |f(x1)f(x2)|≤ ( 1)22( 1)2 n m n m =( )24? +4 1. n m n m n m 令 u= , h(u)=u44u2+4u1. n m ∵ 1≤ mn≤ 2, ∴ 1 ≤ 2. n m ∴ 1u≤ 2 . ∵ h?(u)=4u38u+4=4(u1)(u+ )(u )0, 5+1 2 51 2 ∴ h(u) 在 (1, 2 ] 上是增函數(shù) . =4 2 5. 故對(duì)任意 x1, x2?[m, n), |f(x1)f(x2)|≤ 4 2 5 恒成立 . ∴ h(u)≤ h( 2 )=48+4 21 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 9 已知某廠生產(chǎn) x 件產(chǎn)品 的成本為 C=25000+200x+ x2(元 ), 問(wèn) : (1)要使平均成本最低 , 應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品 ? (2)若產(chǎn)品以每件 500 元售出 , 要使利潤(rùn)最大 , 應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品 ? 40 1 解 : (1)設(shè)平均成本為 y(元 ), 則 y= 25000+200x+ x2 x 40 1 當(dāng)且僅當(dāng) x=1000 時(shí)取等號(hào) . (2)利潤(rùn) 函數(shù)為 L=500x(25000+200x+ x2) 40 1 = + +200 40 x x 25000 x 25000 40 x ≥ 2
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