高三數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(參考版)
2024-11-15 08:50本頁面
【正文】 當(dāng) s20 時 , v?0, ∴ 當(dāng) s=20 時 , v 取得最大值 . 故 甲方應(yīng)向乙方要求的賠付價格為 20 元 /噸 . 某地政府為科技興市 , 欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃建成一個矩形高科技工業(yè)園區(qū) . 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 12 已知 AB⊥ BC, OA//BC, 且 AB=BC=2AO=4 km, 曲線段 OC 是以 O為 頂點且開口向右的拋物線的一段 . O A B C 如果要使矩形 的相鄰兩邊分別落在 AB、 BC 上 , 且一個頂點落 在 曲線段 OC 上 , 問應(yīng)如何規(guī)劃才能使 矩形工業(yè) 園區(qū) 的用地面積最大 ? 并求出最大的用地面積 (精確到 km2). O A B C x y Q P N 解 : 以 O 為原點 , OA 所在直線為 y 軸 , 建立 直角坐標(biāo)系 , 如圖所示 . 依題意可設(shè)拋物線方程為 y2=2px(p0), 且C(4, 2). ∴ 22=2p?4?2p=1. ∴ 曲線段 OC 的方程為 y2=x(0≤ x≤ 4, y≥ 0). 設(shè) P(x, x ) (0≤ x4) 為曲線段 OC 上的任意一點 , 則 矩形 PQBN 中 , |PQ|=2+ x , |PN|=4x, 工業(yè)區(qū) 面積 S=|PQ|?|PN|=(2+ x )(4x) =x 2x+4x +8, 2 3 2 1 ∴ S?= x 2+2x , 2 1 2 1 3 2 令 S?=0 得 x 2+2x =0. 2 1 2 1 3 2 即 3x+4x 4=0. 2 1 ∴ (3 x 2)( x +2)=0. ∴ x= . 4 9 ∵ 當(dāng) x?(0, ) 時 , S?0。 (2)甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額 y=(元 ), 在乙方獲得最大利潤的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下 , 甲方要在索賠中獲得最大凈收入 , 應(yīng)向乙方要求的賠付價格最大是多少 ? 甲方是一農(nóng)場 , 乙方是一工廠 , 由于乙方生產(chǎn)需占用甲方的資源 , 因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定凈收入 . 在乙方不賠付甲方的情況下 , 乙方的年利潤 x(元 )與年產(chǎn)量 t(噸 )滿足函數(shù)關(guān)系 x=2020 t . 解 : (1)∵ 賠付價格為 s 元 /噸 , ∴ 乙方實際年利潤 w=2020 t st. ∵ w=2020 t s( t )2 =s( t )2+ . s 1000 s 10002 ∴ 當(dāng) t= 時 , w 取得最大值 . s2 10002 s2 10002 ∴ 乙方獲得最大利潤的 年產(chǎn)量為 噸 . 另解 : ∵ 賠付價格為 s 元 /噸 , ∴ 乙方實際年利潤 w=2020 t st. 由 w?= s= , t 1000 t 1000s t 令 w?=0 得 t=t0= . s2 10002 ∵ 當(dāng) tt0 時 , w?0。 (2)證明 : 對任意 x1, x2?[m, n), 不等式 |f(x1)f(x2)|≤ 4 2 5 恒成立 . x m n x ∴ 對任意的 x1, x2?[m, n), 有 (2)證 : 由 (1)知 f(x) 在 [m, n) 上的最小值為 f( mn )=2( 1)2, n m 最大值為 f(m)=( 1)2. n m |f(x1)f(x2)|≤ ( 1)22( 1)2 n m n m =( )24? +4 1. n m n m n m 令 u= , h(u)=u44u2+4u1. n m ∵ 1≤ mn≤ 2, ∴ 1 ≤ 2. n m ∴ 1u≤ 2 . ∵ h?(u)=4u38u+4=4(u1)(u+ )(u )0, 5+1 2 51 2 ∴ h(u) 在 (1, 2 ] 上是增函數(shù) . =4 2 5. 故對任意 x1, x2?[m, n), |f(x1)f(x2)|≤ 4 2 5 恒成立 . ∴ h(u)≤ h( 2 )=48+4 21 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 9 已知某廠生產(chǎn) x 件產(chǎn)品 的成本為 C=25000+200x+ x2(元 ), 問 : (1)要使平均成本最低 , 應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品 ? (2)若產(chǎn)品以每件 500 元售出 , 要使利潤最大 , 應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品 ? 40 1 解 : (1)設(shè)平均成本為 y(元 ), 則 y= 25000+200x+ x2 x 40 1 當(dāng)且僅當(dāng) x=1000 時取等號 . (2)利潤 函數(shù)為 L=500x(25000+200x+ x2) 40 1 = + +200 40 x x 25000 x 25000 40 x ≥ 2 ? +200=250. 故 要使平均成本最低 , 應(yīng)生產(chǎn) 1000 件產(chǎn)品 . 40 1 =300x x22500. L?=300 x. 20 1 令 L?=0 得 x=6000, ∵ 當(dāng) x6000 時 , L?0。 (2)證明 : 對任意 x1, x2?[m, n), 不等式 |f(x1)f(x2)|≤ 4 2 5 恒成立 . x m n x 另解 : 由題設(shè) f(x)=( + 1)2 +1. x m n x 2n m 令 t= + , x m n x ∵ 1≤ mn≤ 2, x?[m, n), n m 則 t ≥ 2 ? =2 x m n x 2, t?= . 1 m x2 n ∴ 由 t?0 得 m≤ x mn 。 (2)證明 : 對任意 x1, x2?[m, n), 不等式 |f(x1)f(x2)|≤ 4 2 5 恒成立 . x m n x (1)
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