高三數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用-wenkub.com
2025-10-28 08:50 本頁面
【正文】 當(dāng) tt0 時 , w?0, ∴ 當(dāng) t=t0 時 , w 取得最大值 . s2 10002 ∴ 乙方獲得最大利潤的 年產(chǎn)量為 噸 . (2設(shè)甲方凈收入為 v 元 , 則 v=, 將 t= 代入上式得 : s2 10002 又 v?= + s2 10002 s5 8?10003 v= . s 10002 s4 2?10003 s5 10002?(8000s3) = . 令 v?=0 得 s=20. ∵ 當(dāng) s20 時 , v?0。 由 t?0 得 mn xn. ∴ t(x) 在 [m, mn ) 上是減函數(shù) , 在 [ mn, n) 上是增函數(shù) . ∵ 函數(shù) y=(t1)2 +1 在 [1, +∞ ) 上是增函數(shù) , 2n m ∴ f(x) 在 [m, mn ) 上是減函數(shù) , 在 [ mn, n) 上是增函數(shù) . 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 8 已知函數(shù) f(x)=( 1)2+( 1)2 的定義域?yàn)? [m, n), 且 1≤ mn ≤ 2. (1)討論 f(x) 的單調(diào)性 。 (2)求證 : 當(dāng) xa0 時 , 恒有 ax . xa 2f(x) 2+f(x) f(x)f(a) x+a 2 都有 lnx 成立 . x+1 2(x1) ∵ 當(dāng) xa0 時 , 1, a x ∴ ln . a x a x +1 2( 1) a x ∴ lnxlna . x+a 2(xa) lnxlna xa ∴ , x+a 2 記 h(x)=lnx , x x1 則 h?(x)= x x ( x 1)2 1 2 0, xa f(x)f(a) 即 . x+a 2 ∴ h(x)h(1)=0. ∴ 對任意的 x?(1, +∞ ), 都有 lnx . x x1 xa f(x)f(a) 同理可證 ax . x+a 2 ∴ ax . xa f(x)f(a) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 8 已知函數(shù) f(x)=( 1)2+( 1)2 的定義域?yàn)? [m, n), 且 1≤ mn ≤ 2. (1)討論 f(x) 的單調(diào)性 。 當(dāng) 2≤ a0 時 , f(x) 在區(qū)間 [0, 1] 上為增函數(shù) 。 ② 當(dāng) a0 時 , 由 f?(x)0 得 x0 或 x 。 (3)在 (2)的條件下 , 是否存在實(shí)數(shù) b, 使得函數(shù) g(x)=bx 的圖象與函數(shù) f(x) 的圖象恰有三個交點(diǎn) , 若存在 , 求出實(shí)數(shù) b 的取值范圍 。 (2)若當(dāng) x?[a+1, a+2] 時 , 恒有 |f?(x)|≤ a, 試確定 a的取值范圍 . 1 3 解 : (2)∵ 0a1, ∴ 2aa+1. ∴ f?(x)max=f?(a+1)=2a1, ∴ f?(x)=x2+4ax3a2 在 [a+1, a+2] 上為減函數(shù) . f?(x)min=f?(a+2)=4a4. ∵ 當(dāng) x?[a+1, a+2] 時 , 恒有 |f?(x)|≤ a, 即 a≤ f?(x)≤ a 恒成立 . ∴ 4a4≥ a 且 2a1≤ a. 解得 ≤ a≤ 1. 4 5 又 0a1, 故 a 的取值范圍是 [ , 1). 4 5 已知函數(shù) f(x)=ax3+bx2+cx+d 在 x=0 處取得極值 , 曲線 y=f(x) 過原點(diǎn)和點(diǎn) P(1, 2). 若曲線 f(x) 在點(diǎn) P 處的切線與直線 y=2x的夾角為 45?, 且傾角為鈍角 . (1)求 f(x) 的解析式 。 當(dāng) a0 時 , f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 (1, 4a21), 單調(diào)遞增區(qū)間為 (4a21, +∞ ). 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 2 由 (1)知 g(x) 在 (1, 3) 上為減函數(shù) , 設(shè) f(x)= x+1 aln(x+1), a?R, 且 a?0, 取 e=. (1)求 f(x) 的單調(diào)區(qū)間 。 2 3 2 3 令 f?(x)=0 得 x= 或 1. 1 2 f(1)=3 , f(2)=7, ∵ f(1)=5 , 1 2 f( )=5 , 2 3 27 22 ∴ f(x) 在 [1, 2] 上的最大值為 7. ∴ 7m. 故實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 (7, +∞ ). 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 2 解 : (1)函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)? (1, +∞ ). ∴ 當(dāng) a0 時 , f?(x)0, f(x) 在 (1, +∞ ) 上為增函數(shù) 。方法 【 解題回顧 】 看似繁雜的文字題 ， 其背景不過是兩個一次函數(shù) ， 當(dāng)然因 x∈ N*， 故實(shí)際上是兩個等差數(shù)列 . (父親 、 母親 、 孩子 )去某地旅游 ， 有兩個旅行社同時發(fā)出邀請 ， 且有各自的優(yōu)惠政策 ， 甲旅行社承諾：如果父親買一張全票 ， 則其家庭成員 (母親與孩子 ， 不論孩子多少與大 )均可享受半價；乙旅行社承諾：家庭旅行算團(tuán)體票 ， 按原價的 23計算 ， 這兩家旅行社的原價是一樣的 ， 若家庭中孩子數(shù)不同 (至少一個 )， 試分別列出兩家旅行社優(yōu)惠政策實(shí)施后的孩子個數(shù)為變量的收費(fèi)表達(dá)式 ， 比較選擇哪一家旅行社更優(yōu)惠 ? (1)當(dāng) a＝ 1/2時 ， 求函數(shù) f(x)的最小值； (2)若對任意 x∈ [1， +∞)， f(x)＞ 0恒成立 ， 試求實(shí)數(shù) a的取值范圍 . ? ? ? ??????? ， 122 xx axxxf【 解題回顧 】 本題可借助于導(dǎo)數(shù) 來判斷函數(shù)的最小值或單調(diào)性 . 211xx ????????? ， 要求畫面面積為 4840cm2， 畫面的寬與高的比為 λ(λ＜ 1) ， 畫面的上 、 下各留 8
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