高三數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用-文庫吧資料
2024-11-19 08:50本頁面
【正文】 解 : ∵ f(x)=( 1)2+( 1)2 x m n x = + +2, m2 x2 x2 n2 2x m 2n x ∴ f?(x)= + m2 2x x3 2n2 2 m 2n x2 m2x3 2 = (x4 m2n2mx3 +m2nx) m2x3 2 = (x2mx+mn)(x+ mn )(x mn ) ∵ 1≤ m≤ xn≤ 2, ∴ 0, m2x3 2 x2mx+mn=x(xm)+mn0, x+ mn 0. ∴ 由 f?(x)0 得 m≤ x mn 。 (2)求證 : 當(dāng) xa0 時(shí) , 恒有 ax . xa 2f(x) 2+f(x) f(x)f(a) x+a 2 2f(x) 2+f(x) ∴ 要證 x 成立 , 即 lnx 成立 . x+1 2(x1) 記 g(x)=lnx . x+1 2(x1) 則 g?(x)= (x+1)2 4 1 x 只要證明 x(2lnx)2+lnx, x(x+1)2 (x1)2 = . ∴ g(x)g(1)=0. ∴ lnx 成立 . x+1 2(x1) ∴ 當(dāng) 1xe2 時(shí) , 有 x 成立 . 2f(x) 2+f(x) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 7 證 : (2)由 (1)知對任意的 x?(1, +∞ ), ∴ h(x) 在 (1, +∞ ) 上為減函數(shù) . 已知函數(shù) f(x)=lnx. (1)求證 : 當(dāng) 1xe2 時(shí) , 有 x 。 ∴ 當(dāng) a2 時(shí) , f(x) 在區(qū)間 [0, 1] 上的最大值為 : 當(dāng) a2 時(shí) , f(x) 在區(qū)間 [0, 1] 上先增后減 , ∴ 當(dāng) 2≤ a0 時(shí) , f(x) 在區(qū)間 [0, 1] 上的最大值為 f(1)=ea。 ∴ 當(dāng) a=0 時(shí) , f(x) 在區(qū)間 [0, 1] 上的最大值為 f(1)=1。 2 a 由 f?(x)0 得 0x . 2 a在 ( , +∞ ) 上也單調(diào)遞減 . 2 a ∴ f(x) 在 (0, ) 上單調(diào)遞增 , 在 (∞ , 0) 上單調(diào)遞減 , 2 a 已知函數(shù) f(x)=x2eax, 其中 a≤ 0, e 為自然對數(shù)的底數(shù) . (1)討論函數(shù) f(x) 的單調(diào)性 。 由 f?(x)0 得 x0. ∴ f(x) 在 (∞ , 0) 上單調(diào)遞減 , 在 (0, +∞ ) 上單調(diào)遞增 。 若不存在 , 請說明理由 . 1 3 解 : (1)由已知 f?(x)=3x22ax3. ∵ f(x) 在區(qū)間 [1, +∞ ) 上是增函數(shù) , ∴ 在 [1, +∞ ) 上恒有 f?(x)≥ 0, 即 3x22ax3≥ 0 在 [1, +∞ ) 上恒成立 . 則必有 ≤ 1 且 f?(1)=2a≥ 0. a 3 解得 a≤ 0. 故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 (∞ , 0]. 由于 f?(0)=30, ∴ f?(x)=3x28x3. 在 [1, 4] 上 , 當(dāng) x 變化時(shí) , f?(x), f(x) 的變化情況如下表 : ∴ f(x) 在 [1, 4] 上的最大值是 f(1)=6. (3)函數(shù) g(x) 與 f(x) 的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn) , 即方程 x34x23x=bx 恰有三個(gè)不等實(shí)根 . (2)由題設(shè) f?( )=0, 即 + a3=0. 1 3 1 3 2 3 解得 a=4. 令 f?(x)=0 得 x= 或 3. 1 3 x 1 (1, 3) 3 (3, 4) 4 f?(x) 0 + f(x) 6 ? 18 ? 12 ∵ x=0 是方程一個(gè)的根 , ∴ 方程 x24x3=b 即 x24x(3+b)=0 有兩個(gè)非零不等實(shí)根 . ∴ △ =16+4(3+b)0 且 3+b?0. 解得 b7 且 b?3. 故實(shí)數(shù) b 的取值范圍是 (7, 3)∪ (3, +∞ ). 已知函數(shù) f(x)=x2eax, 其中 a≤ 0, e 為自然對數(shù)的底數(shù) . (1)討論函數(shù) f(x) 的單調(diào)性 。 (2)若 x= 是 f(x) 的極值點(diǎn) , 求 f(x) 在 [1, a] 上的最大值 。 (2)若 f(x) 在區(qū)間 [2m1, m+1] 遞增 , 求 m 的取值范圍 . 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 4 解 : (1)∵ 曲線 y=f(x)=ax3+bx2+cx+d 過原點(diǎn) , ∴ f(0)=0?d=0. ∴ f(x)=ax3+bx2+cx, f?(x)=3ax2+2bx+c. ∵ 函數(shù) f(x)=ax3+bx2+cx 在 x=0 處取得極值 , ∴ f?(0)=0?c=0. ∵ 過點(diǎn) P(1, 2) 的切線斜率為 f?(1)=3a2b, 而 曲線 f(x)在 點(diǎn) P 的切線與直線 y=2x 的夾角為 45?, 且傾角為鈍角 , 解得 f?(1)=3. 又 f(1)=2, ∴ | |=1 且 f?(1)0. 2f?(1) 1+2f?(1) ∴ 3a2b=3 且 a+b=2. 解得 a=1, b=3. ∴ f(x)=x3+3x2. 已知函數(shù) f(x)=ax3+bx2+cx+d 在 x=0 處取得極值 , 曲線 y=f(x) 過原點(diǎn)和點(diǎn) P(1, 2). 若曲線 f(x) 在點(diǎn) P 處的切線與直線 y=2x的夾角為 45?, 且傾角為鈍角 . (1)求 f(x) 的解析式 。 4 3 當(dāng) x=3a 時(shí) , f(x) 取極大值 f(3a)=b. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 3 設(shè)函數(shù) f(x)= x3+2ax23a2x+b, 0a1. (1)求函數(shù) f(x) 的單調(diào)區(qū)間、極值 。 (2)比較 x+1 與 ln(x+1) 的大小 , 并加以證明 . 解 : (2) x+1 ln(x+1), 證明如下 : =2ln40. ∴ g(x)≥ g(3)0. 即 x+1 ln(x+1). 設(shè) g(x)=
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