高三數(shù)學導數(shù)的應用(編輯修改稿)
2024-12-17 08:49 本頁面
【文章內容簡介】 ∴ a≤3. 又 ∵ a＞ 0， ∴ a的取值范圍是 (0,3]． (2020北京宣武區(qū)質檢 )已知函數(shù) f(x)= x3ax2+(a21)x+b(a， b∈ R)． 若 x=1為 f(x)的極值點，求 a的值． 13變式 31 解析： f′(x)=x22ax+a21=[x(a1)][x(a+1)]． ∵ x=1是 f(x)的極值點， ∴ f′(1)=0，即 a22a=0， 解得 a=0或 a=2. 易錯警示 【 例 】 函數(shù) f(x)=x3+ax2+bx+a2在 x=1處有極值 10，求 a、b的值． 錯解： f′(x)=3x2+2ax+b，由題意知 f′(1)=0，且 f(1)=10， 即 2a+b+3=0，且 a2+a+b+1=10， 解得 a=4， b=11或 a=3， b=3. 正解： f(x0)為極值的充要條件是 f ′(x0)=0且 f ′(x) 在 x0附近兩側的符號相反． 所以在錯解后應該加上：當 a=4， b=－ 11時， f ′(x)=3x2+8x－ 11=(3x+11)(x－ 1)在 x=1附近兩側的 符號相反， ∴ a=4， b=－ 11滿足題意； 當 a=－ 3， b=3時， f ′(x)=3(x－ 1)2在 x=1附近兩側的 符號相同， ∴ a=－ 3， b=3應舍去． 綜上所述， a=4， b=－ 11. 鏈接高考 (2020安徽 )設函數(shù) f(x)=sin xcos x+1,0＜ x＜ 2p，求函數(shù) f(x)的單調區(qū)間與極值． (sin x)′=cos x， (cos x)′=sin x， (xn)′=n xn1，以及求導法則 [f(x)177。 g(x)]′=f′(x)177。 g′(x)； 2. 掌握三角輔助角公式： asin x+bcos x= sin(x+F)(其中 )； 3. 根據(jù) x， f′(x)， f(x)的變化情況表求出 f(x)的單調區(qū)間和極值． 22ab? tan ba??解析： 由 f(x)=sin xcos x+x+1,0＜ x＜ 2p， 知 f ′(x)=cos x+sin x+1， 于是 令 f′ (x)=0，從而 , 得 x=p或 x= . 當 x變化時， f′(x)、 f(x)的變化情況如表： 2s in42xp??? ? ?????32p39。 ( ) 1 2 s in4f x xp??? ? ?????32pp??????32p3 22p p??????32px (0， p) p f′ (x) + 0 0 + f(x) 單調遞增 p+2 單調遞減 單調遞增 因此，由上表知 f(x)的單調遞增區(qū)間是 ， 單調遞減區(qū)間是 ，極小值為 ，極大 值為 . 3( 0 , ) 22ppp??????與32pp??????3322fp p???????( 2) 2f pp? ? ?第十三節(jié) 導數(shù)的應用 (2) 基礎梳理 1. 函數(shù)的最值：可導函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 [a， b]上所有點 (包括端點 a， b)處的函數(shù)值中的最大 (或最小 )值，叫做函數(shù) f(x)在 [a， b]上的__________________． 2. 求函數(shù) y=f(x)在 [a， b]上最值的步驟： (1)_____________________________； (2)_____________________________； (3) __________________________________. 最大 (或最小 )值 求函數(shù) f(x)在 (a， b)內的極值 將函數(shù) f(x)的各極值與 f(a)、 f(b)比較，其中最大的 一個為最大值，最小的一個為最小值 求 f(x)在區(qū)間端點的值 f(a)、 f(
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