高一數學導數的應用(編輯修改稿)
2024-12-18 01:35 本頁面
【文章內容簡介】 存在 a，使 f(x)在 (－ ∞， 0]上單調遞減，在 [0，＋∞)上單調遞增？若存在，求出 a的值；若不存在，說明理由． [思路 ] (1)通過解 f′( x)0求單調遞增區(qū)間； (2)轉化為 f′( x)0在 R上恒成立問題，求 a； (3)假設存在 a，則 f(0)是 f(x)的極小值，或轉化為恒成立問題． 第 14講 │ 要點探究 [解答 ] (1)f′( x)＝ ex－ a≤0 ， f′( x)＝ ex－a0恒成立，即 f(x)在 R上遞增．若 a＞ 0， ex－ a≥0 ，∴ ex≥ a， x≥ln a， ∴ f(x)的遞增區(qū)間為 (lna，＋ ∞ )． (2)∵ f(x)在 R內單調遞增， ∴ f′( x)≥0 在 R上恒成立． ∴ ex－ a≥0 ，即 a≤e x在 R上恒成立． ∴ a≤(e x)min，又∵ ex＞ 0， ∴ a≤0. (3)方法一：由題意知 ex－ a≤0 在 (－ ∞ ， 0]上恒成立． ∴ a≥e x在 (－ ∞ ， 0]上恒成立． ∵ ex在 (－ ∞ ， 0]上為增函數， ∴ x＝ 0時， ex最大為 1.∴ a≥1 ，同理可知 ex－a≥0 在 [0，＋ ∞ )上恒成立， ∴ a≤e x在 [0，＋ ∞ )上恒成立， ∴ a≤1. 第 14講 │ 要點探究 綜上所述， a＝ 1. 方法二：由題意知， x＝ 0為 f(x)的極小值點． ∴ f′(0)＝ 0，即 e0－ a＝ 0， ∴ a＝ 1，經檢驗 a＝ 1符合題意． [點評 ] 已知函數 f(x)在某區(qū)間內單調求參數問題，常轉化為其導函數 f′(x)在該區(qū)間內大于等于 0(單調增函數 )或小于等于 0(單調減函數 )恒成立問題． 第 14講 │ 要點探究 ? 探究點 2 利用導數研究函數的極值與最值 例 2 已知 a∈ R，討論函數 f(x)＝ ex(x2＋ ax＋ a＋ 1)的極值點的個數． 第 14講 │ 要點探究 [ 解答 ] f ′ ( x ) ＝ ex[ x2＋ ( a ＋ 2) x ＋ (2 a ＋ 1)] ，令 f ′ ( x )＝ 0 得 x2＋ ( a ＋ 2) x ＋ (2 a ＋ 1) ＝ 0.(1) 當 Δ ＝ ( a ＋ 2)2－4(2 a ＋ 1) ＝ a2－ 4 a ＝ a ( a － 4)0 ，即 a 0 或 a 4 時 x2＋ ( a＋ 2) x ＋ (2 a ＋ 1) ＝ 0 有兩個不同的實根 x1， x2，不妨設x1 x2. 于是 f ′ ( x ) ＝ ex( x － x1)( x － x2) ，從而有下表： x ( － ∞ ， x 1 ) x 1 (x 1 ， x 2 ) x 2 (x 2 ，＋ ∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增 即此時 f(x)有兩個極值點． (2)當 Δ＝ 0即 a＝ 0或 a＝ 4時，方程 x2＋ (a＋ 2)x＋ (2a＋ 1)＝ 0有兩個相同的實根 x1＝ x2. 由題易知 f(x)無極值． (3)當 Δ0即 0a4時，同理可得 f(x)此時無極值． 第 14講 │ 要點探究 例 3 函數 f(x)＝ ax3－ 6ax2＋ b在 [－ 1,2]上的最大值為 3，最小值為－ 29，求 a， b的值． [解答 ] 由題設知 a≠0，否則 f(x)＝ b為常函數，與題設矛盾． f′(x)＝ 3ax2－ 12ax＝ 3ax(x－ 4)，令 f′(x)＝ 0，得 x1＝ 0， x2＝4(舍去 )． ① 當 a0時，列表如下： ① x － 1 (－ 1,0) 0 (0,2) 2 f′(x) 15a ＋ 0 － － 12a f(x) － 7a＋ b b － 16a＋ b
教學課件相關推薦
鄂ICP備17016276號-1