高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(文件)
【正文】 a=1， ∴ f(x)= x3x+1， ∴ f(1)= 2 12 042 8 2 43f a bf a b? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???134.ab? ???? ??1343? x (∞， 2) 2 (2,2) 2 (2， +∞) f′(x) + 0 0 + f(x) 極大值 極小值 283故 x=－ 2時(shí)， f(x)有極大值 . 283. 【 例 3】 設(shè) a＞ 0，函數(shù) f(x)=x3ax在 (1， +∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍． 題型三 利用導(dǎo)數(shù)求字母參數(shù)的取值范圍 解：方法一： f′(x)=3x2－ a 令 f′(x)＞ 0，得 ， 故 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 和 . 又 ∵ f(x)在 (1， +∞)上是增函數(shù)， ∴ (1， +∞)是的 子集， 即 ， ∴ 0＜ a≤3. ∴ a的取值范圍是 (0,3]． 3 ( 0 )33aax x a? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?33aax ? ? ?或 x, 3a???? ????? ,3a????????,3a????????13a ?方法二： ∵ f(x)=x3ax在 (1， +∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)， ∴ f′(x)=3x2a≥0在 (1， +∞)上恒成立， 即 a≤3x2在 (1， +∞)上恒成立． ∵ x∈ (1， +∞)時(shí)， 3x2＞ 3， ∴ a≤3. 又 ∵ a＞ 0， ∴ a的取值范圍是 (0,3]． (2020北京宣武區(qū)質(zhì)檢 )已知函數(shù) f(x)= x3ax2+(a21)x+b(a， b∈ R)． 若 x=1為 f(x)的極值點(diǎn)，求 a的值． 13變式 31 解析： f′(x)=x22ax+a21=[x(a1)][x(a+1)]． ∵ x=1是 f(x)的極值點(diǎn)， ∴ f′(1)=0，即 a22a=0， 解得 a=0或 a=2. 易錯(cuò)警示 【 例 】 函數(shù) f(x)=x3+ax2+bx+a2在 x=1處有極值 10，求 a、b的值． 錯(cuò)解： f′(x)=3x2+2ax+b，由題意知 f′(1)=0，且 f(1)=10， 即 2a+b+3=0，且 a2+a+b+1=10， 解得 a=4， b=11或 a=3， b=3. 正解： f(x0)為極值的充要條件是 f ′(x0)=0且 f ′(x) 在 x0附近兩側(cè)的符號相反． 所以在錯(cuò)解后應(yīng)該加上：當(dāng) a=4， b=－ 11時(shí)， f ′(x)=3x2+8x－ 11=(3x+11)(x－ 1)在 x=1附近兩側(cè)的 符號相反， ∴ a=4， b=－ 11滿足題意； 當(dāng) a=－ 3， b=3時(shí)， f ′(x)=3(x－ 1)2在 x=1附近兩側(cè)的 符號相同， ∴ a=－ 3， b=3應(yīng)舍去． 綜上所述， a=4， b=－ 11. 鏈接高考 (2020安徽 )設(shè)函數(shù) f(x)=sin xcos x+1,0＜ x＜ 2p，求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值． (sin x)′=cos x， (cos x)′=sin x， (xn)′=n xn1，以及求導(dǎo)法則 [f(x)177。2=(8x) m，面積 S(x)=x(8x)=x2+8x，其中 0＜ x＜ 8，令 S′(x)=2x+8=0，得 x=4為極值點(diǎn)，且在 (0,8)上是唯一的極值點(diǎn)，故 x=4時(shí)， S(x) 有最大值 S(4)=42+8180。 11() 2f x axx? ? ??2 2 (2)當(dāng) x∈ (0,1]時(shí)， 即 f(x)在 (0,1]上單 調(diào)遞增，故 f(x)在 (0,1]上的最大值為 f(1)=a， 因此 a= . 39。 g′(x)求導(dǎo)； 2. 在實(shí)際問題中，若求出 f′(x)=0在定義域中只有唯一根 x0，則 x0為極值點(diǎn)，也是最值點(diǎn)． C 解析： ∵ y′=－ x2+81，令 y′=0， ∵ x＞
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