高三數(shù)學導數(shù)的應(yīng)用-免費閱讀
【正文】 22( ) 02 xfx xx??????12 【 例 2】 (2020全國 )設(shè)函數(shù) f(x)=1－ ex， 求證： x＞－ 1時， f(x)≥ 1xx?題型二 利用導數(shù)證明不等式問題 證明： x＞－ 1時， f(x)≥ 當且僅當 ex≥1+x， 令 g(x)=ex－ x－ 1，則 g′(x)=ex－ 1. 當 x≥0時， g′(x)≥0， g(x)在 [0， +∞)上是增函數(shù)； 當 x≤0時， g′(x)≤0， g(x)在 (－ ∞， 0]上是減函數(shù)． 于是 g(x)在 x=0處取最小值，因而當 x∈ R時， g(x)≥g(0)，即 ex≥1+x， 所以當 x＞－ 1時， f(x)≥ 1xx?1xx?題型三 利用導數(shù)求最值解決實際問題 【 例 3】 (2020江蘇 )將邊長為 1 m的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形， 記 S= ，則 S的最小值是 ________． 2??梯 形 的 周 長梯 形 的 面 積13解： 設(shè)剪成的小正三角形的邊長為 x，則 令 S′ (x)=0， ∵ 0＜ x＜ 1， ∴ x= . 當 x∈ 時 ， S′(x)＜ 0， 當 x∈ 時 ， S′(x)＞ 0， 故當 x= 時 ， S取得最小值是 . 2223 4 3 ( 0x 1)11 3 31122xxSxxx? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?2239。 g(x)]′=f′(x)177。 2211( ) 1a a x a xfx x x x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 已知函數(shù) y=ln x，則其單調(diào)減區(qū)間為 ________． 變式 11 (0,1) 解析：函數(shù)的定義域為 (0， +∞)， 令 y′＜ 0，即 ，得 0＜ x＜ 1. 故 f(x)的單調(diào)減區(qū)間是 (0,1)． 39。 1 1 2 2 1 21 4 5 1 2f a bf a b? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??318.ab???????(2)f′(x)=12x26x18=6(x+1)(2x3)，令 f′(x)=0 得 x1=－ 1， x2= 則 x， f′(x)， f(x)的變化情況如下表： 3231,2??????? 323,2????????614? x (∞， 1) 1 f′(x) + 0 0 + f(x) 單調(diào)遞 增 極大值 16 單調(diào)遞 減 極小值 單調(diào)遞 增 ∵ x=－ 1∈ [－ 3,1]，且 f(－ 1)=16， f(－ 3)=－ 76， f(1)=－ 12， ∴ f(x)在 [－ 3,1]上的最小值為－ 76， 最大值為 16. (2020江西 )設(shè)函數(shù) f(x)=ln x+ln(2x)+ax(a＞ 0)． (1)當 a=1時，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若 f(x)在 (0,1]上的最大值為 ，求 a的值． 12變式 11 解析：函數(shù) f(x)的定義域為 (0,2)， (1)當 a=1時， ，所以 f(x)的單調(diào)遞增區(qū) 間為 (0， )，單調(diào)遞減區(qū)間為 ( ， 2)． 239。 g′(x)求導； 2. 在實際問題中，若求出 f′(x)=0在定義域中只有唯一根 x0，則 x0為極值點，也是最值點． C 解析： ∵ y′=－ x2+81，令 y′=0， ∵ x＞ 0，得 x=9， 函數(shù)在 (0,9)上單調(diào)遞增，在 (9， +∞)上單調(diào)遞減， 因此 x=9是函數(shù)的極大值點，也是最大值點， 即函數(shù)在 x=9(萬元 )處取最大值． 。2=(8x) m，面積 S(x)=x(8x)=x2+8x，其中 0＜ x＜ 8，令 S′(x)=2x+8=0，得 x=4為極值點，且在 (0,8)上是唯一的極值點，故 x=4時， S(x) 有最大值 S(4
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