dsp實驗用雙線性變換法設計原型低通為切比雪夫i型的數字iir高通濾波器(編輯修改稿)
2024-08-31 10:14 本頁面
【文章內容簡介】 (111) （112） 因此，要求阻帶邊界頻率處衰減越大，要求N也越大，參數N， 給定后，查閱有關模擬濾波器手冊，就可求得系統(tǒng)函數Ha(s)。雙線性變換法目的：將模擬帶通濾波器轉換成數字高通濾波器為了克服沖激響應法可能產生的頻率響應的混疊失真，這是因為從S平面到Ｚ平面是多值的映射關系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到π/T～π/T之間，再用z=esT轉換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的π/T～π/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應的單值關系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關系如圖13圖13雙線性變換的映射關系為了將S平面的整個虛軸jΩ壓縮到S1平面jΩ1軸上的π/T到π/T段上，可以通過以下的正切變換實現(xiàn)（113）式中,T仍是采樣間隔。當Ω1由π/T經過0變化到π/T時，Ω由∞經過0變化到+∞，也即映射了整個jΩ軸。將式（19）寫成 (114)將此關系解析延拓到整個S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，則得(115) 再將S1平面通過以下標準變換關系映射到Z平面z=es1T從而得到S平面和Z平面的單值映射關系為：（116)（117)式（110）與式（111）是S平面與Z平面之間的單值映射關系，這種變換都是兩個線性函數之比，因此稱為雙線性變換式（19）與式（110）的雙線性變換符合映射變換應滿足的兩點要求。首先,把z=ejω，可得（118）即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將s=σ+jΩ代入式（112），得因此 （119）由此看出，當σ0時，|z|1；當σ0時，|z|1。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經雙線性變換后所得的數字濾波器也一定是穩(wěn)定的。雙線性變換法優(yōu)缺點：雙線性變換法與脈沖響應不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應的混疊現(xiàn)象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應關系。S平面整個jΩ軸單值地對應于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關系。這個關系如式（112）所示，重寫如下： （120）上式表明，S平面上Ω與Z平面的ω成非線性的正切關系，如圖14所示。由圖14看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數字頻率ω之間的變換關系接近于線性關系；但當Ω進一步增加時，ω增長得越來越慢，最后當Ω→∞時，ω終止在折疊頻率ω=π處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖14雙線性變換法的頻率變換關系但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關系而得到的，如式（112）及圖14所示。由于這種頻率之間的非線性變換關系，就產生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經雙線性變換后得到非線性相位的數字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性），不然變換所產生的數字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖15所
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