高一數(shù)學平面向量的應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-12-17 06:00 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 → |＋ |PB ― → |＝ 4. ( 1 ) 求動點 P 的軌跡 C 的方程 ； ( 2 ) 過點 ( 1 , 0 ) 作直線 l 與曲線 C 交于 M 、 N 兩點 ， 求 OM ― → ON ― → 的取值范圍 ． 思路點撥： (1)利用向量模的概念轉(zhuǎn)化為動點 P到兩定點距離之和為定值 4， 根據(jù)橢圓定義寫出方程； (2)設(shè)出 M、 N兩點坐標和直線 l的方程 ， 將 OM―→ ON―→ 坐標運算轉(zhuǎn)化為某一參數(shù)的函數(shù) ， 然后求其值域 ． 解： ( 1 ) 由 |PA ― → |＋ |PB ― → |＝ 4 知 ， |PA |＋ |PB |＝ 4 ＞ 2 3 ， 所以 P 點的軌跡 C 是以 A 、 B為焦點 ， 以 4 為長軸長的橢圓 ， 由于 a ＝ 2 ， c ＝ 3 ， 所以 b ＝ 1. 所以動點 P 的軌跡 C 的方程為x24＋ y2＝ 1. ( 2 ) ① 當直線 l 的斜率不存在時 ， M ( 1 ，32) ， N ( 1 ，－32) ， OM ― → ON ― → ＝14； ② 當直線 l 的斜率存在時 ， 設(shè)過 ( 1 , 0 ) 的直線 l 的方程為 y ＝ k ( x － 1 ) ， 代入曲線 C 的方程得 ( 1 ＋ 4 k2) x2－ 8 k2x ＋ 4 ( k2－ 1 ) ＝ 0 ， Δ 0 恒成立 ． 設(shè) M ( x 1 ， y 1 ) 、 N ( x 2 ， y 2 ) ， 則 x 1 ＋ x 2 ＝8 k21 ＋ 4 k2 ， x 1 x 2 ＝4 ? k2－ 1 ?1 ＋ 4 k2 . OM ― → ON ― → ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＝ x 1 x 2 ＋ k2( x 1 － 1 )( x 2 － 1 ) ＝ ( 1 ＋ k2) x 1 x 2 － k2( x 1 ＋ x 2 ) ＋ k2 ＝k2－ 41 ＋ 4 k2 ＝14－1741 ＋ 4 k2 ＜14. 又當 k ＝ 0 時 ， OM ― → ON ― → 取最小值 － 4 ， 所以 － 4 ≤ OM ― → ON ― → ＜14. 根據(jù) ① 、 ② 得 OM ― → ON ― → 的取值范圍為 [ － 4 ，14] ． 向量在解析幾何問題中出現(xiàn) ， 多用于 “ 包裝 ” ， 解決此類問題時關(guān)鍵是利用向量的意義 、 運算脫去 “ 向量外衣 ” ， 導出曲線上點的坐標之間的關(guān)系 ， 從而解決有關(guān)距離 、 斜率 、 夾角 、 軌跡 、 最值等問題 ． 變式探究 41： (2020年大連市六校聯(lián)考 )設(shè) F為拋物線 y2＝ 2px(p＞ 0)的焦點 ， A， B， C為該拋物線上三點 ， 若 FA―→ ＋ FB―→ ＋ FC―→ ＝ 0， |FA―→| ＋ |FB―→| ＋|FC―→| ＝ 3， 則該拋物線的方程是 ( ) (A)y2＝ 2x (B)y2＝ 4x (C)y2＝ 6x (D)y2＝ 8x 解析： ∵ F (p2， 0 ) ，設(shè) A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， C ( x 3 ， y 3 ) ， 由 FA ― → ＋ FB ― → ＋ FC ― → ＝ 0 得， ( x 1 －p2) ＋ ( x 2 －p2) ＋ ( x 3 －p2) ＝ 0 ， ∴ x 1 ＋ x 2 ＋ x 3 ＝32p . 又由拋物線定義知， |FA ― → |＋ |FB ― → |＋ |FC ― → |＝ ( x 1 ＋p2) ＋ ( x 2 ＋p2) ＋ ( x 3 ＋p2) ＝ 3 p ＝ 3 ， ∴ p ＝ 1 ， 因此，所求拋物線的方程為 y2＝ 2 x ， 故選 A. 【例 1 】 ( 2 010 年高考福建卷 ) 若點 O 和點 F ( － 2 , 0 ) 分別為雙曲線x2a2 － y2＝ 1 ( a ＞ 0 ) 的中心和左焦點 ， 點 P 為雙曲線右支上的任意一點 ， 則 OP ― → FP ― → 的取值范圍為 ( ) ( A )[ 3 － 2 3 ，＋ ∞ ) ( B )[ 3 ＋ 2 3 ，＋ ∞ ) ( C )[ －74，＋ ∞ ) ( D )[74，＋ ∞ ) 解析： 由 c ＝ 2 得， a2＋ 1 ＝ 4 ， ∴ a2＝ 3 ， ∴ 雙曲線方程為x23－ y2＝ 1. 設(shè) P ( x ， y )( x ≥ 3 ) ， 則 OP ― → FP ― → ＝ ( x ， y ) ( x ＋ 2 ， y ) ＝ x2＋ 2 x ＋ y2＝ x2＋ 2 x ＋x23－ 1 ＝43x2＋ 2 x － 1 ( x ≥ 3 ) ， 由于 f ( x ) ＝43 x2 ＋ 2 x － 1 在 [ 3 ，＋ ∞ ) 上為增函數(shù)， ∴ f ( x ) m i n ＝ f ( 3 ) ＝ 3 ＋ 2 3 ， ∴ OP ― → FP ― → 的取值范圍是 [ 3 ＋ 2 3 ，＋ ∞ ) ， 故選 B. 【例 2 】 ( 20 10 年江南十校聯(lián)考 ) 在 △ AB C 中 ， a ， b ， c 分別是角 A ， B ， C 的對邊 ，AB ― → AC ― → ＝ 1 ， AB ― → BC ― → ＝－ 3. ( 1 ) 求 AB 邊的長度 ； ( 2 ) 求si n ? A － B ?si n C 的值 ． 解： (1)AB―→ AC―→ ＝ AB―→( AB―→ ＋ BC―→) ＝ AB―→ 2＋ AB―→ BC―→ ＝ AB―→ 2－ 3＝ 1， ∴ |AB―→| 2＝ 4， ∴ |AB―→| ＝ 2， ∴ AB邊的長度為 2. (2)由已知和 (1)得 ， AB―→ AC―→ ＝ bccos A＝ 2bcos A＝ 1， AB―→ BC―→ ＝ accos(π－ B)＝ 2acos(π－ B)＝－ 3， 即 2acos B＝ 3， ∴ a cos B ＝ 3 b cos A ， ∴ si n A cos B ＝ 3si n B cos A ， ∴si n ? A － B ?si n C ＝si n ? A － B ?si n ? A ＋ B ? ＝si n A
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