高一數(shù)學(xué)平面向量的應(yīng)用(已修改)
2024-11-27 06:00 本頁面
【正文】 第 4節(jié) 平面向量的應(yīng)用 (對應(yīng)學(xué)生用書第 66頁 ) 1． 向量在平面幾何中的應(yīng)用 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運算和數(shù)量積解決平行 、 垂直 、 長度 、 夾角等問題 ． 設(shè) a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)， ① 證明線線平行或點共線問題 ， 主要利用共線向量定理 ， 即 a∥ b? a＝ λb(b≠0)? x1y2－ x2y1＝ 0. ② 證明垂直問題 ， 主要利用向量數(shù)量積 ， 即 a⊥ b? ab＝ 0? x1x2＋ y1y2＝ 0. ③ 求線段的長 ， 主要利用向量的模 ， 即 |a |＝ a 2 ＝ x 1 2 ＋ y 1 2 . ④ 求夾角問題 ， 利用數(shù)量積的變形公式 ： 即 cos θ ＝ cos 〈 a ， b 〉＝a b|a || b |＝x 1 x 2 ＋ y 1 y 2x 1 2 ＋ y 1 2 x 2 2 ＋ y 2 2. 2． 平面向量在物理中的應(yīng)用 (1)由于物理中的力 、 速度 、 位移都是向量 ， 它們的分解與合成是向量的加法與減法的具體應(yīng)用 ， 可用向量來解決 ． (2)物理中的功 W是一個標(biāo)量 ， 它是力 f與位移 s的數(shù)量積 ， 即 W＝ fs＝ |f||s|cos θ. 3． 平面向量與其他數(shù)學(xué)知識的交匯 平面向量作為一種運算工具 ， 經(jīng)常與函數(shù) 、 不等式 、 三角函數(shù) 、 數(shù)列 、 解析幾何等知識結(jié)合 ， 當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時 ， 由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式 ． 在此基礎(chǔ)上 ， 可以求解有關(guān)函數(shù) 、 不等式 、 三角函數(shù) 、 數(shù)列的綜合問題 ． 此類問題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算 ， 其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是利用平面向量平行或垂直的充要條件；二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì) ． 1． 在 △ ABC中 ， 有命題： ① AB―→ － AC―→ ＝ BC―→ ； ② AB―→ ＋ BC―→ ＋ CA―→ ＝ 0； ③ 若 (AB―→ ＋ AC―→)( AB―→ － AC―→) ＝ 0， 則 △ ABC為等腰三角形； ④ 若 AC―→ AB―→ ＞ 0， 則 △ ABC為銳角三角形 ． 上述命題正確的是 ( C ) (A)①② (B)①④ (C)②③ (D)②③④ 返回目錄 備考指南 考點演練 典例研習(xí) 基礎(chǔ)梳理 解析： ∵ AB―→ － AC―→ ＝ CB―→ ＝－ BC―→ ≠BC―→ ， ∴ ① 錯誤 ． AB―→ ＋ BC―→ ＋ CA―→ ＝ AC―→ ＋ CA―→ ＝ AC―→ － AC―→ ＝ 0， ∴ ② 正確 ． 由 (AB―→ ＋ AC―→ )(AB―→ － AC―→ ) ＝ AB―→ 2 － AC―→ 2 ＝ 0? |AB―→ |＝|AC―→ |， ∴ △ ABC為等腰三角形 ， ③ 正確 ． AC―→ AB―→ ＞ 0? cos 〈 AC―→ ， AB―→ 〉 ＞ 0， 即 cos A＞ 0， ∴ 0176。 ＜ A＜ 90176。 ， 但不能確定 B， C大小 ， ∴ 不能判定 △ ABC是否為銳角三角形 ， ∴ ④ 錯誤 ， 故選 C. 2． 已知一物體在共點力 F1＝ (lg 2， lg 2)， F2＝ (lg 5， lg 2)的作用下產(chǎn)生位移 s＝ (2lg 5,1)，則共點力對物體做的功 W為 ( D ) (A)lg 2 (B)lg 5 (C)1 (D)2 解析： F1＋ F2＝ (1,2lg 2)， W＝ (F1＋ F2)s＝ 2lg 2＋ 2lg 5＝ D. 3． 已知 A， B， C是 △ ABC的三個頂點 ， AB―→ 2＝ AB―→ AC―→ ＋ AB―→ CB―→ ＋BC―→ CA―→ ， 則 △ ABC的形狀為 ( B ) (A)銳角三角形 (B)直角三角形 (C)等邊三角形 (D)等腰直角三角形 解析： AB―→ 2＝ AB―→ ( AC―→ ＋ CB―→ )＋ BC―→ CA―→ ＝ AB―→ 2＋ BC―→ CA―→ ， ∴ BC―→ CA―→ ＝ 0， ∴∠ C＝ 90176。 ， △ ABC為直角三角形 ， 故選 B. 4 ． ( 教材改編題 ) 平面上有三個點 A ( － 2 ， y ) ， B ( 0 ， y2 ) ， C ( x ， y ) ， 若 AB ― → ⊥ BC ― → ，則動點 C 的軌跡方程為 __ _ __ __ __ _ ． 解析： ∵ AB ― → ＝ ( 2 ，－y2) ， BC ― → ＝ ( x ，y2) ， 又 AB ― → ⊥ BC ― → ， ∴ AB ― → BC ― → ＝ 0 ，即 2 x －y 24＝ 0 ，化簡得 y 2 ＝ 8 x . 答案： y 2 ＝ 8 x (對應(yīng)學(xué)生用書第 66～ 68頁 ) 向量在平面幾何中的應(yīng)用 【 例 1】 如圖所示 ， 若點 D是三角形 ABC內(nèi)一點 ， 并且滿足 AB2＋ CD2＝ AC2＋ BD2， 求證： AD⊥ BC. 思路點撥： 可設(shè) AD―→ ， AB―→ ， AC―→ 為基向量 ， 把 CD―→ ， BD―→ 用它們表示 ， 只需證 AD―→ BC―→ ＝ 0. 證明： 設(shè) AB―→ ＝ c， AC―→ ＝ b， AD―→ ＝ m， 則 BD―→ ＝ AD―→ － AB―→ ＝ m－ c， CD―→ ＝ AD―→ － AC―→ ＝ m－ b. ∵ AB2＋ CD2＝ AC2＋ BD2， ∴ c2＋ (m－ b)2＝ b2＋ (m－ c)2， 即 c2＋ m2－ 2mb＋ b2＝ b2＋ m2－ 2mc＋ c2， 即 2m(c－ b)＝ 0， 即 AD―→( AB―→ － AC―→) ＝ 0， ∴ AD―→ CB―→ ＝ 0， ∴ AD⊥ BC. 用向量法解決平面幾何問題 ， 先用向量表示相應(yīng)的線段 、 夾角等幾何元素 (或者建立平面直角坐標(biāo)系 )， 然后通過向量的運算獲得向量之間的關(guān)系 ， 最后把運算結(jié)果 “ 翻譯 ” 成幾何關(guān)系 ， 從而得到幾何問題的結(jié)論 ． 變式探究 11 ： 在直角 △ AB C 中 ， CD 是斜邊 AB 上的高 ， 則下列等式不成立的是 ( ) ( A ) |AC ― → |2＝ AC ― → AB ― → ( B ) |BC ― → |2＝ BA ― → BC ― → ( C ) |AB ― → |2＝ AC ― → CD ― → (
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