高二數(shù)學(xué)平面向量(已修改)
2024-11-28 19:04 本頁面
【正文】 第 3 講 平面向量 感悟高考 明確考向 （ 2 0 1 0 天津） 如圖 , 在△ A B C 中 , AD ⊥ AB , ??? ADACAD 則,1||,3 BDBC ? . 解析 設(shè) BD ＝ a ，則 BC ＝ 3 a ，作 CE ⊥ BA 交 BA 的延長線于 E ，可知 ∠ D A C ＝ ∠ A C E ，在 Rt △ ABD 中，si n B ＝1BD＝1a. 在 Rt △ BE C 中， CE ＝ BC si n B ＝ 3 a 1a＝3 ， ∴ c o s ∠ D A C ＝ c o s ∠ A C E ＝3AC. ＝ AD AC 3AC＝ 3 . D A CACADACAD ????? c o s||||答案 3 考題分析 本題考查平面向量的線性運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積．題目為中檔題難度． 易錯提醒 .)1( 線性表示用不能把 ADABAC、 .1,0)2( 2 ??? ADADAB忽視主干知識梳理 1 ．向量的概念 ( 1 ) 零向量模的大小為 0 ，方向是任意的，它與任意 非零向量都共線，記為 0 . ( 2 ) 長度等于 1 個單位長度的向量叫單位向量， a 的 單位向量為a| a |. ( 3 ) 方向相同或相反的向量叫共線向量 ( 平行向量 ) ． ( 4 ) 如果直線 l 的斜率為 k ，則 a ＝ (1 ， k ) 是直線 l 的 一個方向向量． ( 5 ) 向量的投影： | b | c o s 〈 a ， b 〉叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影． 2 ．向量的運(yùn)算 ( 1 ) 向量的加法、減法、數(shù)乘向量是向量運(yùn)算的基礎(chǔ)， 應(yīng)熟練掌握其運(yùn)算規(guī)律． ( 2 ) 平面向量的數(shù)量積的結(jié)果是實(shí)數(shù)，而不是向 量．要注意數(shù)量積運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算在運(yùn)算律方面的 差異，平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律與消去 律． a b 的運(yùn)算結(jié)果不僅與 a ， b 的長度有關(guān)，而且 也與 a ， b 的夾角有關(guān)，即 a b ＝ | a || b | c o s 〈 a ， b 〉． 3 ．兩非零向量平行、垂直的充要條件 若 a ＝ ( x1， y1) ， b ＝ ( x2， y2) ， 則 a ∥ b ? a ＝ λ b ? x1y2－ x2y1＝ 0 ； a ⊥ b ? a b ＝ 0 ? x1x2＋ y1y2＝ 0. 熱點(diǎn)分類突破 題型一 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 例 1 已知 | a |＝ 4 ， | b | ＝ 3 ， (2 a － 3 b ) ( 2 a ＋ b ) ＝ 6 1 . ( 1 ) 求 a 與 b 的夾角； ( 2 ) 求 | a ＋ b | ； 求 △ AB C 的面積 . 思維啟迪 ,)3( ?? ACAB若 a b ( 1) 應(yīng)用向量數(shù)量積的變形公式求解，即 c os 〈 a ， b 〉＝a b| a || b |； ( 2) 應(yīng)用公式 | a ＋ b | ＝ ( a ＋ b )2即可求解； ( 3) 應(yīng)用公式 S ＝12| a || b | s in 〈 a ， b 〉求解，關(guān)鍵是求 sin 〈 a ， b 〉的值． 向量 的數(shù)量積公式 → 向量的夾角 → 向量的模 解 ( 1 ) 由 (2 a － 3 b ) ( 2 a ＋ b ) ＝ 61 ， 得 4| a |2－ 4 a b － 3| b |2＝ 61 ， ∵ | a | ＝ 4 ， | b | ＝ 3 ，代入上式得 a b = － 6 ， ∴ c o s θ ＝a b| a || b |＝－ 64 3＝－12. 又 0176。 ≤ θ ≤ 1 8 0 176。 ， ∴ θ ＝ 1 2 0 176。 . ( 2 ) | a ＋ b |2＝ ( a ＋ b )2 ＝ | a |2＋ 2 a b ＋ | b |2 ＝ 42＋ 2 ( － 6) ＋ 32＝ 13 ， ∴ | a ＋ b | ＝ 13 . ( 3 ) 由 ( 1 ) 知 ∠ BA C ＝ θ ＝ 1 2 0 176。 ， ＝12 3 4 si n 1 2 0 176。 ＝ 3 3 . B A CABACSACABABC ???????? s in||||21,3||||,4||||a b 探究提高 ( 1 ) 準(zhǔn)確利用兩向量的夾角公式 co s 〈 a ， b 〉＝a b| a | | b |及向量模的公式 | a |＝ a a . ( 2 ) 在涉及數(shù)量積時，向量運(yùn)算應(yīng)注意 ① a a ＝ 0 ，未必有 a ＝ 0 或 b ＝ 0 ； ② | a b |≤ | a | | b |. 變式訓(xùn)練 1 在△ A B C 中， A 、 B 、 C 的對邊分別是 a 、 b 、 c ，且 ( 1 ) 判斷 △ AB C 的形狀； BCBAACAB ???解 ,)1( BCBAACAB ????,c o s||||c o s|||| BBCBAAACAB ??????∴ c b co s A ＝ c a co s
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