高一數(shù)學(xué)平面向量的應(yīng)用-文庫吧
2025-10-08 06:00 本頁面
【正文】 D ) |CD ― → |2＝? AC ― → AB ― → ? ? BA ― → BC ― → ?|AB ― → |2 解析： 對選項 C， 如圖所示 ， AC―→ CD―→ ＝ |AC―→ ||CD―→ |cos(π－ ∠ ACD) ＝－ |AC―→ ||CD―→ |cos ∠ ACD ＝－ |CD―→ |2≠|(zhì)AB―→ | C. 平面向量在物理中的應(yīng)用 【例 2 】 ( 200 9 年高考廣東卷 ) 一質(zhì)點受到平面上的三個力 F 1 ， F 2 ， F 3 ( 單位 ： 牛頓 ) 的作用而處于平衡狀態(tài) ． 已知 F 1 ， F 2 成 60176。 角 ， 且 F 1 ， F 2 的大小分別為 2 和 4 ， 則 F 3 的大小為 ( ) ( A ) 6 ( B ) 2 ( C ) 2 5 ( D ) 2 7 思路點撥： 把三個力 F1， F2， F3視為三個向量 ， 借助向量的運算求 |F3|， 即 F3的大小 ． 解析： 由題意 F 1 ＋ F 2 ＋ F 3 ＝ 0 ， 且 |F 1 |＝ 2 ， |F 2 |＝ 4 ，〈 F 1 ， F 2 〉＝ 60176。 ， ∴ F 3 ＝－ ( F 1 ＋ F 2 ) ， |F 3 |2＝ | F 1 ＋ F 2 |2 ＝ |F 1 |2＋ |F 2 |2＋ 2 F 1 F 2 ＝ 22＋ 42＋ 2 2 4 cos 6 0176。 ＝ 28. ∴ |F 3 |＝ 2 7 . 故選 D. 用向量知識和方法解決有關(guān)物理問題 ， 一般先把問題中的相關(guān)量用向量表示 ， 然后轉(zhuǎn)化為向量問題模型 (三角形法則 ， 平行四邊形法則 、 數(shù)量積 )， 通過向量運算使問題獲解 ， 最后將結(jié)果還原為物理問題 ． 向量與三角的整合 【例 3 】 已知向量 a ＝ ( cos α ， si n α ) ， b ＝ ( cos β ， si n β ) ， c ＝ ( － 1 , 0 ) ． ( 1 ) 求向量 b ＋ c 的長度的最大值 ； ( 2 ) 設(shè) α ＝π4 ， 且 a ⊥ ( b ＋ c ) ， 求 cos β 的值 ． 解： (1)法一： b＋ c＝ (cos β－ 1， sin β)， 則 |b＋ c|2＝ (cos β－ 1)2＋ sin2β＝ 2(1－ cos β)， ∵ － 1≤cos β≤1， ∴ 0≤|b＋ c|2≤4， 即 0≤|b＋ c|≤2. 當(dāng) cos β＝－ 1時 ， 有 |b＋ c|＝ 2， ∴ 向量 b＋ c的長度的最大值為 2. 法二： ∵ |b|＝ 1， |c|＝ 1， |b＋ c|≤|b|＋ |c|＝ 2. 當(dāng) cos β＝－ 1時 ， 有 b＋ c＝ (－ 2,0)， 即 |b＋ c|＝ 2. ∴ 向量 b＋ c的長度的最大值為 2. ( 2 ) 法一： 由已知可得 b ＋ c ＝ ( cos β － 1 ， si n β ) ． a ( b ＋ c ) ＝ cos α cos β ＋ si n α si n β － cos α ＝ cos ( α － β ) － cos α . ∵ a ⊥ ( b ＋ c ) ， ∴ a ( b ＋ c ) ＝ 0 ， 即 cos ( α － β ) ＝ c os α . 由 α ＝π4， 得 c os (π4－ β ) ＝ cosπ4， 即 β －π4＝ 2 k π177。π4( k ∈ Z ) ． ∴ β ＝ 2 k π ＋π2或 β ＝ 2 k π ， k ∈ Z ， 于是 c os β ＝ 0 或 cos β ＝ 1. 法二： 若 α ＝π4， 則 a ＝ (22，22) ． 又由 b ＝ ( cos β ， si n β ) ， c ＝ ( － 1 , 0 ) 得 a ( b ＋ c ) ＝ (22，22) ( cos β － 1 ， s i n β ) ＝22cos β ＋22si n β －22. ∵ a ⊥ ( b ＋ c ) ， ∴ a ( b ＋ c ) ＝ 0 ， 即 cos β ＋ si n β ＝ 1. ∴ si n β ＝ 1 － c os β ， 平方后化簡得 cos β ( cos β － 1 ) ＝ 0 ， ∴ cos β ＝ 0 或 cos β ＝ 1 ， 經(jīng)檢驗 ， cos β ＝ 0 或 cos β ＝ 1 即為所求 ． 平面向量與三角的整合 ， 是高考命題的熱點之一 ， 它一般是根據(jù)向量的運算性質(zhì) (如數(shù)量積 )將向量特征轉(zhuǎn)化為三角問題 ， 三角問題是考查的主體 ， 平面向量是載體 ． 變式探究 31 ： ( 20 10 年河西區(qū)模擬 ) 已知向量 a ＝ ( 3 ， 1 ) ， 向量 b ＝ ( s i n α － m ， cos α ) ， ( 1 ) 若 a ∥ b ， 且 α ∈ [ 0 , 2π ) ， 將 m 表示為 α 的函數(shù) ， 并求 m 的最小值及相應(yīng)的 α 的值 ； ( 2 ) 若 a ⊥ b ， 且 m ＝ 0 ， 求cos ?π2 － α ? s i n ? π ＋ 2 α ?cos ? π － α ?的值 ． 解： ( 1 ) ∵ a ∥ b ， ∴ 3 cos α － 1 ( s i n α － m ) ＝ 0 ， ∴ m ＝ s i n α － 3 cos α ＝ 2s i n ( α －π3) ． ∵ α ∈ [ 0 , 2π ) ， ∴ 當(dāng) α －π3＝3π2， 即 α ＝1 1π6時 ， m m in ＝－ 2. ( 2 ) ∵ a ⊥ b ， m ＝ 0 ， ∴ 3 si n α ＋ cos α ＝ 0 ， ∴ t an α ＝－33， ∴cos ?π2－ α ? si n ? π ＋ 2 α ?cos ? π － α ?＝si n α ? － si n 2 α ?－ cos α ＝ t an α 2t an α1 ＋ t an2α＝12. 平面向量與解析幾何的整合 【例 4 】 ( 201 0 年安徽巢湖模擬 ) 已知 A ( － 3 ， 0 ) ， B ( 3 ， 0 ) ， 動點 P ( x ， y ) 滿足 |PA ―
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