高三數(shù)學(xué)圓及直線與圓的位置關(guān)系(編輯修改稿)
2024-12-16 07:56 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 標(biāo)為 ( a ， b ) ， 因?yàn)閳A O 與圓 Q 相外切于 P ， 所以 O 、 P 、 Q 共線，且 λ ＝OP＝－64＝－32. 由定比分點(diǎn)公式求得 a ＝－ 3 ， b ＝ 3 3 . 所以所求圓的方程為 ( x ＋ 3)2＋ ( y － 3 3 )2＝ 1 6 . (2 ) 如圖，因?yàn)閳A周被直線 3 x ＋ 4 y ＋ 15 ＝ 0 分成 1 ∶ 2 兩部分， 所以 ∠ AO B ＝ 1 2 0 176。 ， 而圓心到直線 3 x ＋ 4 y ＋ 15 ＝ 0 的距離 d ＝1532＋ 42＝ 3 ， 在 △ AO B 中，可求得 OA ＝ 6 ，所以所求圓的方程為 x2＋ y2＝ 3 6 . (3 ) 由題意可設(shè)圓的方程為 λ ( x2＋ y2－ 4 x ＋ 2 y ) ＋( x2＋ y2－ 2 y － 4) ＝ 0 ， 即 (1 ＋ λ ) x2＋ (1 ＋ λ ) y2－ 4 λx ＋ (2 λ － 2) y － 4 ＝ 0 ， 圓心坐標(biāo)為 (2 λ1 ＋ λ，1 － λ1 ＋ λ) ， 代入 l ： 2 x ＋ 4 y ＝ 1 ，得 λ ＝ 3. 所以所求圓的方程為： x2＋ y2－ 3 x ＋ y － 1 ＝ 0. 直線和圓的位置關(guān)系 已知圓 x2＋ y2－ 6 mx － 2( m － 1) y ＋ 10 m2－ 2 m－ 24 ＝ 0( m ∈ R ) ． (1 ) 求證 ： 不論 m 為何值 ， 圓心在同一直線 l上 ； (2 ) 與 l 平行的直線中 ， 哪些與圓相交 、 相切 、 相離 ？ (3 ) 求證 ： 任何一條平行于 l 且與圓相交的直線被各圓截得的弦長(zhǎng)相等 ． 【 思路點(diǎn)撥 】 用配方法將圓的一般方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)，消去 m就得關(guān)于圓心的坐標(biāo)間的關(guān)系，就是圓心的軌跡方程；判斷直線與圓相交、相切、相離，只需比較圓心到直線的距離 d與圓半徑的大小即可；證明弦長(zhǎng)相等時(shí)，可用幾何法計(jì)算弦長(zhǎng)． 【自主解答】 ( 1 ) 證明：配方得： ( x － 3 m )2＋ [ y － ( m － 1) ]2＝ 25 ， 設(shè)圓心為 ( x ， y ) ，則????? x ＝ 3 my ＝ m － 1，消去 m 得 l ： x － 3 y － 3 ＝ 0 ，則圓心恒在直線 l ： x －3 y － 3 ＝ 0 上 ． (2 ) 設(shè)與 l 平行的直線是： x － 3 y ＋ b ＝ 0 ， 當(dāng)－ 5 10 － 3 ＜ b ＜ 5 10 － 3 時(shí)，直線與圓相交； b ＝ 177。5 10 － 3 時(shí)，直線與圓相切； b ＜－ 5 10 － 3 或 b ＞ 5 10 － 3 時(shí)，直線與圓相離 ． (3 ) 證明：對(duì)于任一條平行于 l 且與圓相交的直線 l1： x － 3 y ＋ b ＝ 0 ，由于圓心到直線 l1的距離 d ＝|3 ＋ b |10( 與 m 無(wú)關(guān) ) ， 弦長(zhǎng)＝ 2 r2－ d2且 r 和 d 均為常量 ． ∴ 任何一條平行于 l 且與圓相交的直線被各圓截得的弦長(zhǎng)相等 ． 直線和圓的位置關(guān)系的判定有兩種方法： (1 ) 第一種方法是方程的觀點(diǎn)，即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立組成 方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再利用判別式 Δ 來(lái)討論位置關(guān)系，即 Δ ＞ 0 ? 直線與圓相交； Δ ＝ 0 ? 直線與圓相切； Δ ＜ 0 ? 直線與圓相離 ． (2 ) 第二種方法是幾何的觀點(diǎn)，即將圓心到直線的距離 d 與半徑 r 比較來(lái)判斷，即 d ＜ r ? 直線與圓相交； d ＝ r ? 直線與圓相切； d ＞ r ? 直線與圓相離 ． 1 ． 已知圓的方程是 x2＋ y2＝ 2 ， 直線 y ＝ x ＋ b ，當(dāng) b 為何值時(shí) ， (1 ) 圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn) ； (2 ) 只有一個(gè)公共點(diǎn) ； (3 ) 沒(méi)有公共點(diǎn) ？ 【解析】 方法一 ： 圓心 O (0 , 0) 到直線 y ＝ x＋ b 的距離為 d ＝| b |2， (1 ) 當(dāng) d ＜ r ，即| b |2＜ 2 ，－ 2 ＜ b ＜ 2 時(shí)，直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn) ． (2 ) 當(dāng) d ＝ r 時(shí)，即 b ＝ 177。2 時(shí)，直線與圓相切，有一個(gè)公共點(diǎn)； (3 ) 當(dāng) d ＞ r ，即 b ＞ 2 或 b ＜－ 2 時(shí)，直線與圓相離，無(wú)公共點(diǎn) ． 方法二： 聯(lián)立兩個(gè)方程得方程組????? x2＋ y2＝ 2y ＝ x ＋ b， 消去 y 得， 2 x2＋ 2 bx ＋ b2－ 2 ＝ 0 ， Δ ＝ 16 － 4 b2. (1 ) 當(dāng) Δ ＞ 0 ，即－ 2 ＜ b ＜ 2 時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)； (2 ) 當(dāng) Δ ＝ 0 ，即 b ＝ 177。2 時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)； (3 ) 當(dāng) Δ ＜ 0 ，即 b ＞ 2 或 b ＜－ 2 時(shí)無(wú)公共點(diǎn) ． 圓與圓的位置關(guān)系 已知圓 M ： x2＋ y2－ 2 mx － 2 ny ＋ m2－ 1 ＝ 0與圓 N ： x2＋ y2＋ 2 x ＋ 2 y － 2 ＝ 0 交于 A 、 B兩點(diǎn) ， 且這兩點(diǎn)平分圓 N 的圓周 ， 求圓 M的圓心的軌跡方程 ， 并求其中半徑最小時(shí)圓 M 的方程 ． 【 思路點(diǎn)撥 】 先由兩圓方程求出直線 AB的方程，則由題意知 AB過(guò) N的圓心，半徑最小可轉(zhuǎn)化為圓心到
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