橢圓——標準方程(編輯修改稿)
2025-08-22 04:30 本頁面
【文章內容簡介】 圓，且a＝5，c＝3，故b2＝a2－c2＝16.【例3】已知一動圓M與圓C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓C2：(x－3)2＋y2＝81內切，試求動圓圓心M的軌跡方程.故所求動圓圓心M的軌跡方程為＋＝1.總結：用定義法求橢圓標準方程的思路：先分析已知條件，看所求動點軌跡是否符合橢圓的定義，若符合橢圓的定義，可以先定位，再確定a，b的值.【變式3】已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為和，過點P作長軸的垂線，垂足恰好為橢圓的一個焦點，求此橢圓的方程.設橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，不妨取|PF1|＝，|PF2|＝，由橢圓的定義，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝＝.由|PF1||PF2|知，PF2垂直于長軸.在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝，∴c2＝，∴b2＝a2－c2＝.又所求的橢圓的焦點可以在x軸上，也可以在y軸上，故所求的橢圓方程為＋＝1或＋＝1.類型三: 橢圓中焦點三角形問題【例4】已知P是橢圓＋=1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，且∠F1PF2＝30176。，求△F1PF2的面積.解：由橢圓的標準方程，知a＝，b＝2，∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.又由橢圓的定義，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|cos 30176。，即4＝20－(2＋)|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝16(2－).∴ ＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝16(2－)＝8－4.【例5】已知橢圓＋＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，|PF1|＝4，求∠F1PF2的大小.解：由＋＝1，知a＝3，b＝，∴c＝，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，∴cos∠F1PF2＝＝－，∴∠F1PF2＝120176。.【變式】(1)在橢圓C：＋＝1(ab0)的焦點三角形PF1F2中，∠F1PF2＝α，點P的坐標為(x0，y0)，求證：△PF1F2的面積S△PF1F2＝c|y0|＝b2tan.(2)已知橢圓的方程為＋＝1，橢圓上有一點P滿足∠PF1F2＝90176。(如圖).求△PF1F2的面積.在△PF1F2中，根據(jù)橢圓定義，得|PF1|＋|PF2|＝2a.兩邊平方，得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2. ①根據(jù)余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos α＝4c2. ②①－②，得(1＋cos α)|PF1||PF2|＝2b2，（1）S△PF1F2＝|F1F2||y0|＝c|y0|.所以|PF1||PF2|＝.根據(jù)三角形的面積
教學教案相關推薦
鄂ICP備17016276號-1