橢圓——標(biāo)準(zhǔn)方程-資料下載頁
2025-07-26 04:30本頁面
【正文】 )，F(xiàn)2(0，c)＋＝1(ab0)(2)方程Ax2＋By2＝1表示橢圓的充要條件是___A0，B0且A≠B____．(3)橢圓方程中參數(shù)a，b，c之間的關(guān)系為____a2＝b2＋c2____．類型一 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的確定例1 求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(，－2)和B(－2，1)兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解 方法一 (1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)，依題意有解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)，依題意有解得此時(shí)不符合ab0，所以方程組無解．故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.方法二 設(shè)所求橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A0，B0且A≠B)，依題意有解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 反思與感悟 求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以利用定義，也可以利用待定系數(shù)法，選擇求解方法時(shí)，一定要結(jié)合題目條件，其次需注意橢圓的焦點(diǎn)位置．【變式1】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，－2)，(0,2)，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(－，)；(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)(0,2)和(1,0)．解 (1)∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)．由橢圓的定義知：2a＝ ＋＝2，即a＝.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6.∴所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)．又橢圓經(jīng)過點(diǎn)(0,2)和(1,0)，∴∴∴所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋x2＝1. 類型二 相關(guān)點(diǎn)法在求解橢圓方程中的應(yīng)用例2 如圖，在圓x2＋y2＝4上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足．當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PD的中點(diǎn)M的軌跡．解 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則x＝x0，y＝.因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4.①把x0＝x，y0＝2y代入方程①，得x2＋4y2＝4，即＋y2＝1.所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓． 反思與感悟 如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P隨著另一個(gè)在已知曲線上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)Q而運(yùn)動(dòng)，則求P點(diǎn)的軌跡方程時(shí)一般用轉(zhuǎn)代法來求解．基本步驟為(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)所求軌跡上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為P(x，y)，已知曲線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為Q(x1，y1)．(2)求關(guān)系式：用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，即得關(guān)系式(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程得到所求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程，并把所得方程化簡即可．跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示，B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，P是以O(shè)為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，∠POB的平分線交直線PB于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程．解 由三角形角平分線性質(zhì)得＝＝2. ∴＝2.設(shè)Q(x，y)，P(x0，y0)，則(x－2，y)＝2(x0－x，y0－y)，∴∴又∵點(diǎn)P在單位圓x2＋y2＝1上．∴()2＋(y)2＝1.∴點(diǎn)Q的軌跡方程為＋y2＝1.
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