現(xiàn)代控制理論(第3版)--第1章(編輯修改稿)
2025-08-21 22:13 本頁面
【文章內容簡介】 所示，得這種結構下的 狀態(tài)空間表達式： 即 （ 32） 擴展到 階系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達式為： （ 33） 式中 （ 34） 或記為： 多輸入一多輸出系統(tǒng)微分方程的實現(xiàn) 一雙輸入一雙輸出的三階系統(tǒng)為例，設系統(tǒng)的微積分方程為： （ 35） 同單輸入一單輸出系統(tǒng)一樣，式 (35)系統(tǒng)的實現(xiàn)也是非唯一的。現(xiàn)采用 模擬結構圖的方法，按高階導數(shù)項求解： 對每一個方程積分： 故得模擬結構圖，如下圖所示： 取每個積分器的輸出為一個狀態(tài)變量，如上圖所示。則式（ 35）的一種 實現(xiàn)為： 或表示為： （ 36） 狀態(tài)矢量的線性變換 (坐標變換 ) 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的非唯一性 對于一個給定的定常系統(tǒng)，可以選取許多種狀態(tài)變量，相應地有許多種 狀態(tài)空間表達式描述同一系統(tǒng)，也就是說系統(tǒng)可以有多種結構形式。所選取的 狀態(tài)矢量之間，實際上是一種矢量的 線性變換 (或稱坐標變換 )。 設給定系統(tǒng)為： （ 37） 我們總可以找到任意一個非奇異矩陣 將原狀態(tài)矢量 作線性變換， 得到另一狀態(tài)矢量 設變換關系為： 即 代入式（ 37），得到新的狀態(tài)空間表達式： （ 38） 系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量 系統(tǒng) 系統(tǒng)特征值就是系統(tǒng)矩陣 的特征值，也即特征方程： （ 43） 的根。 方陣 A且有 n個特征值；實際物理系統(tǒng)中， 為實數(shù)方陣， 故特征值或為實數(shù)，或為成對共軛復數(shù)；如 為實對稱方陣，則其特征值都 是實數(shù)。 2．系統(tǒng)的不變量與特征值的不變性 同一系統(tǒng)，經非奇異變換后，得： 其特征方程為： （ 44） 式 (43)與式 (44)形式雖然不同，但實際是相等的，即系統(tǒng)的非奇異變換，其特征值是不變的?？梢宰C明如下： 將特征方程寫成多項式形式 由于特征 值全由特征多項式的系數(shù) 唯一確定，而特征值 經非奇異變換是不變的，那么這些系統(tǒng) 也是不變 的量。所以稱特征多項式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量。 3．特征矢量 一個 維矢量 ：經過以 作為變換陣的變換，得到一個新的矢量 即 如果此 即矢量 ，經 線性變換后，方向不變，僅長度變化 倍則稱 為 的對應于 的特征矢量，此時有 狀態(tài)空間表達式變換為約旦標準型 這里的問題是將 (45) 變換為： (46) 根據(jù)系統(tǒng)矩陣 求其特征值，可以直接寫出系統(tǒng)的約旦標準型矩陣 無重根時 有重根時 而欲得到變換的控制矩陣 和輸出矩陣 CT，則必須求出變換矩陣 T。下面根據(jù) A陣形式及有無重根的情況，分別介紹幾種求 T的方法。 (1)A陣的特征值無重根時 設 是 A的 個互異特征根，求
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