現(xiàn)代控制理論(第3版)--第1章(編輯修改稿)
2024-08-21 22:13 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 所示，得這種結(jié)構(gòu)下的 狀態(tài)空間表達(dá)式： 即 （ 32） 擴(kuò)展到 階系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式為： （ 33） 式中 （ 34） 或記為： 多輸入一多輸出系統(tǒng)微分方程的實(shí)現(xiàn) 一雙輸入一雙輸出的三階系統(tǒng)為例，設(shè)系統(tǒng)的微積分方程為： （ 35） 同單輸入一單輸出系統(tǒng)一樣，式 (35)系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)也是非唯一的?，F(xiàn)采用 模擬結(jié)構(gòu)圖的方法，按高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)求解： 對(duì)每一個(gè)方程積分： 故得模擬結(jié)構(gòu)圖，如下圖所示： 取每個(gè)積分器的輸出為一個(gè)狀態(tài)變量，如上圖所示。則式（ 35）的一種 實(shí)現(xiàn)為： 或表示為： （ 36） 狀態(tài)矢量的線性變換 (坐標(biāo)變換 ) 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性 對(duì)于一個(gè)給定的定常系統(tǒng)，可以選取許多種狀態(tài)變量，相應(yīng)地有許多種 狀態(tài)空間表達(dá)式描述同一系統(tǒng)，也就是說(shuō)系統(tǒng)可以有多種結(jié)構(gòu)形式。所選取的 狀態(tài)矢量之間，實(shí)際上是一種矢量的 線性變換 (或稱(chēng)坐標(biāo)變換 )。 設(shè)給定系統(tǒng)為： （ 37） 我們總可以找到任意一個(gè)非奇異矩陣 將原狀態(tài)矢量 作線性變換， 得到另一狀態(tài)矢量 設(shè)變換關(guān)系為： 即 代入式（ 37），得到新的狀態(tài)空間表達(dá)式： （ 38） 系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量 系統(tǒng) 系統(tǒng)特征值就是系統(tǒng)矩陣 的特征值，也即特征方程： （ 43） 的根。 方陣 A且有 n個(gè)特征值；實(shí)際物理系統(tǒng)中， 為實(shí)數(shù)方陣， 故特征值或?yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)槌蓪?duì)共軛復(fù)數(shù)；如 為實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣，則其特征值都 是實(shí)數(shù)。 2．系統(tǒng)的不變量與特征值的不變性 同一系統(tǒng)，經(jīng)非奇異變換后，得： 其特征方程為： （ 44） 式 (43)與式 (44)形式雖然不同，但實(shí)際是相等的，即系統(tǒng)的非奇異變換，其特征值是不變的?？梢宰C明如下： 將特征方程寫(xiě)成多項(xiàng)式形式 由于特征 值全由特征多項(xiàng)式的系數(shù) 唯一確定，而特征值 經(jīng)非奇異變換是不變的，那么這些系統(tǒng) 也是不變 的量。所以稱(chēng)特征多項(xiàng)式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量。 3．特征矢量 一個(gè) 維矢量 ：經(jīng)過(guò)以 作為變換陣的變換，得到一個(gè)新的矢量 即 如果此 即矢量 ，經(jīng) 線性變換后，方向不變，僅長(zhǎng)度變化 倍則稱(chēng) 為 的對(duì)應(yīng)于 的特征矢量，此時(shí)有 狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型 這里的問(wèn)題是將 (45) 變換為： (46) 根據(jù)系統(tǒng)矩陣 求其特征值，可以直接寫(xiě)出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型矩陣 無(wú)重根時(shí) 有重根時(shí) 而欲得到變換的控制矩陣 和輸出矩陣 CT，則必須求出變換矩陣 T。下面根據(jù) A陣形式及有無(wú)重根的情況，分別介紹幾種求 T的方法。 (1)A陣的特征值無(wú)重根時(shí) 設(shè) 是 A的 個(gè)互異特征根，求
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