2[1]2-拉普拉斯變換(編輯修改稿)
2025-08-21 15:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1 ?n 1?2 1 1?2 1?2 ? 上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院 拉普拉斯變換簡表 (續(xù) 5) 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換 序號 原函數(shù) f(t) (t 0) 象函數(shù) F(s) = L[f(t)] 20 1 e ??nt sin(?n 1?2 t + ? ) ?n2 s(s2+2??ns+?n2) ? = arctan 21 1cos?t ?2 s(s2+?2) 22 ?t sin?t ?2 s(s2+?2) 23 t sin?t 2?s (s2+?2)2 1 1?2 1?2 ? 上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) (1) 線性定理 若 ?、 ?是任意兩個 復(fù)常數(shù) ， 且： 拉普 拉斯變換 ? ? ,)()( 11 sFtfL ? ? ? )()( 22 sFtfL ?證明 ： ? ? ? ?? ? ????? 0 2121 d)()()()( tetftftftfL st?????? ? ?? ? ?? 0 20 1 d)(d)( tetftetf stst ??)()( 21 sFsF ?? ??則： ? ?)()()()( 2121 sFsFtftfL ???? ???上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院 (2) 平移定理 若： 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) ? ? )()( asFtfeL at ???證明 ： 則： ? ? )()( sFtfL ?? ? ? ? ??? ? 0 d)()( teetftfeL statat? ? ??? 0 )( d)( tetf tas)( asF ??上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院 (3) 微分定理 若： 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) )0()(d )(d fssFttfL ????????證明 ： 則： ? ? )()( sFtfL ?f(0)是 t =0 時的 f(t) 值 ?? ? ?? ? ???????? 00 )(ddd )(dd )(d tfetettfttfL stst)0()(d)()( 00 fssFtetfstfe stst ???? ???? ?同理 ， 對于二階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換： tfsfsFsttfLd)0(d)0()(d)(d 222?????????上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院 (3) 微分定理 推廣到 n階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換： 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 如果：函數(shù) f(t) 及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為零 ， 即 )0()0()(d)(d 21 fsfssFsttfL nnnnn?????????? ??)0()0( 1)(2)( nn fsf ??? ?0)0()0()0()0()0( )1()2( ????????? ?? nn fffff ?則： )(d)(d sFsttfL nnn???????上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院 (4) 積分定理 若： 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 則： 證明 ： ? ? ?? ?? tfssFsttfL d)0(1)(1d)(? ? )()( sFtfL ?函數(shù) f(t) 積分的初始值 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ?? ? ????00d1d)(dd)(d)( stst esttftettfttfL? ? ?? ? ???????00d)(d)( ttfsesettf stst)(1d)0(1 sFstfs ?? ?上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院 (4) 積分定理 同理，對于 n重積分的拉普拉斯變換： 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) ? ? ?? ?? tfssFsttfL nnn d)0(1)(1d)()(?? ??? ? tfstfs nn d)0(1d)0(1 )()2(1 ?若 ：函數(shù) f(t) 各重積分的初始值均為零 ， 則有 ? ? )(1d)()( sFsttfL nn ?? 注 ：利用積分定理 ， 可以求時間函數(shù)的拉普拉斯變換；利用微分定理和積分定理 ， 可將微分 積分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程 。 上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院 (5) 終值定理 若： 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 則： )(lim)(lim0 ssFtf st ??? ?? ? )()( sFtfL ?證明 ：根據(jù)拉普拉斯變換的微分定理 ， 有 ? ?)0()(l i mdd )(dl i m000fssFtettfssts????????????? ?由于 ， 上式可寫成 1lim 0 ??? sts e)0()(limdd )(d00fssFtttfs?????)0()(l i m)0()(l i m 0 fssFftf st ??? ???寫出左式積分 上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院 (6) 初值定理 若： 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 則： )(lim)(lim0 ssFtf st ??? ?? ? )()( sFtfL ?證明 ：根據(jù)拉普拉斯變換的微分定理 ， 有 ? ?)0()(l i mdd )(dl i m0fssFtettfssts??????????????? ?由于 ， 上式可寫成 0lim ???? sts e)0()(lim0 fssFs ?? ??)(lim)0( ssFf s ???或者 上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院 (7) 卷積定理 兩個時間函數(shù) f1(t)、 f2(t) 卷積的拉普拉斯變換等于這兩個時間函數(shù)的拉普拉斯變換 。 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)
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