數(shù)學(xué)中的“有限與無限”的思想(編輯修改稿)
2024-08-21 06:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 問題）直接解決無限的問題.【答案】（Ⅰ）由條件得，由此可得．猜測． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時，由上可得結(jié)論成立．②假設(shè)當(dāng)n=k時，結(jié)論成立，即，那么當(dāng)n=k+1時，,所以當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立．由①②，可知對一切正整數(shù)都成立． （Ⅱ）．n≥2時，由（Ⅰ）知． 故.綜上，原不等式成立．三、名校試題， (為常數(shù)，) ，且（1）求的值；（2）① 證明：；② 猜測數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）； （3）比較與的大小，并加以證明. 【解析】第（1）問由通項公式（揭示無限問題）求出有限項后可得的值；第（2）問通過對有限項的處理證明出結(jié)論，從而可猜出的極限；第（3）問對得到的遞推關(guān)系式進(jìn)行變形，再用作差法求解，（有限項）的比較與第（2）問已證的單調(diào)性得到結(jié)果.【答案】（Ⅰ）依題意，由，得，解得，或（舍去）. （Ⅱ）① 證明：因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，.因為，所以，即 (). ② 數(shù)列有極限,且 . （Ⅲ）由，可得，從而.因為，所以
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