數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文有限集的類方程與有限群的互補(bǔ)定理劉思東(編輯修改稿)
2025-02-14 15:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，由定理1的證明即知，則，于是，即得.推論2 設(shè)是個(gè)有限集合，是個(gè)素?cái)?shù)，是到的映射，滿足，為正整數(shù)，則.證明 對，易知存在，使，其余完全仿引理1的證明可得結(jié)論成立.下面，我們按照定理1的思路證明Gallagher定理：推論3[3]（Gallagher） 設(shè)為素?cái)?shù)，則 .證明 令是一個(gè)階循環(huán)群，以表示的全部元子集組成的集族，：：，（這里，是的對稱群）。則分拆成一些軌道之并，，從而可分拆成：，，因此，所以。如果，則.如果，則。于是.現(xiàn)在計(jì)算（即長為的軌道的個(gè)數(shù)）.注意到：，于是階子群與在同一軌道之中，并且若，則，于是，，的每個(gè)階子群均恰好在一個(gè)長為的軌道之中，但是循環(huán)群，它的階子群恰好只有一個(gè)，從而 .證畢.推論4 設(shè)為素?cái)?shù)，則.證明 只需主要到，又由推論3即得.進(jìn)一步的，我們利用以上結(jié)論獲得文獻(xiàn)[4,5]中的一些主要結(jié)果，證明方法比原文方法更為簡單：推論4[4] ，是素?cái)?shù)，是自然數(shù).推論5[4] ，是素?cái)?shù)，是自然數(shù)，是非負(fù)整數(shù)，.推論6[6] 設(shè)。于是，但.證明 因?yàn)?，由推?得，所以有，但由，得到.推論7[5] 設(shè)為素?cái)?shù)，若，則存在使.證明 由，即，因此可設(shè)，.若結(jié)論不成立，則，從而，由定理3得，與假設(shè)矛盾.２ 有限群的互補(bǔ)定理首先，我們利用前面的結(jié)論，給出下列引理引理1 定義群到自身的映射為:，則當(dāng)且僅當(dāng)為交換群.證明 （必要性）若，則，有，而，所以，對此式兩邊同時(shí)取逆則得，所以為交換群.（充分性）若為交換群，則，所以.引理2 是有限群，且滿足，若無非單位元的不動點(diǎn)，則是奇數(shù)階交換群.證明 ，則，而，因此根據(jù)定理1或推論1有，即是奇數(shù)階群.，則可設(shè)，其中，從而有，而，因此，則，而，，使得，則，于是根據(jù)引理1可知為交換群.引理3 設(shè)是奇數(shù)階群，對給定，則方程在中有唯一解.證明 ，則，根據(jù)Lagrange定理知必為奇數(shù)，則存在，使得.，從而，由于為奇數(shù)，
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