數(shù)學(xué)中的“有限與無限”的思想(更新版)
【正文】 考試題和模擬試題來看，有限與無限的思想逐年增加考查廣度，熱點問題仍然是以數(shù)列為載體考查極限的知識和用數(shù)學(xué)歸納法證題.(二)考點預(yù)測題1．設(shè)等差數(shù)列的公差是2，前項的和為，則 ．【解析】本題設(shè)出首項，表示出通項和前和（有限項），利用到已經(jīng)掌握的極限知識和，其中為常數(shù).【答案】設(shè)首項為，則，.： ．．．．．．記表中的第一列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，．為數(shù)列的前項和，且滿足．（Ⅰ）證明數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)．當(dāng)時，求上表中第行所有項的和．【解析】第（Ⅰ）問從無窮數(shù)列中抽出它的一個無窮的子數(shù)列，由與的遞推關(guān)系式消去，從而證明是無窮的等差數(shù)列. 第（Ⅱ）問就是求從第三行起的每一行所有的這些無窮多項的和.【答案】（Ⅰ）證明：由已知，當(dāng)時，又，所以，即，所以，又．所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列．由上可知，即．所以當(dāng)時，．因此（Ⅱ）解：設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為，且．因為，所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列的前78項，故在表中第13行第三列，因此．又，所以．記表中第行所有項的和為，則高考資源網(wǎng)
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