scqaaa2凸分析(編輯修改稿)
2024-08-20 14:55 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 即 2. 凸集與凸函數(shù) ? ， S為閉凸集， y?S，則 y與 S可分離。若 令 clS表示非空集合 S的閉包，則當(dāng) y?clS時，定理結(jié)論也真。實際上我們有下述定理 TTTT2 p ( y x ) p ( y x x x ) p ( y x ) p ( x x ) = ( y x ) ( x x )? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?（ ）nTT2 .1 CS , p y 0 p x?? ? ? ?推 論 設(shè) 為 中 的 非 空 閉 凸 錐 集 ， y C , 則存 在 p ( 0 ) 使 得證明 2. 凸集與凸函數(shù) nTTT h 2 .8 S ( )c l S , p y p x? ? ? ? ???設(shè) 為 中 的 凸 集 ， y S , 則 存 在 p0 ，使 得 對 點 x 有 。jj j jj( k ) ( k ) ( k )( k ) ( k )( k ) T ( k ) ( k ) T( k )( k )( k ) ( k ) ( k )TT( k )TTjy S { y }, y c l S y y .y , p ,x c l S , p y p x.{ p } { p },p . p y p x , x c l S .x c l S k , p y p x , x c l S? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?使 得對 每 一 ， 由 定 理 存 在 單 位 向 量使 得 成 立因 為 序 列 有 界 ， 存 在 收 斂 子 列 其極 限 為 單 位 向 量 顯 然固 定 ， 令 得 。推論 ：設(shè) S為 Rn 中的非空集合， y?S,則存在非零向量 p，使對 ?x?clS, pT (xy)?0 2. 凸集與凸函數(shù) n1 2 1 2TT1212T h 2 .9 . S , S ( ) S Sin f { p x x S } Su p { p x x SSS? ? ?? ? ? ??? +設(shè) 為 中 的 凸 集 , = , 則存 在 p0 使 }( 換 言 之 ， 存 在 超 平 面 H, 使 得 H , H ) 。? ?21( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )12S S S z z x x , x S , x S??? ? ? ? ?證 明 ： 令2. 凸集與凸函數(shù) 12T ( 1 ) T ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )12S S S8 p x p x , x S , x S? ? ???? ? ? ?12T由 于 和 是 非 空 凸 集 ， 因 此 是 非 空 凸 集 。由 于 S S = , 則 零 元 素 0S 。 根 據(jù) 定 理 2. 的推 論 ， 存 在 非 零 向 量 p ， 使 得 對 每 一 個 zS ，成 立 p z 0 ， 即2. 凸集與凸函數(shù) 1 2 11 2 1 212. , ( ) ,00i nf { } { }nTTT h S S SS S H S Spp x x S Sup p x x S? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?設(shè) 中 的 閉 凸 集 有 界 ，則 存 在 超 平 面 強 分 離 和 ， 即存 在 ， 使 21S S S? ? ? ? ? ?12證 明 提 綱 ： 令， 則 S 是 非 空 的 凸 集 ， S S = 0 S 。先 證 S 是 閉 集 ， 再 根 據(jù) 立 明 作為凸集分離定理的應(yīng)用，下面介紹兩個擇一定理： Farkas定理 和 Gordan定理 ，它們在最優(yōu)化理論中是很有用的。 2. 凸集與凸函數(shù) 擇一定理 0 0 , 0 .TTFark asA m n c nAx c x A y c y?? ? ? ?定 理 （ 定 理 ） 設(shè) 為 矩 陣 ， 為 維 向 量 ， 則， 有 解 的 充 要 條 件 是 ， 無 解2. 凸集與凸函數(shù) 0 00 0 , 00 1 1 ( 2) 0 0 0 200TTTTTTTTTA x c x xA x c x A y c yyA y cxy A x c xy A x y A xc x c x??? ? ? ????? ? ???證 明 ：先 證 必 要 性 。 設(shè) ， 有 解 ， 即 存 在 ，使 且 。 現(xiàn) 在 證 明 無 解 。 用 反 證 法 。設(shè) 存 在 ， 使（ ）將 （ ） 式 兩 端 轉(zhuǎn) 置 ， 并 右 乘 ， 得 到由 于 ， ， 因 此 ， 從 而 由 （ ） 得 到與 的 假 設(shè) 矛 盾 。2. 凸集與凸函數(shù) ? ?, 0 0 0, 0 ( 3 )0,( 4)045TTTTTTTA y c y Ax c xS z z A y yS c Sx z Sx c x zsx c x z? ? ? ?? ? ??? ? ?? ? ??? 再 證 充 分 性 。設(shè) 無 解 ， 證 明 ， 有 解 。 令 則 為 閉 凸 集 。 由 假 設(shè) ， 根 據(jù) 定 理 ，存 在 非 零 向 量 及 數(shù) ， 使 得 對 每 一 點 成 立 由 于 ， 根 據(jù) （ ） ， 必 有 （ ）TTTTS c xy A x ( 6)6c x0 ( 7)cx6( 7) ( 8)???T上 式 兩 端 轉(zhuǎn) 置 ， 并 考 慮 到 集 合 的 定 義 ， 有在 式 （ ） 中 ， 令 y=0 ， 得 到 由 于 為 某 個 確 定 的 數(shù) ， y0 ， y 的 分 量 可 取 得 任 意 大 ，因 此 由 （ ） 又 可 得 出 A x 0 ( 8 )由 和 知 非 零 向 量 x 是 A x 0 ， c x 0 的 解 。2. 凸集與凸函數(shù) 2. 凸集與凸函數(shù) A00m n nnTAcAx x c x????? ? ? ? ? 定 理 （ Farkas 置 換 定 理 ）設(shè) ， ， 則 c 為 的 行 向 量 的 凸 錐 組 合 ，即 c cone A 對 任 意 滿 足 的 向 量 ， 都 有 。??? T 設(shè) A 為 mn 矩 陣 ， 那 么 ， A x 0 有 解 的 充 要 條 件 是不 存 在 非 零 向 量 y0 ， 使 A y = 0 .2 . 1 2 定 理 （ Gordan 定 理 ）0 , 0, 0 .TmTG a le A m n b mA x b A w ww b w?? ? ? ???推 論 （ 置 換 定 理 ） 設(shè) 為 矩 陣 ， 為 維 向 量 ， 則線 性 系 統(tǒng) 有 解 對 任 意 滿 足 ， 的 向 量
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