scqaaa2凸分析-資料下載頁(yè)
2025-07-24 14:55本頁(yè)面
【正文】 f ( x ) f ( x )??? ? ? ? ? ? ???證 明 ： 設(shè) 是 f 在 S 上 的 局 部 極 小 點(diǎn) ， 則存 在 的 鄰 域使 得 對(duì) 每 個(gè) 成 立2. 凸集與凸函數(shù) ?? ?( ) ( ) . [ 0 1 ] ( 1 ,? ?( ( 1 ) ( ) ( 1 )( ) ( 1 )? ( 1 ( )x x Sf x f x x x Sf x x f x xf x xx x S N xxf??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?反 證 法 ， 若 不 是 整 體 極 小 點(diǎn) ， 則 存 在于 是 ， ， )) f ( ) f( )=f( x)當(dāng) 取 充 分 小 時(shí) ， 可 使 )此 與 為 局 部 極 小 點(diǎn) 矛 盾 。由 于 極 小 點(diǎn) 的 集 合 構(gòu) 成 的 一 個(gè) 水 平 集 , 故 為 凸 集 .2. 凸集與凸函數(shù) 02200 5 , ( ) :, , 0 ,( ) , ( , ( ) ) , , ( 0)( , ( ) )nTnT h S f x S Rx S Md f x d m d x L f f x dL f f x??? ? ?? ? ? ? ?設(shè) 為 非 空 閉 凸 集 是 二 階連 續(xù) 可 微 的 凸 函 數(shù) 對(duì) 若 存 在 常 數(shù) 使則 水 平 集 是 有 界 的 閉 凸 集2. 凸集與凸函數(shù) ? 凸函數(shù)的判別 . 設(shè) S 是 Rn 中的非空開凸集 , f(x):S?R 是可微的函數(shù) 則 f(x) 是凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的 x*?S, 我們有 f(x) ? f(x*)+?f(x*) (xx*), 任意 x?S. 類似的 , f(x) 嚴(yán)格凸當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每一 x*?S, f(x) f(x*)+?f(x*) (xx*), 任意 x?S. : ( 1) 0 1( ( 1 ) ) ( ) ( 1 ) ( ), 0 1,( + ( ) ) ( x) ( ) ( )ff y x f y f xf x y x ff y f x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ????證 明 必 要 性 : 設(shè) 是 凸 函 數(shù) ， 于 是 對(duì) ， ， 有 因 此 對(duì)? 凸函數(shù)的判別 2. 凸集與凸函數(shù) 1 2 1 2T11T22T1 2 1 21( 1 )( ) ( ) + ( ) ( ) , ( ) ( ) + ( ) ( ),( ) +( 1 ) ( ) ( ) + ( ) ( ( 1 ) ) , ( ) ( +( 1: x , x S , x x x ,f x f x f x x xf x f x f x x xf x f x f x f x x x xf x f x? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?充 分 性 任 取 令 則 于 是2 ) )x?T0( x ) ( ) ( ) ( ),f y x f y f x??? ? ?令 得 2. 凸集與凸函數(shù) Th *. 設(shè) S 是 Rn a上的非空開凸集 , f(x) 為 S 到 R上的可微函數(shù) . 則 f(x) 是凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)任意的 x1, x2 ?S, 有 (?f(x2)?f(x1))(x2x1)?0. 類似的 , f 嚴(yán)格凸當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意相異的 x1, x2 ?S, (?f(x2)?f(x1))(x2x1)0. 121 2 2 1 22 1 1 2 12 1 2 1: ) , , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) 0TTTf x x Sf x f x f x x xf x f x f x x xf x f x x x? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?證 設(shè) 凸 我 們 有相 加 得122 1 2 112111 2 11 2 1) , , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( * ) ( 1 ) , ( 0 ,1 ) . ( ( ) ( ) ) ( ) 0 , ( 1 ) ( ( ) ( ) ) ( ) 0 ( ( ) ( ) ) ( ) 0. ( * ) , TTTTx x Sf x f x f x x xx x xf x f x x xf x f x x xf x f x x x??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?讓 由 中 值 定 理其 中 由 假 設(shè) 即 有 由2 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , , Tf x f x f x x x T h f? ? ?有由 凸2. 凸集與凸函數(shù) 2. 凸集與凸函數(shù) Def . 設(shè) S 是 Rn 上的非空開集 , f(x) f(x):S?R 的函數(shù) 則 f(x) 在點(diǎn) x*?int(S)稱為二次可微的 ,若存在向量 ?f(x*), 和 n?n (Hessian) 矩陣 H(x*) , 及函數(shù) ?: Rn ?R 使得對(duì)所有的 x?S, f(x) = f(x*)+?f(x*) (xx*)+(xx*) H(x*) (xx*)+||xx*|| ? (xx*) 其中 lim ? (xx*)=0. 2 x* x* x?x* Th 設(shè) S 是 Rn a上的非空開凸集 , f(x) 為 S 到 R上的二次可微函數(shù) . 則 (1) f(x) 是凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) S上每一點(diǎn)的 Hessian矩陣是半正定的 . (2) f(x) 是嚴(yán)格凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) S上每一點(diǎn)的 Hessian矩陣是正定的 . ? 凸規(guī)劃 2. 凸集與凸函數(shù) ijijij m in f ( x )s . t . g ( x ) 0 , i 1 , 2 , ... , m h ( x ) 0 , j 1 , 2 , ..., lf ( x ) g ( x )( x ) g ( x ) 0 , i 1 , 2 , ... , m h ( x ) 0 , j 1 , 2 , ..., l?????? ????????????是 凸 函 數(shù) ， 是 凹 函 數(shù) ，h 是 線 性 函 數(shù) 。 可 行 域S = x
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