數系的擴充和復數的相關概念(編輯修改稿)
2025-12-16 03:06 本頁面
【文章內容簡介】 － 7 a ＋ 6 ＝ 0?????? a ≠ － 1 且 a ≠ 6a ≠ 177。1a ＝ 1 或 a ＝ 6 則 a 不存在， ∴ z 不可能為純虛數 ． 復數相等的充要條件 已知集合 M＝ {－ 1,4， (m2－ 3m－ 1)＋ (m2－ 16?i}，N＝ {1,3}， M∩ N＝ {3}，求實數 m的值． 解析 ： ∵ M∩N＝ {3}，得 (m2－ 3m－ 1)＋ (m2－ 16)i＝ 3，由復數相等的充要條件，得 ??? m 2 － 3 m － 1 ＝ 3m 2 － 16 ＝ 0 ? ??? m ＝ 4 ，或 m ＝－ 1m ＝ 177。4 ? m ＝ 4. ∴ m＝ 4 點評 ： 利用復數相等的充要條件，把復數問題化歸為實數問題是解復數問題常用的辦法． 跟蹤訓練 3．已知實數 x，純虛數 y滿足 (2x－ 1)＋ (3－ y)i＝ y－ i，求x， y的值． 解析 ： 根據復數相等的充要條件 y 是純虛數，可設 y ＝ b i ( b ≠ 0 ) ，則 ( 2 x － 1 ) ＋ b ＋ 3i ＝ b i－ i 即 ( 2 x － 1 ＋ b ) ＋ 3i ＝ ( b － 1 ) i， 得????? 2 x － 1 ＋ b ＝ 03 ＝ b － 1?????? b ＝ 4x ＝－32，則????? x ＝－32y ＝ 4i. 復數全是實數時可比較大小 如果 m2－ (m2－ 3m)i＜ 4，求實數 m的取值范圍． 解析 ： 當兩個復數全是實數時，才能比較它們的大小． 所以??? m 2 ＜ 4m 2 － 3 m ＝ 0 ? ??? － 2 ＜ m ＜ 2m ＝ 0 或 m ＝ 3 ? m ＝ 0. ∴ m＝ 0. 點評 ： (1)挖掘題目的隱含條件 —— 兩個復數能比較大小，則兩個數都是實數． (2)兩個復數能比較大小，只需比較它們的實部的大小即可． 4．已知 z1＝－ 4a＋ 1＋ (2a2＋ 3a)i， z2＝ 2a＋ (a2＋ a)i，其中 a∈ R，若 z1＞ z2，求 a的取值范圍． 跟蹤訓練 解析 ： 當兩個復數全是實數時，才能比較它們的大小 ． 所以????? 2 a2＋ 3 a ＝ 0a2＋ a ＝ 0－ 4 a ＋ 1 ＞ 2 a?????? a ＝ 0 或 a ＝－32a ＝ 0 或 a ＝－ 1a ＜16? a ＝ 0. ∴ a ＝ 0. 1． 虛數單位 i具有兩條性質： (1)它的平方等于－ 1，即 i2＝－ 1. (2)實數可以與它進行四則運算，在進行四則運算時，原有的加、乘運算律仍成立． 2．關于復數的代數形式 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)，注意以下幾點： (1)a， b∈ R，否則不是代數形式． (2)從代數形式可判定 z是實數、虛數還是純虛數． 反之，若 z是純虛數，可設 z＝ bi(b≠ 0， b∈ R)； 若 z是虛數，可設 z＝ a＋ bi(b≠ 0， b∈ R)； 若 z是復數，可設 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)． (3)形如
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