【文章內(nèi)容簡介】 般周期信號 將 DT周期信號先展開為 DTFS，再進(jìn)行逐項(xiàng)變換； ? ? ? ? ? ?020 ?????? mcTXex mdNmdFTnTjmNm md ???? ??? ?? ?? 截?cái)嗟挠绊? 對無限長時間 DT 信號進(jìn)行計(jì)算時，必須進(jìn)行截?cái)啵? 時域截?cái)嗄Ｐ停阂源翱诤瘮?shù)乘以時間函數(shù) ? ? ? ?nPnx m2? 頻域?qū)?yīng)卷積： ? ? ? ? ? ? ? ??? ???TT dddd dXWTWX //2?? ??????? 21 ? ? TTNW d ??? i n i n? 離散取樣函數(shù) N=2M+1 截?cái)嘈Ч? 圖 使單頻率展寬，出現(xiàn)主瓣（高 L=2a、寬 4π/L）和旁瓣（高 、寬 2π/L）； 對于有限帶寬信號，截?cái)鄬?dǎo)致帶外泄露（能量）和紋波現(xiàn)象； L 越小，上述效應(yīng)越顯著。 矩形窗截?cái)啾厝粚?dǎo)致 Gibbs 現(xiàn)象 圖 Nyquist 采樣定理 采樣：利用沖激串相乘使連續(xù)時間信號離散化 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?????????????? ???? ????mdFTns TmXTXnTttxtx ???? 21 恢復(fù)采樣信號的條件： 3 帶限信號 ? ? WforX ?? ?? 0 存在最高頻率 ?2/max Wf ? 4 采樣頻率 m a x2/1 fTfs ?? （ Nyquist rate） 滿足上述條件時，可通過頻域的低通濾波（截止頻率為 2/sf ）分離出原始頻譜，恢復(fù)信號； 該操作等效于時域的理想內(nèi)插恢復(fù)（在每個采樣點(diǎn)插入連續(xù)取樣函數(shù)）。 頻率混疊問題 不滿足條件 2 時，可能產(chǎn)生部分混疊（高頻），低頻信號可恢復(fù) ； 不滿足條件 1 時，總是產(chǎn)生混疊； 當(dāng) CT 信號能量有限時，可以增大 T 使得混疊影響足夠小； 對信號進(jìn)行預(yù)先低通濾波是消除混疊的有效方式。 時限帶限理論 任何非零連續(xù)信號都不可能即為時限又為帶限； 利用數(shù)字技術(shù)處理連續(xù)信號時必然需要截?cái)?，必然產(chǎn)生誤差； 在一定誤差范圍內(nèi)，有限能量的連續(xù)信號可以近視看作為時限帶限信號，并利用數(shù)字技術(shù)處理。 音頻信號的實(shí)際處理過程 模擬信號 采樣及零階保持 ADC數(shù)字編碼信號 數(shù)字編碼信號 DAC零階保持信號 低通濾波 模擬信號 第四章 DFT和 FFT頻譜的計(jì)算 絕大多數(shù)信號不能采用解析方式進(jìn)行頻譜分析，只能采用數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算頻譜； DFT 離散付氏變換 只對有限長度的序列定義，由 DTFT 頻譜在一個周期內(nèi)進(jìn)行 N 點(diǎn)采樣得出 定義式 22 ? ? ? ? 1,....1,01 10/2 ??? ???NnemXNnx NmNmnjd ? ? ? ? ? 1,....1,010/2 ??? ???? NmenxmX NnNmnjd ? 特點(diǎn)：將有限信號的無限寬頻譜壓縮到一個周期內(nèi)（有限寬度） 將離散信號的連續(xù)頻譜采樣為有限序列 設(shè) NjeW /2??? 則 ? ? ? ? 1,....1,01 10??? ???? NnWmXNnx Nmmnd ? ? ? ? 1,....1,010??? ???NmWnxmX Nnmnd 重要性質(zhì) 時間序列和頻譜序列均以 N為周期；可擴(kuò)展為周期信號；可以從任何一個周期中計(jì)算； 例 DFT和 DTFT的對比計(jì)算 DFT（離散序列）是 DTFT（連續(xù)頻譜）的采樣 — 140 例 DFT與 DTFS 的關(guān)系： 將有限長時間序列看作無限長時間序列的一個周期，就可以進(jìn)行 DTFS 變換 ? ? dmd NcmX ? 只相差常數(shù) N 反變換的時域混疊問題 當(dāng)時域序列為有限長 m 時，作 N 點(diǎn)的 DFT N≥m 不會產(chǎn)生混疊 DFT 和 DTFT 反變換結(jié)果相同； Nm 會產(chǎn)生混疊 DFT 和 DTFT 反變換結(jié)果不同； 當(dāng)時域序列為有限長 m 時，作 N 點(diǎn)的 DFT 當(dāng)時域序列為無限長時，作 N 點(diǎn)的 DFT 的反變換一定會產(chǎn)生混疊；但若時域序列為絕對可和，則當(dāng) N 足夠大時，混疊可以忽略。 DFT的性質(zhì) （與 DTFS 和 DTFT類似） 對于時域序列，將有限長序列擴(kuò)展為無限長周期序列進(jìn)行討論。 奇偶性 周期時移 —圓周移動 DFT解決頻率計(jì)算問題的方式： 對有限時間序列的連續(xù)頻譜，只計(jì)算其中離散的采樣點(diǎn)； DFT存在的問題： 計(jì)算量問題： 對于 N 點(diǎn) DFT， 需進(jìn)行 N2次復(fù)數(shù)乘法， N（ N1）次復(fù)數(shù)加法； N的增加導(dǎo)致運(yùn)算量龐大， N 的減少導(dǎo)致誤差增大； FFT 快速付氏變換 利用 DFT 的奇偶性質(zhì)及周期性質(zhì)，對計(jì)算公式進(jìn)行分解，降低計(jì)算量。 23 ? ? ? ? 1,....1,010??? ???NmWnxmX nmNnd 要點(diǎn)： ? ?nmNjnm eW /2??? 以 N 為周期，均勻分布于單位圓上 nmNnm WW ?? nmNnm WW ??? 2/ 例： N=8 8 點(diǎn)序列的 DFT 分析 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? mmmd WxWxWxxmX 32 3210 ???? ? ? ? ? ? ? ? ? mmmm WxWxWxWx 7654 7654 ???? ? ? ? ? ? ? ? ? mmm WxWxWxx 642 6420 ???? ? ? ? ? ? ? ? ? mmmm WxWxWxWx 753 7531 ???? ? ? ? ? ? ? ? ? mmm WxWxWxx 642 6420 ???? 1X ? ? ? ? ? ? ? ?? ?mmmm WxWxWxxW 642 7531 ???? 2X ? ? ? ? 7,....1,021 ??? mmXWmX m 利用 nmW 的性質(zhì)可以得到 ? ? ? ?mXmX 11 4 ?? ? ? ? ?mXmX 22 4 ?? 所以可以得出 ? ? ? ? ? ? 3,2,1,021 ??? mmXWmXmX md ? ? ? ? ? ? 3,2,1,04 21 ???? mmXWmXmX md 注意： ? ?mX1 是以 0， 2， 4， 6 點(diǎn)構(gòu)成序列 ??nx1 的 DFT ? ?mX2 是以 1， 3， 5， 7 點(diǎn)構(gòu)成序列 ??nx2 的 DFT 將 N 點(diǎn)序列拆分為兩 個 N/2 點(diǎn)序列進(jìn)行計(jì)算： 24 運(yùn)算結(jié)構(gòu)：蝶形運(yùn)算（ butterfly equation） 左邊 m 只取 4 個值，右邊 m 取 8 個值 繼續(xù)對 ? ?mX1 和 ? ?mX2 進(jìn)行分析： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? mmm WWxxWxxmX 2441 6240 ???? 11X 12X ? ? ? ? 3,2,1,012211 ??? mmXWmX m 利用 nmW 的性質(zhì)可以得到 ? ? ? ?mXmX 1111 2 ?? ? ? ? ?mXm 1212 2 ?? 所以可以得出第 2 層蝶形運(yùn)算關(guān)系： ? ? ? ? ? ? 1,0122111 ??? mmXWmXmX m ? ? ? ? ? ? 1,02 122111 ???? mmXWmXmX m ? ?mX11 是以 0， 4 點(diǎn)構(gòu)成序列 ??nx11 的 DFT ? ?mX12 是以 2， 6 點(diǎn)構(gòu)成序列 ??nx12 的 DFT 將 N/2 點(diǎn)序列拆分為兩個 N/4 點(diǎn)序列進(jìn)行計(jì)算 進(jìn)一步可以得到第 3 層蝶形運(yùn)算關(guān)系： ? ? ? ? ? ?40011 xxX ?? ? ? ? ? ? ?40111 xxX ?? 上述運(yùn)算過程可以由蝶形運(yùn)算圖表示為： 25 可以看到，在上圖中采用了蝶形運(yùn)算作為運(yùn)算基本單元，一個蝶形運(yùn)算的單元如下圖所示： 輸入 3 個復(fù)數(shù) A ， B， C 輸出 2 個復(fù)數(shù) X1， X2 輸入 /輸出關(guān)系為： X1=A+B*C X2=AB*C 1 個蝶形運(yùn)算涉及 1 次復(fù)數(shù)乘法（ 4 次實(shí)數(shù)乘， 2次實(shí)數(shù)加）， 2 次復(fù)數(shù)加（ 4次實(shí)數(shù)加）。 FFT 的蝶形運(yùn)算方式可以極大地減少 DFT 的運(yùn)算工作量；在 的表 N 的增加， DFT 與 FFT 運(yùn)算量的比較； 在 FFT 的蝶形運(yùn)算圖中可以看出，各層蝶形運(yùn)算可以構(gòu)成流水線處理形式，一次蝶形運(yùn)算完成，數(shù)據(jù)提供給下一層后，就可以對新的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理；因此， FFT 對數(shù)據(jù)的平均處理時間可以壓縮到 1 次蝶形運(yùn)算的時間 。 蝶形運(yùn)算在軟件實(shí)現(xiàn)時可以將其設(shè)置為函數(shù)，在運(yùn)算中調(diào)用；在硬件實(shí)現(xiàn)時可將其設(shè)計(jì)為基本功能單元（目前已有專用的 FFT 集成器件）； MATLAB 的 FFT 函數(shù)定義 FFT 函數(shù) fft（ x， N） ：計(jì)算 N 點(diǎn)時間序列 x的 DFT ? ? ? ? 1,....1,010??? ???NmWnxmX nmNn 由時間序列 ??nx 計(jì)算頻譜序列 ? ?mX ：都為 N 點(diǎn)序列，下標(biāo)排列都為 0N1。 對稱區(qū)間排布函數(shù) shift（ fft（ x， N））：參見 可以使 ? ?NTm /2?? ? 的取值位于 ]/,/( TT ??? 的對稱區(qū)間內(nèi)； 用 FFT 進(jìn)行頻譜計(jì)算 26 有限時間序列的頻譜計(jì)算 從 0 開始的序列： 直接對該序列進(jìn)行計(jì)算 ( 例 ) 不是從 0 開始的序列： 將該序列進(jìn)行周期性擴(kuò)展后，選取從 0 開始的周期進(jìn)行計(jì)算 % program N=4。T=。D=2*pi/(N*T)。 %設(shè)置序列點(diǎn)數(shù) N，時域采樣周期 T，頻域采樣周期 D x=[2 1 1 1]。 % 給出時間信號 序列 X=fftshift(fft(x,N))。 % 選取對稱區(qū)間進(jìn)行 FFT，得出離散頻率序列 m=floor((N1)/2):floor((N1)/2)。 % 設(shè)置離散頻率坐標(biāo)向量 w=2*pi::2*pi。 % 設(shè)置準(zhǔn)連續(xù)頻率坐標(biāo)范圍及分辨率 X1=2exp(j**w)+exp(j*w)+exp(j**w)。 % 根據(jù)定義寫出連續(xù)頻率函數(shù) subplot(1,2,1),plot(w,abs(X1),m*D,abs(X),39。o:39。),title(39。(a)39。)。 %幅頻特性圖 subplot(1,2,2),plot(w,angle(X1),m*D,angle(X),39。o:39。),title(39。(b)39。)。 %相頻特性圖 當(dāng)序列很短時，頻域采樣點(diǎn)太少，頻率分辨率低； 提高頻率分辨率的手段： 為時域序列補(bǔ) 0，增加采樣點(diǎn)數(shù) N 從 0 開始的序列： 在該序列之后補(bǔ) 0 可以通過直接改寫程序中的 N 值實(shí)現(xiàn)，當(dāng) N 大于 x序列長度時， fft（ x， N）自動為 x補(bǔ) 0； 直接對該序列進(jìn)行計(jì)算 ( 例 ) 不是從 0開始的序列： 將該序列進(jìn)行尾端補(bǔ) 0后 ，再進(jìn)行周期性擴(kuò)展，然后選取從 0開始的周期進(jìn)行計(jì)算；（ 例 ） 若只是計(jì)算幅頻特性，也可以將序列起點(diǎn)直接移到 0點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算（時移不影響幅頻特性）； 無限時間序列的頻譜計(jì)算 無限序列通常不存在分辨率問題，但必須進(jìn)行截?cái)嗖拍苡?jì)算； 截?cái)啾厝粚?dǎo)致誤差，計(jì)算時需要考慮計(jì)算精度問題； 方案： 尋找最小的 a，使得采用 N=2a點(diǎn)序列和 N/2 點(diǎn)序列計(jì)算之差在指定誤差范圍（幅頻特性峰值的百分比）內(nèi)； 要點(diǎn)： 只對幅頻特性進(jìn)行比較； 若時間序列為實(shí)序列，則幅頻特性為偶函數(shù)，只對正區(qū)間比較； 兩序列頻譜采樣 點(diǎn)密度不同，只能在公共的采樣點(diǎn)上進(jìn)行比較； 例 要點(diǎn)：兩序列比較時，長序列密度比短序列大，因此長序列隔位與短序列逐位比較； % program T=。a=1。b=100。beta=1。 while bbeta N1=2^a。 n1=0:N11。 x1=.^n1。X1=fft(x1)。 N2=2*N1。 n2=0:N21。 x2=.^n2。X2=fft(x2)。 m1p=0:N1/2。 d=max(abs(abs(X1(m1p+1))abs(X2(2*m1p+1))))。 mm=max(abs(X1(m1p+1)))。 b=d/mm*100。a=a+1。 end N2,b 連續(xù)時間信號的頻譜計(jì)算 27 當(dāng)連續(xù)時間信號不能表達(dá)為閉合形式時，只能采用數(shù)值計(jì)算； 連續(xù)信號的計(jì)算必須先在長度為 L 的區(qū)間內(nèi)經(jīng)時間采樣（周期 T）成為 N 點(diǎn)序列，才能進(jìn)行計(jì)算； 本節(jié)只考慮絕對可積的連續(xù)時間信