【正文】 FFT 計算時，正區(qū)間信號比較簡便； 對于連續(xù)信號，信號出現(xiàn)的時間可以選為 t=0，因此所有實際信號都可以看作為正區(qū)間信號； 利用 fft 和 shift 函數(shù)進行正變換，可以直接得到 ]/,/( TT ??? 區(qū)間的頻譜； 將對稱區(qū)間的頻譜變換到 )/2,0[ T? 區(qū)間，利用 ifft 函數(shù)可以得到原始的時間序列（選擇 N 使得得到的非零序列的最后若干位實際上全為 0）； 第 5 章 線性時不變集總系統(tǒng) 系統(tǒng) ：信號之間的關系 輸入信號 —系統(tǒng)處理 輸出信號 29 確定的輸入只產生唯一確定的輸出 ? ? ? ??tx 連續(xù)系統(tǒng) ? ?ty? ?? ? ? ? ??nx 離散系統(tǒng) ? ?ny? ?? 線性系統(tǒng) 可加性 ? ? ? ? ? ? ? ?nynynxnx 2121 ?? ??? 比例性 ? ? ? ?naynax ii ? ?? 時不變系統(tǒng) 時移不變性 ? ? ? ?11 nnynnx ?? ??? 對于時不變系統(tǒng)，可以將輸入信號開始出現(xiàn)的時間設置為 0； 初始松弛條件 ? ? ? ? 00 ??? nnynx 系統(tǒng)初始狀態(tài)為 0； 在系統(tǒng)分析中，通常只考慮正時間區(qū)間 ),0[ ? ； 線性時不變系統(tǒng) LTI 系統(tǒng) ? ? ? ?nynx ? ?? LTI 系統(tǒng)的卷積描述 沖激序列 ? ????????knknkn01? 只在一個時刻取值為 1，在其他任何時刻取值為 0； 任意信號序列可以用沖激序列表示： ? ? ? ? ? ??????0kknkxnx ? 沖激響應 ? ? ? ?nhn ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??????? ????00 kkknhkxnyknkxnx ? 離散卷積 ? ? ? ? ? ? ? ???????0kknhkxnhnx 由系統(tǒng)沖激響應 ??nh 可以得出系統(tǒng)的全部特性，設計系統(tǒng)就是設計系統(tǒng)的沖激響應； 例 由系統(tǒng)特定輸入輸出求 ??nh ，進而得出 ??ny 的一般形式； 例 由 ??nh 求系統(tǒng)的差分方程（移動平均濾波器）； 30 因果性 ? ? 00 ?? nnh 輸出信號產生于輸入信號之后； 物理系統(tǒng)實現(xiàn)的必要條件； 對于因果系統(tǒng)， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? nknkknxkhknhkxny00 卷積具有交換性。計算可以得出精確的幅頻特性，但通常不能得到準確的相位（相位與延時有關）。 end N2,b 連續(xù)時間信號的頻譜計算 27 當連續(xù)時間信號不能表達為閉合形式時，只能采用數(shù)值計算； 連續(xù)信號的計算必須先在長度為 L 的區(qū)間內經時間采樣（周期 T）成為 N 點序列，才能進行計算； 本節(jié)只考慮絕對可積的連續(xù)時間信號； 正區(qū)間信號 （ t0 時， x=0） 選擇信號區(qū)間 [0， L]： L=TN 需考慮的問題： 頻率混疊 T 盡可能小 頻率分辨率 N 盡可能大 截斷效應 L 盡可能大 計算量 N 盡可能小 建議步驟： 首先選擇 L 使其包含 x明顯不為 0 的主要區(qū)域； 然后尋找最小的 a，使得采用 N=2a點序列和 N/2點序列計算之差在指定誤差范圍（幅頻特性峰值的百分比）內，由此確定使頻率混疊可以忽略的采樣周期 T； 利用已確定的 T，尋找最小的 a，使得采用 N=2a點序列和 N/2點序列計算之差在指定誤差范圍（幅頻特性峰值的百分比）內，由此確定使截斷效應可以忽略的信號區(qū)間 L； 采用上述方式，可以使幅頻特性、頻 譜實部及虛部均收斂于實際頻譜，只有相頻特性不收斂； 例 —170 連續(xù)時間周期信號的頻譜計算 對于周期信號，由于無限長而且不滿足絕對可積條件，將其截斷時必然產生嚴重的截斷效應（頻率漏泄）； 周期信號在頻譜中對應于沖激，其特點為：當 N加倍時，沖激高度加倍，寬度變窄；由此效應可判斷頻譜中是否存在周期信號。 b=d/mm*100。 d=max(abs(abs(X1(m1p+1))abs(X2(2*m1p+1))))。X2=fft(x2)。 n2=0:N21。X1=fft(x1)。 n1=0:N11。beta=1。a=1。)。),title(39。 %幅頻特性圖 subplot(1,2,2),plot(w,angle(X1),m*D,angle(X),39。(a)39。o:39。 % 設置準連續(xù)頻率坐標范圍及分辨率 X1=2exp(j**w)+exp(j*w)+exp(j**w)。 % 選取對稱區(qū)間進行 FFT，得出離散頻率序列 m=floor((N1)/2):floor((N1)/2)。 %設置序列點數(shù) N，時域采樣周期 T，頻域采樣周期 D x=[2 1 1 1]。T=。 蝶形運算在軟件實現(xiàn)時可以將其設置為函數(shù)，在運算中調用；在硬件實現(xiàn)時可將其設計為基本功能單元（目前已有專用的 FFT 集成器件）； MATLAB 的 FFT 函數(shù)定義 FFT 函數(shù) fft（ x， N） ：計算 N 點時間序列 x的 DFT ? ? ? ? 1,....1,010??? ???NmWnxmX nmNn 由時間序列 ??nx 計算頻譜序列 ? ?mX ：都為 N 點序列，下標排列都為 0N1。 23 ? ? ? ? 1,....1,010??? ???NmWnxmX nmNnd 要點： ? ?nmNjnm eW /2??? 以 N 為周期，均勻分布于單位圓上 nmNnm WW ?? nmNnm WW ??? 2/ 例： N=8 8 點序列的 DFT 分析 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? mmmd WxWxWxxmX 32 3210 ???? ? ? ? ? ? ? ? ? mmmm WxWxWxWx 7654 7654 ???? ? ? ? ? ? ? ? ? mmm WxWxWxx 642 6420 ???? ? ? ? ? ? ? ? ? mmmm WxWxWxWx 753 7531 ???? ? ? ? ? ? ? ? ? mmm WxWxWxx 642 6420 ???? 1X ? ? ? ? ? ? ? ?? ?mmmm WxWxWxxW 642 7531 ???? 2X ? ? ? ? 7,....1,021 ??? mmXWmX m 利用 nmW 的性質可以得到 ? ? ? ?mXmX 11 4 ?? ? ? ? ?mXmX 22 4 ?? 所以可以得出 ? ? ? ? ? ? 3,2,1,021 ??? mmXWmXmX md ? ? ? ? ? ? 3,2,1,04 21 ???? mmXWmXmX md 注意： ? ?mX1 是以 0， 2， 4， 6 點構成序列 ??nx1 的 DFT ? ?mX2 是以 1， 3， 5， 7 點構成序列 ??nx2 的 DFT 將 N 點序列拆分為兩 個 N/2 點序列進行計算： 24 運算結構：蝶形運算（ butterfly equation） 左邊 m 只取 4 個值，右邊 m 取 8 個值 繼續(xù)對 ? ?mX1 和 ? ?mX2 進行分析： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? mmm WWxxWxxmX 2441 6240 ???? 11X 12X ? ? ? ? 3,2,1,012211 ??? mmXWmX m 利用 nmW 的性質可以得到 ? ? ? ?mXmX 1111 2 ?? ? ? ? ?mXm 1212 2 ?? 所以可以得出第 2 層蝶形運算關系： ? ? ? ? ? ? 1,0122111 ??? mmXWmXmX m ? ? ? ? ? ? 1,02 122111 ???? mmXWmXmX m ? ?mX11 是以 0， 4 點構成序列 ??nx11 的 DFT ? ?mX12 是以 2， 6 點構成序列 ??nx12 的 DFT 將 N/2 點序列拆分為兩個 N/4 點序列進行計算 進一步可以得到第 3 層蝶形運算關系： ? ? ? ? ? ?40011 xxX ?? ? ? ? ? ? ?40111 xxX ?? 上述運算過程可以由蝶形運算圖表示為： 25 可以看到，在上圖中采用了蝶形運算作為運算基本單元，一個蝶形運算的單元如下圖所示： 輸入 3 個復數(shù) A ， B， C 輸出 2 個復數(shù) X1， X2 輸入 /輸出關系為： X1=A+B*C X2=AB*C 1 個蝶形運算涉及 1 次復數(shù)乘法（ 4 次實數(shù)乘， 2次實數(shù)加）， 2 次復數(shù)加（ 4次實數(shù)加）。 DFT的性質 （與 DTFS 和 DTFT類似） 對于時域序列，將有限長序列擴展為無限長周期序列進行討論。 時限帶限理論 任何非零連續(xù)信號都不可能即為時限又為帶限； 利用數(shù)字技術處理連續(xù)信號時必然需要截斷，必然產生誤差； 在一定誤差范圍內，有限能量的連續(xù)信號可以近視看作為時限帶限信號，并利用數(shù)字技術處理。 矩形窗截斷必然導致 Gibbs 現(xiàn)象 圖 Nyquist 采樣定理 采樣：利用沖激串相乘使連續(xù)時間信號離散化 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?????????????? ???? ????mdFTns TmXTXnTttxtx ???? 21 恢復采樣信號的條件： 3 帶限信號 ? ? WforX ?? ?? 0 存在最高頻率 ?2/max Wf ? 4 采樣頻率 m a x2/1 fTfs ?? （ Nyquist rate） 滿足上述條件時，可通過頻域的低通濾波（截止頻率為 2/sf ）分離出原始頻譜，恢復信號； 該操作等效于時域的理想內插恢復（在每個采樣點插入連續(xù)取樣函數(shù)）。 20 時限帶限理論 任何非零連續(xù)信號都不可能即為時限又為帶限； 利用數(shù)字技術處理連續(xù)信號時必然需要截斷，必然產生誤差； 在一定誤差范圍內，有限能量的連續(xù)信號可以近視看作為時限帶限信號，并利用數(shù)字技術處理。 矩形窗截斷必然導致 Gibbs 現(xiàn)象 圖 連續(xù)信號的離散化 連續(xù)信號不能進行數(shù)值計算，必須離散化為離散信號； 連續(xù)信號離散化過程稱為采樣過程； Nyquist 采樣定理 理想采樣：利用沖激串相乘使連續(xù)時間信號離散化 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?????????????? ???? ????mdFTns TmXTXnTttxtx ???? 21 時域離散化 頻域周期性復制 恢復采樣信號的條件： 1 帶限信號 ? ? WforX ?? ?? 0 存在最高頻率 ?2/max Wf ? 2 采樣頻率 m a x2/1 fTfs ?? （ Nyquist rate） 滿足上述條件時，可通過頻域的低通濾波（截止頻率為 2/sf ）分離出原始頻譜，恢復信號； 該操作等效于時域的理想內插恢復（在每個采樣點插入連續(xù)取樣函數(shù)）。 對于連續(xù)信號，增大 L 可以將上述效應削弱到可以忽略的程度； 例 ? ? ? ?tuetx ?? 的頻譜：采用不同寬度的窗口截斷； （ 圖 ） Gibbs 現(xiàn)象 用付氏變換表達時間函數(shù)時，當頻譜信號含有不連續(xù)點時，頻譜的紋波將會變窄并靠近該點，但紋波不會隨 L 的無限增大而消失，而是趨于一個常量（寬度無限小，高度約為不連續(xù)變化量的 9%）； （ 圖 ） 將頻譜變換為時間函數(shù)時存在相同的 現(xiàn)象； 采用矩形窗口截斷信號必然出現(xiàn) Gibbs 現(xiàn)象。 m=2:mu+1。 X=fft(x/N)。D=2*pi/4。 11 P1=sum(x.^2)*T/P X=fft(x/N)。 n=0:N1。N=11。 stem(m*D,abs(shift(X2)))。 a=a+1。 mm=max(abs(X1(m1p+1)))。 m1p=0:N1/2。 x2=[ones(1,q2+1) zeros(1,N22*q21) ones(1,q2)]。T2=P/N2。 X1=fft(x1/N1)。q1=floor(1/T1)。 while bbeta N1=2^a。D=2*pi/P。b=100。)。,39。 10 stem(m*D,shift(X),39。 X=fft(x/N)。 q=floor(1/T)。T=P/N。 N=42。)。 su