【導讀】本課程討論的信號：時間函數(shù)??理想濾波器與低階數(shù)字濾波；輸入各類命令，按回車即得到該命令執(zhí)行結果；若需要輸入多行命令或程序，各行間用“；”間隔；打開空白文件或已經有的文件，進行程序文件的輸入編輯；一行中“%”以后內容為注釋部分，不影響程序執(zhí)行；現(xiàn)錯誤，可在命令窗口看到錯誤類型及位置，根據(jù)錯誤檢測信息對程序進行調試；在MATLAB中，任何變量或函數(shù)均表現(xiàn)為向量，任何向量的元素編號均從1開始；也可以采用起點，終點和步長的形式寫出：n=[-2::2]；等函數(shù)為圖形設置說明和坐標范圍；DT信號由CT信號采樣得到；對于DT信號，頻率與周期沒有直接對應關系；fd與采樣頻率有關，位于],(ssff?將高頻按周期折合到低頻（主值區(qū)）；tx絕對可積，而且在一個周期內間斷點和極值點有限；

　　

【正文】 可和的輸入成立； 由以上關系可得： ? ? ? ? ? ??? ? djd XeHY ? 系統(tǒng) —頻率響應 信號 —頻譜 單位圓上的系統(tǒng)函數(shù) ? ? ? ??jeHzH ? ?? 就是系統(tǒng)的頻率響應； MATLAB 函數(shù)： [h， w]=freqz (bn,an,n) 給出 ),0[ ? 區(qū)間上 n 點等分的頻率響應； （沒有 n 時，自動給出 512 點）； 可以用 w 為頻率坐標， h 為函數(shù)，利用 plot 函數(shù)畫出頻率響應曲線； 系統(tǒng)一般響應的計算 MATLAB 函數(shù)： y=dlsim (bp,ap,x) y=filter (bn,an,x) 對指定系統(tǒng)和輸入序列 x，給出輸出序列 y（長度與 x相同）； 例 ( ) 例 ( ) 穩(wěn)態(tài)響應與暫態(tài)響應 由穩(wěn)定輸入信號（如階躍信號、正弦信號）產生的響應為穩(wěn)態(tài)響應，響應函數(shù)形式與輸入函數(shù)形式基本一致； 由系統(tǒng)極點產生的響應為暫態(tài)響應，響應呈現(xiàn)指數(shù)衰減形式； 暫態(tài)響應持續(xù)時間（ 1%最大值）的計算： ?ln/??a 為系統(tǒng)的最大極點， a 為序列長度； 有限時間后，可以認為系統(tǒng)響應進入穩(wěn)態(tài)；在進行系統(tǒng)分析時，通?？梢圆豢紤]暫態(tài)響應。 連續(xù)時間 LTIL 系統(tǒng) ? ? ? ?tytx ? ?? 沖激響應： ? ? ? ? ? ? ? ?thtyttx ?? ??? ? 卷積形式： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ????0 txthdxthty ??? 微分方程形式： ? ? ? ? ? ? ? ? ...... 1211121 ?????? ??? MMNNN xbxbyayaya Laplace 變換： ? ? ? ??? ??0 dtetxsX st 35 基本變換對 ? ? ? ?sXtx LT?? ?? 表 重要性質 ? ? ? ?ssXdt tdx LT?? ?? Laplace 變換與 z變換的關系 sez? 10 ?? ??? zs ?? jezjs ?? ??? 0?? ????? zs 系統(tǒng)函數(shù) ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?sA sBsX sYdtethsH st ??? ???0 對于穩(wěn)定因果系統(tǒng)，所有極點位于左半平面； 穩(wěn)定性： ? ? ???? dtth0 頻率響應： ? ??jH 對于穩(wěn)定系統(tǒng)成立 ? ? ? ? ? ???? jXjHjY ? 穩(wěn)態(tài)響應與暫態(tài)響應 時間常數(shù) = （極點實部絕對值的倒數(shù)） MAX 系統(tǒng)響應與極點位置的關系 圖 連續(xù)時間系統(tǒng)頻率響應的計算與測量 MATLAB 函數(shù) b=[b(1) b(2) …b(M+1)] 。 a=[a(1) a(2)…a(N+1)]。 [H,w]=freqs(b,a) 已知系統(tǒng)函數(shù)時，在 ),0[ ? 區(qū)間內自動選擇 200 個頻率點計算頻率響應； 不知道系統(tǒng)函數(shù)時，只能通過測量得 到頻率響應，再求得系統(tǒng)函數(shù)； 測量方案： 1 使用標準正弦信號實行掃頻測量，采用頻譜分析儀或網絡分析儀進行測量并直接得出系統(tǒng)函數(shù)； 2 加入沖激信號，采用 FFT 由輸出響應計算輸出頻譜；輸出頻譜直接對應于系統(tǒng)頻率響應； 36 第 6章 數(shù)字濾波器 — 理想濾波器與實際濾波器 濾波器基本概念 ? ? ? ? ? ?nxnhny ?? ? ? ? ? ? ??? ? XeHY j ?? 系統(tǒng)的作用：將輸入頻譜改變?yōu)檩敵鲱l譜 濾波：對于幅頻特性的改變 頻譜變形 頻率選擇 能物理實現(xiàn)的濾波器的系數(shù)必定為實數(shù)，其幅頻響應為 偶，相頻響應為奇；所以濾波器頻率響應只需要在正頻率區(qū)間 ? ??,0 內表達； 名詞：通帶 阻帶 截止頻率 帶寬 低通 高通 帶通 帶阻 理想低通數(shù)字濾波器 頻率響應 ? ????????? ????????ccjnj eeH01 0 圖 理想低通； 通帶內：幅度為 1， 線性相位（與時移對應）； 阻帶內：幅度為 0； 沒有過渡帶； 只容許低頻信號通過；通帶內的信號通過時只發(fā)生延遲，不發(fā)生信號畸變； 濾波器的實現(xiàn) 物理實現(xiàn)的必要條件 —因果系統(tǒng)： ? ? 00 ?? nnh ? ? ? ???? ?? ?? ?? deeHnh jnj21 對于理想低通濾波器 ? ? ? ?? ?? ?????????00s i n2 1 0 nn nndeenh cjnjn ???? ??? 理想低通濾波器為非因果系統(tǒng)，不能實現(xiàn)； 只考慮幅頻特性時的逼近處理： 1 采用長延時，則在負時間區(qū)域內， ??nh 可以足夠接近于 0；代價為系統(tǒng)延時增加；（圖 ） 2 采用截止頻率為 c? 的高階 Butterworth 濾波器；（圖 ） 實際濾波器參數(shù) （圖 ） 通帶波動 阻帶波動 過渡帶 通帶截止頻率 阻帶截止頻率 37 群延遲范圍 ? ? ? ?????? dd?? MATLAB 函數(shù)： [gd,w]=grpdelay (b,a,256) 對采用 b， a 向量描述的系統(tǒng)，在 ? ??,0 區(qū)間等分 256 點給出群延遲和對應頻率； 容許范圍越小，濾波器結構越復雜； 對于 FIR 濾波器，總是具有線性相位，設計目標為滿足指定的幅頻特性； 對于 IIR 濾波器，在設計時只能考慮滿足指定的幅頻特性，然后另行設計一 個全通濾波器來改善其相頻特性； 設計目標： 最簡單的數(shù)字因果濾波器，滿足指定的幅頻特性 系統(tǒng)函數(shù)為有理真分式，階數(shù)最小，系統(tǒng)穩(wěn)定； 模擬濾波器基本概念 圖 MATLAB 函數(shù) [H,w]=freqz(bn,an) 對采用 bn， an 向量描述的系統(tǒng)，在 ? ??,0 區(qū)間等分 512 點給出頻率響應和對應頻率點； 一階數(shù)字濾波器 單極點，無零點 系統(tǒng)函數(shù) ? ? 111 11 ????? ?? aazzazzH 系統(tǒng)頻率響應 ? ? ??? jjj epaeeH ???? 11 (圖 P. 262) 討論：極點位置對于頻率響應的影響 a=0 全通，線性相位 全通濾波器（單位延遲元件） a0 高通 a0 低通 a 絕對值越大，變化越大； 單極點，單零點 系統(tǒng)函數(shù) ? ? 1111 11 ???????? ?? baazbzaz bzzH 系統(tǒng)頻率響應 ? ? ? ?????? ????? jjjj epqae beeH 38 (圖 P. 263) 討論：零點位置對于頻率響應的影響 b 絕對值越大，頻率幅度越?。唬ㄗ饔门c極點相反） 設計濾波器時，零點應盡可能遠離極點； 低通濾波 設計方案： 11 ??? ba ? ? azzazH ???? 121 帶寬確定 ? ? 1max ??jeH ，通帶截止頻率為 p? ： 通帶寬度（ 3db 帶寬） db： ? ? ? ? 3log10log20 21010 ??? pp jj eHeH ?? 即： ? ? ?pjeH ? 結論： aaap ???????? ?? ? 11 2co s 21? 帶寬等于極點到單位圓的距離 例 低通濾波 對連續(xù)時間信號的處理 離散化 ：根據(jù)采樣定理選擇采樣周期 T，避免頻率混疊； 頻率范圍： ? ? ]/,/(, TT ???? ????? 歸一化：對頻率乘以 T； 頻率范圍： ],(]/,/( ???? ?? ??? TT 根據(jù)所需頻率選擇帶寬，確定極點值 a； 根據(jù)歸一化條件得出系統(tǒng)函數(shù) ? ? 810 1121 ??????? zzazzazH 利用 MATLAB 程序畫出輸入 /輸出信號： () 圖 高通濾波設計方案 11 ??? ba ? ? azzazH ???? 121 39 例 高通濾波 對連續(xù)時間信號的處理 步驟與例 相同 結果： ? ? 810 1??? zzzH 圖 數(shù)字高通濾波器的問題 由于采樣的限制，會引入對信號的低頻調制；這種調制效應難以消除； 二階數(shù)字濾波器 雙極點，雙零點 系統(tǒng)函數(shù) ? ? ? ?? ?? ?? ? 1122 221111 ???? ??? ? baeazeaz ebzebzzH jaja jbjb 頻率響應 ? ? ? ?21212121 ????? ???? jj epp qqeH ( 圖 ) 特點： 頻譜幅度隨極點到單位圓距離增大而減小，隨零點到單位圓距離增大而增大； 極點 靠近單位圓：出現(xiàn)幅頻峰值； 零點靠近單位圓：出現(xiàn)幅頻谷值； 適當排布零點和極點的位置，可以得出不同的幅頻特性； 低通濾波器 11 ?? aa 高通濾波器 11 ??? aa 帶通濾波器 11 ??? aa 數(shù)字諧振器 111 21 ???? bba ? ? ? ?? ?? ?? ?00 110 ?? jj aezaez zzbzH ??? ??? 圖 例 數(shù)字諧振器 連續(xù)信號的帶通濾波 根據(jù)采樣定理選取采樣周期 T； 進行頻率范圍的歸一 化； 確定帶寬范圍 ? ?a?12 ：上下截止頻率 ； 利用標準公式求出歸一化常數(shù) 0b ： 結果： 圖 40 結果顯然優(yōu)于例 的數(shù)字高通濾波器； 阻塞濾波器 零點位于 0?je? ，極點靠近零點 圖 ? ? ? ?? ?? ?? ?00 00 ?? ?? jj jj aezaez ezezzH ???? ??? 例 阻塞濾波器 濾除 60Hz 信號 選取采樣周期 T，得出歸一化頻率； 帶入公式進行設計； 結果：圖 零點對濾波器特性的影 響 極點只能位于單位圓內，但零點可以位于單位圓內外的任意地方； 零點 ?jbe 與 ? ? ?jeb/1 互為 倒數(shù)根 ；它們分別位于單位圓內外的對稱位置； 在采用系統(tǒng)函數(shù)分析頻率特性時，將任何零點用其倒數(shù)根替代，其幅頻特性不受影響；因此，設計數(shù)字濾波器時，總可以假定所有零點都位于單位圓內； 將零點用其倒數(shù)根替代會改變系統(tǒng)的相頻特性；單位圓內的零點稱為 最小相位零點 ；若系統(tǒng)函數(shù)的零點全在單位圓內，稱為 最小相位系統(tǒng)函數(shù) ； 全通濾波器 當所有極點與零點互為倒數(shù) 根時，幅頻特性恒定為 1； ? ? ? ?1121111 ... ...????????????NNNkNNNNazazazazazazH 所有零點均位于單位圓外，相頻特性變化大； 用于延遲單元或相位均衡器：提供延遲，改變系統(tǒng)相頻特性； 梳狀濾波器 阻塞濾波器的擴展：具有等距阻塞點的濾波器； ? ? ? ? azzzHazzzH ???? ????? 44 11 圖 正弦發(fā)生器 在單位圓上有一個單極點：臨界穩(wěn)定，保持暫態(tài)； ? ? ? ?? ? 210101 co s21 s i n ?????? zzzzH?? ? ? nAnh 01 sin ?? 41 ? ? ? ?? ? 210102 co s21 co s1 ???????zzzzH?? ? ? nAnh 02 co s?? 第七章 FIR 濾波器設計 FIR 濾波器基本特點 沖激響應長度有限： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?NnxNhnxhnxhny ?????? ...110 設 ： ? ? 00 ?h ， ? ? 0?Nh ； N 階 FIR 濾波器，長度為 N+1 系統(tǒng)函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ? NzNhzhhzH ?? ???? ...10 1 ? ? ? ? ? ?NNNz Nhzhzh ????? ...10 1 N 個極點都位于原點， N 個零點； 頻率響應計算 MATLAB 函數(shù) [H,w]=freqz (h,1) 給 出 ),0[ ? 區(qū)間上 512 個頻率點的頻率響應 設計目標： 求解有限沖激響應，使其盡可能逼近要求的頻率響應線性相位濾波器；圖 對低通濾波器的設計要求 設計思想 對于絕大多數(shù)系統(tǒng)，希望實現(xiàn)的頻率響應在 ],[ ??? 區(qū)間具有奇偶對稱性；這種對稱性反映到實沖激響應上，也可以使沖激響應表達為偶序列或奇序列； 對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，當 N 足夠大時，總有 ? ? 0?Nh ，因此可以將無限沖激響應截斷為只含 N 項的 有限沖激響應，使得后者頻率響應逼近于前者； 42 若截斷區(qū)間為對稱，則得到的有限沖激響應具有奇偶對稱性，其頻率響應可以表現(xiàn)為實