【正文】 [H,w]=freqs(b,a) 已知系統(tǒng)函數(shù)時(shí)，在 ),0[ ? 區(qū)間內(nèi)自動(dòng)選擇 200 個(gè)頻率點(diǎn)計(jì)算頻率響應(yīng)； 不知道系統(tǒng)函數(shù)時(shí)，只能通過測量得 到頻率響應(yīng)，再求得系統(tǒng)函數(shù)； 測量方案： 1 使用標(biāo)準(zhǔn)正弦信號實(shí)行掃頻測量，采用頻譜分析儀或網(wǎng)絡(luò)分析儀進(jìn)行測量并直接得出系統(tǒng)函數(shù)； 2 加入沖激信號，采用 FFT 由輸出響應(yīng)計(jì)算輸出頻譜；輸出頻譜直接對應(yīng)于系統(tǒng)頻率響應(yīng)； 36 第 6章 數(shù)字濾波器 — 理想濾波器與實(shí)際濾波器 濾波器基本概念 ? ? ? ? ? ?nxnhny ?? ? ? ? ? ? ??? ? XeHY j ?? 系統(tǒng)的作用：將輸入頻譜改變?yōu)檩敵鲱l譜 濾波：對于幅頻特性的改變 頻譜變形 頻率選擇 能物理實(shí)現(xiàn)的濾波器的系數(shù)必定為實(shí)數(shù)，其幅頻響應(yīng)為 偶，相頻響應(yīng)為奇；所以濾波器頻率響應(yīng)只需要在正頻率區(qū)間 ? ??,0 內(nèi)表達(dá)； 名詞：通帶 阻帶 截止頻率 帶寬 低通 高通 帶通 帶阻 理想低通數(shù)字濾波器 頻率響應(yīng) ? ????????? ????????ccjnj eeH01 0 圖 理想低通； 通帶內(nèi)：幅度為 1， 線性相位（與時(shí)移對應(yīng)）； 阻帶內(nèi)：幅度為 0； 沒有過渡帶； 只容許低頻信號通過；通帶內(nèi)的信號通過時(shí)只發(fā)生延遲，不發(fā)生信號畸變； 濾波器的實(shí)現(xiàn) 物理實(shí)現(xiàn)的必要條件 —因果系統(tǒng)： ? ? 00 ?? nnh ? ? ? ???? ?? ?? ?? deeHnh jnj21 對于理想低通濾波器 ? ? ? ?? ?? ?????????00s i n2 1 0 nn nndeenh cjnjn ???? ??? 理想低通濾波器為非因果系統(tǒng)，不能實(shí)現(xiàn)； 只考慮幅頻特性時(shí)的逼近處理： 1 采用長延時(shí)，則在負(fù)時(shí)間區(qū)域內(nèi)， ??nh 可以足夠接近于 0；代價(jià)為系統(tǒng)延時(shí)增加；（圖 ） 2 采用截止頻率為 c? 的高階 Butterworth 濾波器；（圖 ） 實(shí)際濾波器參數(shù) （圖 ） 通帶波動(dòng) 阻帶波動(dòng) 過渡帶 通帶截止頻率 阻帶截止頻率 37 群延遲范圍 ? ? ? ?????? dd?? MATLAB 函數(shù)： [gd,w]=grpdelay (b,a,256) 對采用 b， a 向量描述的系統(tǒng)，在 ? ??,0 區(qū)間等分 256 點(diǎn)給出群延遲和對應(yīng)頻率； 容許范圍越小，濾波器結(jié)構(gòu)越復(fù)雜； 對于 FIR 濾波器，總是具有線性相位，設(shè)計(jì)目標(biāo)為滿足指定的幅頻特性； 對于 IIR 濾波器，在設(shè)計(jì)時(shí)只能考慮滿足指定的幅頻特性，然后另行設(shè)計(jì)一 個(gè)全通濾波器來改善其相頻特性； 設(shè)計(jì)目標(biāo)： 最簡單的數(shù)字因果濾波器，滿足指定的幅頻特性 系統(tǒng)函數(shù)為有理真分式，階數(shù)最小，系統(tǒng)穩(wěn)定； 模擬濾波器基本概念 圖 MATLAB 函數(shù) [H,w]=freqz(bn,an) 對采用 bn， an 向量描述的系統(tǒng)，在 ? ??,0 區(qū)間等分 512 點(diǎn)給出頻率響應(yīng)和對應(yīng)頻率點(diǎn)； 一階數(shù)字濾波器 單極點(diǎn)，無零點(diǎn) 系統(tǒng)函數(shù) ? ? 111 11 ????? ?? aazzazzH 系統(tǒng)頻率響應(yīng) ? ? ??? jjj epaeeH ???? 11 (圖 P. 262) 討論：極點(diǎn)位置對于頻率響應(yīng)的影響 a=0 全通，線性相位 全通濾波器（單位延遲元件） a0 高通 a0 低通 a 絕對值越大，變化越大； 單極點(diǎn)，單零點(diǎn) 系統(tǒng)函數(shù) ? ? 1111 11 ???????? ?? baazbzaz bzzH 系統(tǒng)頻率響應(yīng) ? ? ? ?????? ????? jjjj epqae beeH 38 (圖 P. 263) 討論：零點(diǎn)位置對于頻率響應(yīng)的影響 b 絕對值越大，頻率幅度越??；（作用與極點(diǎn)相反） 設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，零點(diǎn)應(yīng)盡可能遠(yuǎn)離極點(diǎn)； 低通濾波 設(shè)計(jì)方案： 11 ??? ba ? ? azzazH ???? 121 帶寬確定 ? ? 1max ??jeH ，通帶截止頻率為 p? ： 通帶寬度（ 3db 帶寬） db： ? ? ? ? 3log10log20 21010 ??? pp jj eHeH ?? 即： ? ? ?pjeH ? 結(jié)論： aaap ???????? ?? ? 11 2co s 21? 帶寬等于極點(diǎn)到單位圓的距離 例 低通濾波 對連續(xù)時(shí)間信號的處理 離散化 ：根據(jù)采樣定理選擇采樣周期 T，避免頻率混疊； 頻率范圍： ? ? ]/,/(, TT ???? ????? 歸一化：對頻率乘以 T； 頻率范圍： ],(]/,/( ???? ?? ??? TT 根據(jù)所需頻率選擇帶寬，確定極點(diǎn)值 a； 根據(jù)歸一化條件得出系統(tǒng)函數(shù) ? ? 810 1121 ??????? zzazzazH 利用 MATLAB 程序畫出輸入 /輸出信號： () 圖 高通濾波設(shè)計(jì)方案 11 ??? ba ? ? azzazH ???? 121 39 例 高通濾波 對連續(xù)時(shí)間信號的處理 步驟與例 相同 結(jié)果： ? ? 810 1??? zzzH 圖 數(shù)字高通濾波器的問題 由于采樣的限制，會(huì)引入對信號的低頻調(diào)制；這種調(diào)制效應(yīng)難以消除； 二階數(shù)字濾波器 雙極點(diǎn)，雙零點(diǎn) 系統(tǒng)函數(shù) ? ? ? ?? ?? ?? ? 1122 221111 ???? ??? ? baeazeaz ebzebzzH jaja jbjb 頻率響應(yīng) ? ? ? ?21212121 ????? ???? jj epp qqeH ( 圖 ) 特點(diǎn)： 頻譜幅度隨極點(diǎn)到單位圓距離增大而減小，隨零點(diǎn)到單位圓距離增大而增大； 極點(diǎn) 靠近單位圓：出現(xiàn)幅頻峰值； 零點(diǎn)靠近單位圓：出現(xiàn)幅頻谷值； 適當(dāng)排布零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置，可以得出不同的幅頻特性； 低通濾波器 11 ?? aa 高通濾波器 11 ??? aa 帶通濾波器 11 ??? aa 數(shù)字諧振器 111 21 ???? bba ? ? ? ?? ?? ?? ?00 110 ?? jj aezaez zzbzH ??? ??? 圖 例 數(shù)字諧振器 連續(xù)信號的帶通濾波 根據(jù)采樣定理選取采樣周期 T； 進(jìn)行頻率范圍的歸一 化； 確定帶寬范圍 ? ?a?12 ：上下截止頻率 ； 利用標(biāo)準(zhǔn)公式求出歸一化常數(shù) 0b ： 結(jié)果： 圖 40 結(jié)果顯然優(yōu)于例 的數(shù)字高通濾波器； 阻塞濾波器 零點(diǎn)位于 0?je? ，極點(diǎn)靠近零點(diǎn) 圖 ? ? ? ?? ?? ?? ?00 00 ?? ?? jj jj aezaez ezezzH ???? ??? 例 阻塞濾波器 濾除 60Hz 信號 選取采樣周期 T，得出歸一化頻率； 帶入公式進(jìn)行設(shè)計(jì)； 結(jié)果：圖 零點(diǎn)對濾波器特性的影 響 極點(diǎn)只能位于單位圓內(nèi)，但零點(diǎn)可以位于單位圓內(nèi)外的任意地方； 零點(diǎn) ?jbe 與 ? ? ?jeb/1 互為 倒數(shù)根 ；它們分別位于單位圓內(nèi)外的對稱位置； 在采用系統(tǒng)函數(shù)分析頻率特性時(shí)，將任何零點(diǎn)用其倒數(shù)根替代，其幅頻特性不受影響；因此，設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，總可以假定所有零點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)； 將零點(diǎn)用其倒數(shù)根替代會(huì)改變系統(tǒng)的相頻特性；單位圓內(nèi)的零點(diǎn)稱為 最小相位零點(diǎn) ；若系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)全在單位圓內(nèi)，稱為 最小相位系統(tǒng)函數(shù) ； 全通濾波器 當(dāng)所有極點(diǎn)與零點(diǎn)互為倒數(shù) 根時(shí)，幅頻特性恒定為 1； ? ? ? ?1121111 ... ...????????????NNNkNNNNazazazazazazH 所有零點(diǎn)均位于單位圓外，相頻特性變化大； 用于延遲單元或相位均衡器：提供延遲，改變系統(tǒng)相頻特性； 梳狀濾波器 阻塞濾波器的擴(kuò)展：具有等距阻塞點(diǎn)的濾波器； ? ? ? ? azzzHazzzH ???? ????? 44 11 圖 正弦發(fā)生器 在單位圓上有一個(gè)單極點(diǎn)：臨界穩(wěn)定，保持暫態(tài)； ? ? ? ?? ? 210101 co s21 s i n ?????? zzzzH?? ? ? nAnh 01 sin ?? 41 ? ? ? ?? ? 210102 co s21 co s1 ???????zzzzH?? ? ? nAnh 02 co s?? 第七章 FIR 濾波器設(shè)計(jì) FIR 濾波器基本特點(diǎn) 沖激響應(yīng)長度有限： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?NnxNhnxhnxhny ?????? ...110 設(shè) ： ? ? 00 ?h ， ? ? 0?Nh ； N 階 FIR 濾波器，長度為 N+1 系統(tǒng)函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ? NzNhzhhzH ?? ???? ...10 1 ? ? ? ? ? ?NNNz Nhzhzh ????? ...10 1 N 個(gè)極點(diǎn)都位于原點(diǎn)， N 個(gè)零點(diǎn)； 頻率響應(yīng)計(jì)算 MATLAB 函數(shù) [H,w]=freqz (h,1) 給 出 ),0[ ? 區(qū)間上 512 個(gè)頻率點(diǎn)的頻率響應(yīng) 設(shè)計(jì)目標(biāo)： 求解有限沖激響應(yīng)，使其盡可能逼近要求的頻率響應(yīng)線性相位濾波器；圖 對低通濾波器的設(shè)計(jì)要求 設(shè)計(jì)思想 對于絕大多數(shù)系統(tǒng)，希望實(shí)現(xiàn)的頻率響應(yīng)在 ],[ ??? 區(qū)間具有奇偶對稱性；這種對稱性反映到實(shí)沖激響應(yīng)上，也可以使沖激響應(yīng)表達(dá)為偶序列或奇序列； 對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，當(dāng) N 足夠大時(shí)，總有 ? ? 0?Nh ，因此可以將無限沖激響應(yīng)截?cái)酁橹缓?N 項(xiàng)的 有限沖激響應(yīng)，使得后者頻率響應(yīng)逼近于前者； 42 若截?cái)鄥^(qū)間為對稱，則得到的有限沖激響應(yīng)具有奇偶對稱性，其頻率響應(yīng)可以表現(xiàn)為實(shí)函數(shù)； 。 連續(xù)時(shí)間 LTIL 系統(tǒng) ? ? ? ?tytx ? ?? 沖激響應(yīng)： ? ? ? ? ? ? ? ?thtyttx ?? ??? ? 卷積形式： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ????0 txthdxthty ??? 微分方程形式： ? ? ? ? ? ? ? ? ...... 1211121 ?????? ??? MMNNN xbxbyayaya Laplace 變換： ? ? ? ??? ??0 dtetxsX st 35 基本變換對 ? ? ? ?sXtx LT?? ?? 表 重要性質(zhì) ? ? ? ?ssXdt tdx LT?? ?? Laplace 變換與 z變換的關(guān)系 sez? 10 ?? ??? zs ?? jezjs ?? ??? 0?? ????? zs 系統(tǒng)函數(shù) ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?sA sBsX sYdtethsH st ??? ???0 對于穩(wěn)定因果系統(tǒng)，所有極點(diǎn)位于左半平面； 穩(wěn)定性： ? ? ???? dtth0 頻率響應(yīng)： ? ??jH 對于穩(wěn)定系統(tǒng)成立 ? ? ? ? ? ???? jXjHjY ? 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與暫態(tài)響應(yīng) 時(shí)間常數(shù) = （極點(diǎn)實(shí)部絕對值的倒數(shù)） MAX 系統(tǒng)響應(yīng)與極點(diǎn)位置的關(guān)系 圖 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)頻率響應(yīng)的計(jì)算與測量 MATLAB 函數(shù) b=[b(1) b(2) …b(M+1)] 。 由頻譜計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號 （反變換） 首先對無限的頻譜進(jìn)行截?cái)啵? 選擇 T 使得 ? ? TX /0 ??? ?? 28 然后對連續(xù)頻譜采樣離散化： 在有限區(qū)間 ]/,/( TT ??? 內(nèi)選取 N 個(gè)頻率采樣點(diǎn)； 采用 inverse FFT 計(jì)算得到時(shí)間序列： ? ? ? ?nTxnx ? 連 續(xù)時(shí)間信號與時(shí)間序列的關(guān)系為： ? ? ? ?TnTxtx ? 例 —182 采用 FFT 計(jì)算信號能量 對于連續(xù)信號 ? ? ? ??Xtx FT?? ?? ，其總能量為 ? ? ? ?? ?? ??? ? ????? t dXdttxE ? ??? 22 2 1 將有限區(qū)域內(nèi)將時(shí)間信號離散化，得到： ? ? ? ?nTxtx ? ?? ? ????? 102NnTnTxE 利用 FFT 可以得出離散時(shí)間序列 ? ?nTx 的離散頻譜 ? ??dX ，則其能量也可以表示為： ? ????? 102Nn dmXNTE 例 —184 求矩形窗頻譜主瓣的能量百分比； 頻譜計(jì)算總結(jié)： 在信號分析時(shí)，考慮信號分布于全部時(shí)間區(qū)域有利于頻域分析的簡化； 但在進(jìn)行