【正文】 上式的右邊就是序列的傅立葉變換，即 上式說(shuō)明理想采樣信號(hào)的傅立葉變換可用相應(yīng)的采樣序列的傅立葉變換得到，只要將自變量ω用代替即可。 頻域采樣定理的要點(diǎn)是：c) 對(duì)信號(hào)x(n)的頻譜函數(shù)X(ejω)在[0，2π]上等間隔采樣N點(diǎn)，得到則N點(diǎn)IDFT[]得到的序列就是原序列x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓后的主值區(qū)序列，公式為： d) 由上式可知，頻域采樣點(diǎn)數(shù)N必須大于等于時(shí)域離散信號(hào)的長(zhǎng)度M(即N≥M)，才能使時(shí)域不產(chǎn)生混疊，則N點(diǎn)IDFT[]得到的序列就是原序列x(n),即=x(n)。如果NM，比原序列尾部多NM個(gè)零點(diǎn)；如果NM，z則=IDFT[]發(fā)生了時(shí)域混疊失真，而且的長(zhǎng)度N也比x(n)的長(zhǎng)度M短，因此。與x(n)不相同。 在數(shù)字信號(hào)處理的應(yīng)用中，只要涉及時(shí)域或者頻域采樣，都必須服從這兩個(gè)采樣理論的要點(diǎn)。 對(duì)比上面敘述的時(shí)域采樣原理和頻域采樣原理，得到一個(gè)有用的結(jié)論，這兩個(gè)采樣理論具有對(duì)偶性：“時(shí)域采樣頻譜周期延拓，頻域采樣時(shí)域信號(hào)周期延拓”。因此放在一起進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。6. 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟（1）時(shí)域采樣理論的驗(yàn)證。給定模擬信號(hào)， 式中A=，=50π，=50πrad/s， 的幅頻特性曲線 現(xiàn)用DFT(FFT)求該模擬信號(hào)的幅頻特性，以驗(yàn)證時(shí)域采樣理論。 安照的幅頻特性曲線，選取三種采樣頻率，即=1kHz，300Hz，200Hz。觀測(cè)時(shí)間選。 為使用DFT，首先用下面公式產(chǎn)生時(shí)域離散信號(hào)，對(duì)三種采樣頻率，采樣序列按順序用，表示。 因?yàn)椴蓸宇l率不同，得到的，的長(zhǎng)度不同， 長(zhǎng)度（點(diǎn)數(shù)）用公式計(jì)算。選FFT的變換點(diǎn)數(shù)為M=64，序列長(zhǎng)度不夠64的尾部加零。X(k)=FFT[x(n)] ， k=0,1,2,3,,M1式中k代表的頻率為 。要求： 編寫(xiě)實(shí)驗(yàn)程序，計(jì)算、和的幅度特性，并繪圖顯示。觀察分析頻譜混疊失真。（2）頻域采樣理論的驗(yàn)證。給定信號(hào)如下： 編寫(xiě)程序分別對(duì)頻譜函數(shù)在區(qū)間上等間隔采樣32和16點(diǎn)，得到： 再分別對(duì)進(jìn)行32點(diǎn)和16點(diǎn)IFFT，得到： 分別畫(huà)出、的幅度譜，并繪圖顯示x(n)、的波形，進(jìn)行對(duì)比和分析，驗(yàn)證總結(jié)頻域采樣理論。提示：頻域采樣用以下方法容易變程序?qū)崿F(xiàn)。① 直接調(diào)用MATLAB函數(shù)fft計(jì)算就得到在的32點(diǎn)頻率域采樣② 抽取的偶數(shù)點(diǎn)即可得到在的16點(diǎn)頻率域采樣，即。 當(dāng)然也可以按照頻域采樣理論，先將信號(hào)x(n)以16為周期進(jìn)行周期延拓，取其主值區(qū)（16點(diǎn)），再對(duì)其進(jìn)行16點(diǎn)DFT(FFT),得到的就是在的16點(diǎn)頻率域采樣。 4．思考題： 如果序列x(n)的長(zhǎng)度為M，希望得到其頻譜在上的N點(diǎn)等間隔采樣，當(dāng)NM時(shí)， 如何用一次最少點(diǎn)數(shù)的DFT得到該頻譜采樣？5. 實(shí)驗(yàn)報(bào)告及要求a) 運(yùn)行程序打印要求顯示的圖形。 b) 分析比較實(shí)驗(yàn)結(jié)果，簡(jiǎn)述由實(shí)驗(yàn)得到的主要結(jié)論c) 簡(jiǎn)要回答思考題d) 附上程序清單和有關(guān)曲線。 實(shí)驗(yàn)程序清單1 時(shí)域采樣理論的驗(yàn)證程序清單% Tp=64/1000。 %觀察時(shí)間Tp=64微秒%產(chǎn)生M長(zhǎng)采樣序列x(n)% Fs=1000。T=1/Fs。 Fs=1000。T=1/Fs。M=Tp*Fs。n=0:M1。A=。alph=pi*50*2^。omega=pi*50*2^。xnt=A*exp(alph*n*T).*sin(omega*n*T)。Xk=T*fft(xnt,M)。 %M點(diǎn)FFT[xnt)]subplot(3,2,1)。stem(xnt)。 %調(diào)用自編繪圖函數(shù)tstem繪制序列圖box on。title(39。(a) Fs=1000Hz39。)。k=0:M1。fk=k/Tp。subplot(3,2,2)。plot(fk,abs(Xk))。title(39。(a) T*FT[xa(nT)],Fs=1000Hz39。)。xlabel(39。f(Hz)39。)。ylabel(39。幅度39。)。axis([0,Fs,0,*max(abs(Xk))])%=================================================% Fs=300Hz和 Fs=200Hz的程序與上面Fs=1000Hz完全相同。2 頻域采樣理論的驗(yàn)證程序清單%M=27。N=32。n=0:M。%產(chǎn)生M長(zhǎng)三角波序列x(n)xa=0:floor(M/2)。 xb= ceil(M/2)1:1:0。 xn=[xa,xb]。Xk=fft(xn,1024)。 %1024點(diǎn)FFT[x(n)], 用于近似序列x(n)的TFX32k=fft(xn,32) 。%32點(diǎn)FFT[x(n)]x32n=ifft(X32k)。 %32點(diǎn)IFFT[X32(k)]得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N)。 %隔點(diǎn)抽取X32k得到X16(K)x16n=ifft(X16k,N/2)。 %16點(diǎn)IFFT[X16(k)]得到x16(n)subplot(3,2,2)。stem(n,xn,39。.39。)。box ontitle(39。(b) 三角波序列x(n)39。)。xlabel(39。n39。)。ylabel(39。x(n)39。)。axis([0,32,0,20])k=0:1023。wk=2*k/1024。 %subplot(3,2,1)。plot(wk,abs(Xk))。title(39。(a)FT[x(n)]39。)。xlabel(39。\omega/\pi39。)。ylabel(39。|X(e^j^\omega)|39。)。axis([0,1,0,200])k=0:N/21。subplot(3,2,3)。stem(k,abs(X16k),39。.39。)。box ontitle(39。(c) 16點(diǎn)頻域采樣39。)。xlabel(39。k39。)。ylabel(39。|X_1_6(k)|39。)。axis([0,8,0,200])n1=0:N/21。subplot(3,2,4)。stem(n1,x16n,39。.39。)。box ontitle(39。(d) 16點(diǎn)IDFT[X_1_6(k)]39。)。xlabel(39。n39。)。ylabel(39。x_1_6(n)39。)。axis([0,32,0,20])k=0:N1。subplot(3,2,5)。stem(k,abs(X32k),39。.39。)。box ontitle(39。(e) 32點(diǎn)頻域采樣39。)。xlabel(39。k39。)。ylabel(39。|X_3_2(k)|39。)。axis([0,16,0,200])n1=0:N1。subplot(3,2,6)。stem(n1,x32n,39。.39。)。box ontitle(39。(f) 32點(diǎn)IDFT[X_3_2(k)]39。)。xlabel(39。n39。)。ylabel(39。x_3_2(n)39。)。axis([0,32,0,20]) 實(shí)驗(yàn)程序運(yùn)行結(jié)果1 。由圖可見(jiàn)，采樣序列的頻譜的確是以采樣頻率為周期對(duì)模擬信號(hào)頻譜的周期延拓。當(dāng)采樣頻率為1000Hz時(shí)頻譜混疊很??；當(dāng)采樣頻率為300Hz時(shí)，在折疊頻率150Hz附近頻譜混疊很?chē)?yán)重；當(dāng)采樣頻率為200Hz時(shí)，在折疊頻率110Hz附近頻譜混疊更很?chē)?yán)重。2 。該圖驗(yàn)證了頻域采樣理論和頻域采樣定理。對(duì)信號(hào)x(n)的頻譜函數(shù)X(ejω)在[0，2π]上等間隔采樣N=16時(shí)， N點(diǎn)IDFT[]得到的序列正是原序列x(n)以16為周期進(jìn)行周期延拓后的主值區(qū)序列：由于NM，所以發(fā)生了時(shí)域混疊失真，因此。與x(n)不相同，(c)和(d)所示。當(dāng)N=32時(shí)，(c)和(d)所示，由于NM，頻域采樣定理，所以不存在時(shí)域混疊失真，因此。與x(n)相同。實(shí)驗(yàn)三：用FFT對(duì)信號(hào)作頻譜分析 實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)1．實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)習(xí)用FFT對(duì)連續(xù)信號(hào)和時(shí)域離散信號(hào)進(jìn)行譜分析的方法，了解可能出現(xiàn)的分析 誤差及其原因，以便正確應(yīng)用FFT。2. 實(shí)驗(yàn)原理用FFT對(duì)信號(hào)作頻譜分析是學(xué)習(xí)數(shù)字信號(hào)處理的重要內(nèi)容。經(jīng)常需要進(jìn)行譜分析的信號(hào)是模擬信號(hào)和時(shí)域離散信號(hào)。對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析的重要問(wèn)題是頻譜分辨率D和分析誤差。頻譜分辨率直接和FFT的變換區(qū)間N有關(guān)，因?yàn)镕FT能夠?qū)崿F(xiàn)的頻率分辨率是，因此要求。可以根據(jù)此式選擇FFT的變換區(qū)間N。誤差主要來(lái)自于用FFT作頻譜分析時(shí)，得到的是離散譜，而信號(hào)（周期信號(hào)除外）是連續(xù)譜，只有當(dāng)N較大時(shí)離散譜的包絡(luò)才能逼近于連續(xù)譜，因此N要適當(dāng)選擇大一些。周期信號(hào)的頻譜是離散譜，只有用整數(shù)倍周期的長(zhǎng)度作FFT，得到的離散譜才能代表周期信號(hào)的頻譜。如果不知道信號(hào)周期，可以盡量選擇信號(hào)的觀察時(shí)間長(zhǎng)一些。對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行譜分析時(shí)，首先要按照采樣定理將其變成時(shí)域離散信號(hào)。如果是模擬周期信號(hào)，也應(yīng)該選取整數(shù)倍周期的長(zhǎng)度，經(jīng)過(guò)采樣后形成周期序列，按照周期序列的譜分析進(jìn)行。3．實(shí)驗(yàn)步驟及內(nèi)容（1）對(duì)以下序列進(jìn)行譜分析?！　　　　　? 選擇FFT的變換區(qū)間N為8和16 兩種情況進(jìn)行頻譜分析。分別打印其幅頻特性曲線。 并進(jìn)行對(duì)比、分析和討論。（2）對(duì)以下周期序列進(jìn)行譜分析。 選擇FFT的變換區(qū)間N為8和16 兩種情況分別對(duì)以上序列進(jìn)行頻譜分析。分別打印其幅頻特性曲線。并進(jìn)行對(duì)比、分析和討論。（3）對(duì)模擬周期信號(hào)進(jìn)行譜分析 選擇 采樣頻率，變換區(qū)間N=16,32,64 三種情況進(jìn)行譜分析。分別打印其幅頻特性，并進(jìn)行分析和討論。 4．思考題（1）對(duì)于周期序列，如果周期不知道，如何用FFT進(jìn)行譜分析？（2）如何選擇FFT的變換區(qū)間？（包括非周期信號(hào)和周期信號(hào)）（3）當(dāng)N=8時(shí)，和的幅頻特性會(huì)相同嗎？為什么？N=16 呢？5．實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求（1）完成各個(gè)實(shí)驗(yàn)任務(wù)和要求。附上程序清單和有關(guān)曲線。（2）簡(jiǎn)要回答思考題。 實(shí)驗(yàn)程序清單% 用FFT對(duì)信號(hào)作頻譜分析clear all。close all%實(shí)驗(yàn)內(nèi)容(1)===================================================x1n=[ones(1,4)]。 %產(chǎn)生序列向量x1(n)=R4(n)M=8。xa=1:(M/2)。 xb=(M/2):1:1。 x2n=[xa,xb]。 %產(chǎn)生長(zhǎng)度為8的三角波序列x2(n)x3n=[xb,xa]。X1k8=fft(x1n,8)。 %計(jì)算x1n的8點(diǎn)DFTX1k16=fft(x1n,16)。 %計(jì)算x1n的16點(diǎn)DFTX2k8=fft(x2n,8)。 %計(jì)算x1n的8點(diǎn)DFTX2k16=fft(x2n,16)。 %計(jì)算x1n的16點(diǎn)DFTX3k8=fft(x3n,8)。 %計(jì)算x1n的8點(diǎn)DFTX3k16=fft(x3n,16)。 %計(jì)算x1n的16點(diǎn)DFT%以下繪制幅頻特性曲線subplot(2,2,1)。mstem(X1k8)。 %繪制8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title(39。(1a) 8點(diǎn)DFT[x_1(n)]39。)。xlabel(39。ω/π39。)。ylabel(39。幅度39。)。axis([0,2,0,*max(abs(X1k8))])subplot(2,2,3)。mstem(X1k16)。 %繪制16點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title(39。(1b)16點(diǎn)DFT[x_1(n)]39。)。xlabel(39。ω/π39。)。ylabel(39。幅度39。)。axis([0,2,0,*max(abs(X1k16))])figure(2)subplot(2,2,1)。mstem(X2k8)。 %繪制8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title(39。(2a) 8點(diǎn)DFT[x_2(n)]39。)。xlabel(39。ω/π39。)。ylabel(39。幅度39。)。axis([0,2,0,*max(abs(X2k8))])subplot(2,2,2)。mstem(X2k16)。 %繪制16點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title(39。(2b)16點(diǎn)DFT[x_2(n)]39。)。xlabel(39。ω/π39。)。ylabel(39。幅度39。)。axis([0,2,0,*max(abs(X2k16))])subplot(2,2,3)。mstem(X3k8)。 %繪制8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title(39。(3a) 8點(diǎn)DFT[x_3(n)]39。)。xlabel(39。ω/π39。)。ylabel(39。幅度39。)。axis([0,2,0,*max(abs(X3k8))])subplot(2,2,4)。mstem(X3k16)。 %繪制16點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title(39。(3b)16點(diǎn)DFT[x_3(n)]39。)。xlabel(39。ω/π39。)。ylabel(39。幅度39。)。axis([0,2,0,*max(abs(X3k16))])%實(shí)驗(yàn)內(nèi)容(2) 周期序列譜分析==================================N=8。n=0:N1。 %FFT的變換區(qū)間N=8x4n=cos(pi*n/4)。x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8)。X4k8=fft(x4n)。 %計(jì)算x4n的8點(diǎn)DFTX5k8=fft(x5n)。 %計(jì)算x5n的8點(diǎn)DFTN=16。n=0:N1。 %FFT的變換區(qū)間N=16