【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ）函數(shù)y=x在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)是連續(xù)的，這函數(shù)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)就既無(wú)最大值，又無(wú)最小值．Oxyaby=x （２）函數(shù)f(x)=在閉區(qū)間[0,2]上有間斷點(diǎn)x=1，它在閉區(qū)間[0,2]上也是既無(wú)最大值，又無(wú)最小值． 定理4(介值定理)　若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，m與M分別是f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最小值和最大值，u是介于m與M之間的任一實(shí)數(shù)：m163。u163。M，則在[a,b]上至少存在一點(diǎn)x，使得f(x)=u． 介值定理的幾何意義：介于兩條水平直線(xiàn)y=m與y=M之間的任一條直線(xiàn)y=u，與y=f(x)的圖象曲線(xiàn)至少有一個(gè)交點(diǎn)．Oxybax f(b)OxybaxmM 推論(方程實(shí)根的存在定理)　若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)，則在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)根，即至少存在一點(diǎn)x，使f(x)=0． 推論的幾何意義：一條連續(xù)曲線(xiàn)，若其上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)由負(fù)值變到正值或由正值變到負(fù)值時(shí)，則曲線(xiàn)至少要穿過(guò)x軸一次． 使f(x)=0的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)．如果x=x是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，即f(x)=0，那么x=x就是方程f(x)=0的一個(gè)實(shí)根；反之方程f(x)=0的一個(gè)實(shí)根x=x就是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)．因此，求方程f(x)=0的實(shí)根與求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是一回事．正因?yàn)槿绱耍ɡ?的推論通常稱(chēng)為方程根的存在定理． 例9 證明方程x=cosx在(0,)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根．證明　xcosx=0．令　　f(x)=xcosx, 0163。x163。，則　　　f(x)在[0,]上連續(xù)，且f(0)=1, f()=0．由根的存在定理，在(0,)內(nèi)至少有一點(diǎn)x，使f(x)=xcosx=0，即方程x=cosx在(0,)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根． (1)若f(x)在x0處連續(xù)，則f(x)存在． (2)若f(x)=A，則f(x)在x0處連續(xù)． (3)初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)． (4)設(shè)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，則y=f(x)在[a,b]上可取到最大值和最小值．167。17 無(wú)窮小的比較自變量同一變化過(guò)程的兩個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)組合及乘積仍然是這個(gè)過(guò)程的無(wú)窮小．但是兩個(gè)無(wú)窮小的商卻會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果．如x, 3x, x2都是當(dāng)x174。0時(shí)的無(wú)窮小，而=0，=165。，＝３，產(chǎn)生這種不同結(jié)果的原因，是因?yàn)楫?dāng)x174。0時(shí)三個(gè)無(wú)窮小趨于0的速度是有差別的．具體計(jì)算他們的值如下表：x1174。 03x3174。 0x21174。 0從表中數(shù)值看，當(dāng)x174。0時(shí)，（１）x2比3x更快地趨向零；（２）3x比x2較慢地趨向零；這種快慢存在檔次上的差別．（３）而3x與x趨向零的快慢雖有差別，但是是相仿的，不存在檔次上的差別．反映在極限上，當(dāng)x174。0時(shí)，（１）趨向零較快的無(wú)窮小與較慢的無(wú)窮小之商的極限為0；（２）趨向零較慢的無(wú)窮小與較快的無(wú)窮小之商的極限為165。；（３）趨向零快慢相仿的無(wú)窮小之商的極限為不為零常數(shù)． 定義 設(shè)a,b是當(dāng)自變量x174。a(a可以是有限數(shù)x0，可以是177。165?；?65。)時(shí)的兩個(gè)無(wú)窮小，且b185。0． (1)如果=0，則稱(chēng)當(dāng)x174。a時(shí) a是b的高階無(wú)窮小，或稱(chēng)b是a的低階無(wú)窮小，記作a=o(b), (x174。a)； (2)如果=A,(A185。0)，則稱(chēng)當(dāng)x174。a時(shí)a與b是同階無(wú)窮??；特別地，當(dāng)A=1時(shí)，稱(chēng)當(dāng)x174。a時(shí)a與b是等價(jià)無(wú)窮小，記作a~b,(x174。a)． 注意 記號(hào)“a=o(b), (x174。a)”并不意味著a, b的數(shù)量之間有什么相等關(guān)系，它僅表示a, b是x174。a時(shí)的無(wú)窮小，且a是b的高階無(wú)窮小． 例如，（１）當(dāng)x174。0時(shí)，x2是比x高階的無(wú)窮小，所以x2=o(x), (x174。0)；（２）因?yàn)?1， sinx與x是x174。0時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小，所以sinx~x, (x174。0)；（３）因?yàn)椋?，所? 　　1cosx=o(x), tanx~x, 1~x, (x174。0)．而1cosx與x2是x174。0時(shí)的同階無(wú)窮小． 定理 設(shè)a，b，a162。, b162。是x174。a時(shí)的無(wú)窮小，且a~a162。, b~b162。，則當(dāng)極限存在時(shí)，極限也存在，且=． 證明　==．常用等價(jià)無(wú)窮小： sinx~x, tanx~ x, arcsinx~ x, arctanx~ x, 1cosx~x2, ln(1+x) ~x, ex1~x, 1~x, (x174。0)． 例1 求．解　因?yàn)閤時(shí)，sin2x~2x, tan5x~5x，所以　　　=． 例2 求． 解　因?yàn)閑x1~x, ln(1+x2) ~x2, sin2x~2x, 1cosx~x2, (x174。0)， 所以 ==1． 例3 求下列極限： (1),x206。(165。,+165。)； (2), x0． 解 (1)sin(x+Dx)sinx=(sinxcosDx+sinDxcosx)sinx=sinDxcosxsinx(1cosDx)，因?yàn)? sinDx~Dx, 1cosDx~(Dx), (Dx174。0)，而|sinx|163。1, x206。(165。,+165。)，所以 ==cosx, x206。(165。,+165。)． (2)ln(x+Dx)lnx=ln(1+)~, (Dx174。0, x0)， =, x0． 例4 用等價(jià)無(wú)窮小的代換，求． 解　因?yàn)閠anxsinx=tanx(1cosx)，而tanx~ x, 1cosx~x2, (x174。0)，所以 =總結(jié)拓展一、知識(shí)小結(jié) 掌握基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，理解復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)的概念，會(huì)把一個(gè)初等函數(shù)作分解． 極限是描述數(shù)列和函數(shù)的變化趨勢(shì)的重要概念，是從近似認(rèn)識(shí)精確、從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限、從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)方法．連續(xù)概念是函數(shù)的一種特性．函數(shù)在點(diǎn)x0存在極限與在x0連續(xù)是有區(qū)別的，前者是描述函數(shù)在點(diǎn)x0鄰近的變化趨勢(shì)，不考慮在x0處有無(wú)定義或取值；而后者則不僅要求函數(shù)在x0點(diǎn)有極限，而且極限存在且等于函數(shù)值．一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的．1. 幾個(gè)重要概念 (1)=A 219。 ==A； (2)=A 219。 ==A．x174。165。的含義為x174。；x174。x0的含義為x174。． 2. 無(wú)窮大和無(wú)窮小無(wú)窮大和無(wú)窮小(除常數(shù)0外)都不是一個(gè)數(shù)，而是兩類(lèi)具有特定變化趨勢(shì)的函數(shù)，因此不指出自變量的變化過(guò)程，籠統(tǒng)地說(shuō)某個(gè)函數(shù)是無(wú)窮大或無(wú)窮小是沒(méi)有意義的．幾個(gè)重要結(jié)論： １）=A(a可以是有限數(shù)x0或177。165。,165。) 219。 f(x)=A+a, a174。0 (當(dāng)x174。a)； ２）若y是當(dāng)x174。a (a可以是有限數(shù)x0或177。165。,165。)時(shí)的無(wú)窮大(非零無(wú)窮小)，則是當(dāng)x174。a時(shí)的無(wú)窮小(無(wú)窮大)； ３）無(wú)窮小與有界函數(shù)之積仍為無(wú)窮?。? (3)極限與連續(xù)的關(guān)系 １）f(x)在x0連續(xù) 219。 ==f(x0)；222。220。 ２）f(x)在x0連續(xù) 存在． (4)無(wú)窮小的比較 設(shè)a, b是x174。a (a可以是有限數(shù)x0或177。165。,165。)時(shí)的無(wú)窮小，則 0，a是b的高階無(wú)窮??； = 165。，a是b的低階無(wú)窮小； c, (c185。0)，a與b是同階無(wú)窮??；若c=1，a與b是等價(jià)無(wú)窮小．2. 計(jì)算極限的方法 (1)極限的四則運(yùn)算法則與兩個(gè)重要極限 利用極限的四則運(yùn)算法則求極限時(shí)，注意需要滿(mǎn)足的條件； 兩個(gè)重要極限給出了兩個(gè)特殊的“”,“1165。”型未定型的極限： =1,(可推廣為=1)； =e, (可推廣為=e及=e)． (2)求極限的基本思路 極限分為兩大類(lèi)：確定型和未定型． 確定型極限指可直接利用極限的運(yùn)算法則或函數(shù)的連續(xù)性得到極限； 未定型包括“”，“”， “1165。”，“165。165?！保?165。”， “165。0”， “00”等幾種．其中后面幾種都能改變?yōu)榍皟煞N，因此前兩種是基本的．計(jì)算未定型極限的基本思想是通過(guò)恒等變形化為確定型的極限，或應(yīng)用兩個(gè)重要極限、無(wú)窮小的性質(zhì)及等價(jià)無(wú)窮小替換等進(jìn)行計(jì)算． 3. 函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象．要在弄清在一點(diǎn)處連續(xù)與極限區(qū)別的基礎(chǔ)上，了解初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的基本結(jié)論，掌握初等函數(shù)與簡(jiǎn)單非初等函數(shù)討論連續(xù)性與間斷點(diǎn)的方法；并會(huì)用根存在定理討論某些方程根的存在問(wèn)題．二、要點(diǎn)解析1. 求極限的方法求極限是本章重點(diǎn)之一，也是微積分中三大基本運(yùn)算之一．主要求極限方法： (1)利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限 若f(x)在x0連續(xù)，則=f(x0)； 若f(u)在u=u0連續(xù)，=u0，則=f(u0)． (2)利用極限的四則運(yùn)算法則求極限． (3)若分母極限為0，分子極限不為0，則分式的極限是165。． (4)若分子、分母的極限都為0，首先考慮是否可作恒等變化，消去分子分母中公共的零因子，化為(2)或(3)． (5)對(duì)有理函數(shù)有如下結(jié)論： 0, 當(dāng)mn； = , 當(dāng)m=n； 165。, 當(dāng)mn． (6)若分式中含有三角函數(shù)與自變量?jī)绲某朔e，或是1165。型未定式，考慮用兩個(gè)主要極限． (7)利用 “無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積仍為無(wú)窮小”、“無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小”等性質(zhì)，以及等價(jià)無(wú)窮小替換．注意只能對(duì)分子或分母的因式整體作等價(jià)無(wú)窮小替換，對(duì)分子或分母的某些項(xiàng)未必能作等價(jià)無(wú)窮小替換． 例1 求下列極限： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 解　(1)=； (2)=； (3)==3； (4)= ==； (5)=； (6)==； (7)==e5； (8)==1．2. 分段函數(shù)的極限與連續(xù)性 計(jì)算分段函數(shù)在段點(diǎn)處的極限，要對(duì)分段點(diǎn)兩側(cè)的解析式分別求左、右極限；然后依據(jù)相等與否來(lái)判定極限存在性，并求出極限值；最后與段點(diǎn)處的函數(shù)值比較得出連續(xù)與否的結(jié)論． x 22, x0； 例2 函數(shù)f(x)= , x0； a1, x=0． (1)當(dāng)a，b為何值時(shí)，f(x)在x＝0處存在極限？ (2)當(dāng)a，b為何值時(shí)，f(x)在x＝0處連續(xù)？解　(1)　　　(x2－2)＝－2；=b．f(x)在x=0處存在極限 219。 ，即　　　　　　　b=－2，(a任意)．所以當(dāng)b=2，(a任意)時(shí)，存在=－2． (2) 　　　f(x)在x=0處連續(xù) 219。 =f(0)，即－2=a－1，得a=－1．所以當(dāng)a=－1, b=－2時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù)．3. 函數(shù)連續(xù)性討論及求間斷點(diǎn) , x0； 例3 討論函數(shù)f(x)= 1, x=0； 的連續(xù)性． , x0解　在x206。(165。,0)200。(0,+165。)，f(x)是初等函數(shù)，所以函數(shù)f(x) 在 (165。,0)內(nèi)與(0,+165。)內(nèi)分別連續(xù)．下面討論在x=0處的連續(xù)性．（１）f(0) =１．（２）因?yàn)閒(x)==1； 　　　===1，f(x)=，所以　　　　　＝１．（３）因?yàn)?f(0)，所以在x=0處連續(xù)． 綜上所述，f(x)在(165。,+165。)連續(xù)． 例4 求函數(shù)f(x)=的間斷點(diǎn)，并確定間斷點(diǎn)的類(lèi)型．解　因?yàn)楫?dāng)x=kp (k時(shí)，sinx=0．所以x=kp(k)是f(x)的間斷點(diǎn)． 在x=kp (k185。0, k206。Z) 處，=165。，所以x=kp(k185。0, k206。Z)為f(x)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)． 在x=0處，f(x)===－1； 　===1，因?yàn)閒(x) 185。，所以x=0是f(x)的間斷點(diǎn)，且為第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn)． 例5 求下列函數(shù)的連續(xù)區(qū)間：(1)f(x)=ln(2x)； (2)g(x)= , x179。0； , x0． 解　(1)f(x)=ln(2x)的定義域?yàn)?165。,2)，在定義域內(nèi)f(x) 是初等函數(shù)，因此是連續(xù)的．所以f(x)的連續(xù)區(qū)間為(165。,2)． (2)當(dāng)x0，g(x)=為初等函數(shù)，且分母x+20，所以g(x)在(0,+165。)連續(xù)； 當(dāng)x0，g(x)= 為初等函數(shù)，且分母x0，所以g(x)在(165。, 0)連續(xù)． g(0)=，g(x)==185。g(0)，所以x=0為g(x)的間斷點(diǎn)．綜上所述，g(x)的連續(xù)區(qū)間為(165。,0)200。(0,+165。)．4. 利用根存在定理討論方程根的存在性 方程f(x)＝０根存在條件：函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)． 例6 設(shè)f(x)206。[0,1], x206。[0,1