【正文】 =． 例4 求函數(shù)y=sinx的n階導數(shù)y(n)． 解：y162。(lnx)(lnx)162。=[ax(lna)2]162。162。=(axlna)162。=axlna；y162。)162。=(18x+4)162。162。)162。=(3x3+2x2+x+1)162。162。162。(x)的導數(shù)[f162。==． 若二階導函數(shù)f162。(x)或,，即 y162。為f(x)的二階導數(shù)，記作y162。(x)的導數(shù)[f162。． 解　y162。(t)都存在，且j162。=[+－]．二、參數(shù)式函數(shù)的導數(shù) 曲線的參數(shù)方程 (t為參數(shù)，a163。=exlnsinx(xlnsinx)162。=lnsinx+xcosx，故　　　　y162。=lnx+1，y162。(－,)， cosy0，所以 y162。=． 證明　y=arcsinx的反函數(shù)為x=siny, y206。y162。=－，即橢圓在點M(x0,y0)處切線的斜率為k=y162。cosyy162。=－． 例2 求x2－y3－siny=0,(0163。=ealnx(alnx)162。R,x0)，利用公式(ex)162。(cos2x)2cosx(cosx)162。(cos2x)(cos2x)162。+[g(cos2x)]162。cosnx+sinnxncosn1x(cosx)162。(x)． 解　f162。=． 例10 設f(x)是可導的非零函數(shù)，y=ln|f(x)|，求y162。=；當x0，y=ln|x|=ln(x)，所以 y162。] =[1+(x2+1)162。=sin(x2+1)162。=2sin(2x+)[sin(2x+)]162。=[ln(1+x2)]162。(u)，則復合函數(shù)y=f[j(x)]在點x處有導數(shù)，且 = 或 ． 這個法則可以推廣到兩個以上的中間變量的情形．如果 y=y(u), u=u(v), v=v(x)，且在各對應點處的導數(shù)存在，則 = 或 ．常稱這個公式為復合函數(shù)求導的鏈式法則． 例1 求y=sin2x的導數(shù)． 解 令y=sinu, u=2x，==cosu2=2cos2x． 例2 求y=(3x+5)2的導數(shù)． 解　令y=u2, u=3x+5，==2u3=6(3x+5)． 例3 求y=ln(sinx)2的導數(shù)． 解　令y=lnu, u=v2, v=sinx，==2vcosx=2sinxcosx=2cotx．例4 求y=的導數(shù)． 解　把(a2x2)看作中間變量，得 y162。===f162。0．若Du185。=(sin2x)162。23 復合函數(shù)的導數(shù) 例如 已知y=sin2x，求y162。(x)．解 f162。． 解　　　y=1+cotx2log2x+， y162。(x)． 解　f162。=()162。=sec2x． 同理可證　 (cotx)162。 ． 解　y162。3(x)162。(3x)162。(x),f162。0時有Dv 174。=； (u1u2...un)162。=． 注意　法則1,2都可以推廣到有限多個函數(shù)的情形，即若u1,u2,...,un均為可導函數(shù)，則： (u1177。v+uv162。177。=； 16. (arccotx)162。=； 12. (lnx)162。=secxtanx； 8. (cscx)162。=cosx； 4. (cosx)162。f(0)，所以f(x)在x=0處不連續(xù)．由以上定理，f(x)在x=0處不可導． 167。(x0) Dx+aDx (a=0)，所以 Dy=[f162。(x0)=(lnx)162。(x0)185。(x0)，且AT的斜率k=f162。17中已經(jīng)求得為 (lnx)162。=cosx． 用類似的方法可以求得y=cosx, (x206。=(x1)162。R, x0)的導數(shù)為 (xa)162。N, x206。(x0)就是導函數(shù)f162。(x)=y162。(x0)． 2. 導函數(shù)的概念 如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內每一點處都可導，就稱函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內可導．這時，對開區(qū)間(a,b)內每一個確定的值x0都有對應著一個確定的導數(shù)f162。(x0)=． 例1 求y=f(x)=x2在點x=2處的導數(shù)． 解 Dy=f(2+Dx)f(2)=(2+Dx)222=4Dx+(Dx)2； =4+Dx； =(4+Dx)=4．所以y162。(x0)或或．即 =f162。90176。21 導數(shù)的概念一、兩個實例 實例1 瞬時速度 考察質點的自由落體運動．真空中，質點在時刻t=0到時刻t這一時間段內下落的路程s由公式s=gt2來確定．現(xiàn)在來求t=1秒這一時刻質點的速度．當Dt很小時，從1秒到1+Dt秒這段時間內，質點運動的速度變化不大，可以這段時間內的平均速度作為質點在t=1時速度的近似． Dt (s)Ds(m)(m/s) 上表看出，平均速度隨著Dt變化而變化，當Dt越小時，越接近于一個定值—．考察下列各式： 　　　　Ds=g(1+Dt)2－g12=g[2Dt+(Dt)2]， =g=g(2+Dt)， 當Dt越來越接近于0時，越來越接近于1秒時的“速度”．現(xiàn)在取Dt174。0，F(xiàn)(1)=f(1)1163。[0,1]使f(x)=x． 證明　設F(x)=f(x)x，則因f(x)在[0,1]上連續(xù)，F(xiàn)(x)也在[0,1]上連續(xù)．因為　　　　f(x)206。(0,+165。)連續(xù)； 當x0，g(x)= 為初等函數(shù)，且分母x0，所以g(x)在(165。所以x=0是f(x)的間斷點，且為第一類跳躍間斷點． 例5 求下列函數(shù)的連續(xù)區(qū)間：(1)f(x)=ln(2x)； (2)g(x)= , x179。Z) 處，=165。)內分別連續(xù)．下面討論在x=0處的連續(xù)性．（１）f(0) =１．（２）因為f(x)==1； 　　　===1，f(x)=，所以　　　　?。剑保ǎ常┮驗?f(0)，所以在x=0處連續(xù)． 綜上所述，f(x)在(165。,0)200。型未定式，考慮用兩個主要極限． (7)利用 “無窮小與有界函數(shù)的乘積仍為無窮小”、“無窮大的倒數(shù)為無窮小”等性質，以及等價無窮小替換．注意只能對分子或分母的因式整體作等價無窮小替換，對分子或分母的某些項未必能作等價無窮小替換． 例1 求下列極限： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 解　(1)=； (2)=； (3)==3； (4)= ==； (5)=； (6)==； (7)==e5； (8)==1．2. 分段函數(shù)的極限與連續(xù)性 計算分段函數(shù)在段點處的極限，要對分段點兩側的解析式分別求左、右極限；然后依據(jù)相等與否來判定極限存在性，并求出極限值；最后與段點處的函數(shù)值比較得出連續(xù)與否的結論． x 22, x0； 例2 函數(shù)f(x)= , x0； a1, x=0． (1)當a，b為何值時，f(x)在x＝0處存在極限？ (2)當a，b為何值時，f(x)在x＝0處連續(xù)？解　(1)　　　(x2－2)＝－2；=b．f(x)在x=0處存在極限 219。”， “165?！毙臀炊ㄐ偷臉O限： =1,(可推廣為=1)； =e, (可推廣為=e及=e)． (2)求極限的基本思路 極限分為兩大類：確定型和未定型． 確定型極限指可直接利用極限的運算法則或函數(shù)的連續(xù)性得到極限； 未定型包括“”，“”， “1165。,165。220。,165。0 (當x174。165。的含義為x174。拓展一、知識小結 掌握基本初等函數(shù)的圖象和性質的基礎上，理解復合函數(shù)和初等函數(shù)的概念，會把一個初等函數(shù)作分解． 極限是描述數(shù)列和函數(shù)的變化趨勢的重要概念，是從近似認識精確、從有限認識無限、從量變認識質變的一種數(shù)學方法．連續(xù)概念是函數(shù)的一種特性．函數(shù)在點x0存在極限與在x0連續(xù)是有區(qū)別的，前者是描述函數(shù)在點x0鄰近的變化趨勢，不考慮在x0處有無定義或取值；而后者則不僅要求函數(shù)在x0點有極限，而且極限存在且等于函數(shù)值．一切初等函數(shù)在其定義域內都是連續(xù)的．1. 幾個重要概念 (1)=A 219。,+165。(165。,+165。則當極限存在時，極限也存在，且=． 證明　==．常用等價無窮?。? sinx~x, tanx~ x, arcsinx~ x, arctanx~ x, 1cosx~x2, ln(1+x) ~x, ex1~x, 1~x, (x174。, b162。0時的等價無窮小，所以sinx~x, (x174。a)”并不意味著a, b的數(shù)量之間有什么相等關系，它僅表示a, b是x174。0)，則稱當x174。)時的兩個無窮小，且b185。；（３）趨向零快慢相仿的無窮小之商的極限為不為零常數(shù)． 定義 設a,b是當自變量x174。 0x21174。0時的無窮小，而=0，=165。baxmM 推論(方程實根的存在定理)　若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則在(a,b)內至少有一個根，即至少存在一點x，使f(x)=0． 推論的幾何意義：一條連續(xù)曲線，若其上的點的縱坐標由負值變到正值或由正值變到負值時，則曲線至少要穿過x軸一次． 使f(x)=0的點稱為函數(shù)y=f(x)的零點．如果x=x是函數(shù)f(x)的零點，即f(x)=0，那么x=x就是方程f(x)=0的一個實根；反之方程f(x)=0的一個實根x=x就是函數(shù)f(x)的一個零點．因此，求方程f(x)=0的實根與求函數(shù)f(x)的零點是一回事．正因為如此，定理4的推論通常稱為方程根的存在定理． 例9 證明方程x=cosx在(0,)內至少有一個實根．證明　xcosx=0．令　　f(x)=xcosx, 0163。M，則在[a,b]上至少存在一點x，使得f(x)=u． 介值定理的幾何意義：介于兩條水平直線y=m與y=M之間的任一條直線y=u，與y=f(x)的圖象曲線至少有一個交點．Oxy12ab, =165。 g(x)在點x0處連續(xù)． 同樣可證明后兩個結論． 注意　和、差、積的情況可以推廣到有限個函數(shù)的情形． 定理2(復合函數(shù)的連續(xù)性)　設函數(shù)u=j(x)在點x0處連續(xù)，y=f(u)在u0處連續(xù)，u0=j(x0)，則復合函數(shù)y=f[j(x)]在點x0處連續(xù)，即f[j(x)]=f[j(x)]=f[j(x0)]． 推論 設j(x)存在為u0，函數(shù)y=f(u)在u0處連續(xù)，則 f[j(x)]=f[j(x)]． 即極限符號“”與連續(xù)的函數(shù)符號“f”可交換次序，即可以在函數(shù)內求極限． ３．初等函數(shù)的連續(xù)性 基本初等函數(shù)以及常數(shù)函數(shù)在其定義區(qū)間內是連續(xù)的．初等函數(shù)在其定義區(qū)間內是連續(xù)的． 例3 求． 解　=sin(p1)=sin=1． 例4 求． 解　=． 例5 證明=1． 證明　==1． 例6 證明=1． 證明　令ex1=t，則x=ln(1+t)，且x174。0)在點x=x0處都連續(xù)． 證明　因為f(x),g(x)在點x0處連續(xù)，所以 f(x)=f(x0), g(x)=g(x0)，由極限的運算法則，得到 [f(x)177。x0等價于Dx=xx0174。16 函數(shù)的連續(xù)性 一、 函數(shù)在一點的連續(xù) 所謂“函數(shù)連續(xù)變化”， 在直觀上來看，它的圖象是連續(xù)不斷的，或者說“可以筆尖不離紙面地一筆畫成”；從數(shù)量上分析，當自變量的變化微小時，函數(shù)值的變化也是很微小的．例如，函數(shù)（１）g(x)=x+1，（２）f1(x)= ，（３）f2(x)=，作出它們的圖像．2xyO y=11232xyOy=x+111時u174。165。時t174。165。,(a可以是有限數(shù)x0, 177。+165。0時t174。0, x0, sin(x)0．于是 ．綜上所述，得 ． 的特點： (1)它是“”型，即若形式地應用商求極限的法則，得到的結果是； (2)在分式中同時出現(xiàn)三角函數(shù)和x的冪． 推廣　　如果j(x)=0,(a可以是有限數(shù)x0, 177。 　 當mn； 　　 　0， 　當mn．167。1時的無窮大，所以　　　　　　=165。x0時的無窮小之和．證明： 必要性 設=A，令a=f(x)A，則f(x)=A+a，而　　　　　　　　　==0，即　　　　　　　　　a是當x174。165。165。x0(或x174。等)時的無窮小，即有限個無窮小的代數(shù)組合仍然是無窮?。? 性質2 f(x)=f1(x)f2(x) ... fn(x)是x174。等)時的無窮小． 性