【正文】 0可以看成是無窮小，因為常數(shù)函數(shù)0的任何極限總是0． ２．無窮小的性質(zhì) 設f1(x),f2(x),...,fn(x)是x174。x0(或x174。165。等)時的無窮?。? 性質(zhì)1 f(x)= (ai206。R)是x174。x0(或x174。165。等)時的無窮小，即有限個無窮小的代數(shù)組合仍然是無窮小． 性質(zhì)2 f(x)=f1(x)f2(x) ... fn(x)是x174。x0(或x174。165。等)時的無窮小，即無窮小的積仍然是無窮?。? 性質(zhì)3 設g(x) 當x174。x0(或x174。165。等)時是有界的，則g(x)fi (x)(i=1,2,...,n)是x174。x0(或x174。165。等)時的無窮小，即有界函數(shù)與無窮小的積是無窮?。? 例1 求．解　因為x=0，所以x是x174。0時的無窮?。鴟sin|163。1，所以sin是有界函數(shù)．根據(jù)無窮小的性質(zhì)3，可知=0． 例2 求．解　因為 =sinx，而是當x174。165。時的無窮小，sinx是有界函數(shù)．所以=0． ３．函數(shù)極限與無窮小的關系 定理 1 =A 219。 f(x)=A+a, =0．即當x174。x0時f(x)以A為極限的充分必要條件是f(x)能表示為A與一個x174。x0時的無窮小之和．證明： 必要性 設=A，令a=f(x)A，則f(x)=A+a，而　　　　　　　　　==0，即　　　　　　　　　a是當x174。x0時的無窮?。浞中? 設f(x)=A+a，其中a是當x174。x0時的無窮小，則 　　==A．即f(x)的極限為A．三、 無窮大與無窮小的關系 定理 無窮大的倒數(shù)是無窮??；反之，在變化過程中不為零的無窮小的倒數(shù)為一個無窮大． 例3 求．解　因為=0，即是當x174。1時的無窮小，根據(jù)無窮大與無窮小的關系可知，它的倒數(shù)是當x174。1時的無窮大，所以　　　　　　=165。． 例4 求(x23x+2)．解　因為，所以　　　　(x23x+2)= 165。． 例5 求．解　因為，所以　　　　=165。． a0/b0，　　當m=n； 　　= 　　165。， 　 當mn； 　　 　0， 　當mn．167。15 兩個重要極限 一、觀察當x174。0時函數(shù)的變化趨勢：x(弧度)......當x取正值趨近于0時，174。1，即=1； 當x取負值趨近于0時，x174。0, x0, sin(x)0．于是 ．綜上所述，得 ． 的特點： (1)它是“”型，即若形式地應用商求極限的法則，得到的結(jié)果是； (2)在分式中同時出現(xiàn)三角函數(shù)和x的冪． 推廣　　如果j(x)=0,(a可以是有限數(shù)x0, 177。165?；?65。)，則　　　　　　　==1．例1 求． 解　=．例2 求． 解　=．例3 求． 解　=．例4 求．解　令arcsinx=t，則x=sint且x174。0時t174。0．所以=．例5 求． 解　= 　　　　　　=． 二、觀察當x174。+165。時函數(shù)的變化趨勢：x1210100010000100000100000...2...當x取正值并無限增大時，是逐漸增大的，但是不論x如何大，的值總不會超過3．實際上如果繼續(xù)增大x．即當x174。+165。時，可以驗證是趨近于一個確定的無理數(shù)e＝...． 當x174。165。時，函數(shù)有類似的變化趨勢，只是它是逐漸減小而趨向于e． 綜上所述，得　　　 =e．=e的特點：（１）lim(1+無窮小) ；（２）“無窮小”與“無窮大”的解析式互為倒數(shù)． 推廣?。ǎ保┤鬸(x)= 165。,(a可以是有限數(shù)x0, 177。165。或165。)，則 　　　　　=e；（２）若j(x)=0,(a可以是有限數(shù)x0, 177。165?；?65。)，則 　　　　　=e． 變形　令=t，則x174。165。時t174。0，代入后得到 ．如果在形式上分別對底和冪求極限，得到的是不確定的結(jié)果1165。，因此通常稱之為1165。不定型．例6 求．解　令－=t，則x=－．當x174。165。時t174。0，于是　　　==e –2．例7 求．解　令=1+u，則x=2－．當x174。165。時u174。0，于是　　　===e 1．例8 求．解　設t=tanx，則＝cotx．當x174。0時t174。0，于是　　　==e．167。16 函數(shù)的連續(xù)性 一、 函數(shù)在一點的連續(xù) 所謂“函數(shù)連續(xù)變化”， 在直觀上來看，它的圖象是連續(xù)不斷的，或者說“可以筆尖不離紙面地一筆畫成”；從數(shù)量上分析，當自變量的變化微小時，函數(shù)值的變化也是很微小的．例如，函數(shù)（１）g(x)=x+1，（２）f1(x)= ，（３）f2(x)=，作出它們的圖像．2xyO y=11232xyOy=x+11123Oxy12y=x+1y=x1（１）函數(shù)g(x)=x+1在x=1處有定義，圖象在對應于自變量x=1的點處是不間斷的或者說是連續(xù)的．表現(xiàn)在數(shù)量上，g(x)在x=1處的極限與函數(shù)值相等，即成立g(x)=g(1)．（２）函數(shù)f1(x)=在x=1處有定義，圖象在對應于自變量x=1的點處是間斷的或者說是不連續(xù)的．表現(xiàn)在數(shù)量上，f1(x)在x=1處的極限與函數(shù)值不等．進一步還可以看出：f1(x), f1(x)存在卻不相等，因此f1(x)不存在．（３）函數(shù)f2(x)= 在x=1處無定義，圖象在對應于自變量x=1的點處是間斷的或者說是不連續(xù)的．表現(xiàn)在數(shù)量上，f2(x)在x=1處的極限與函數(shù)值不等．進一步還可以看出： f2(x)=2雖然存在，但f2(1)卻無意義，所以兩者都沒有極限與函數(shù)值之間的相等關系． 定義1 如果函數(shù)f(x)在x0的某一領域內(nèi)有定義，且f(x)=f(x0)，就稱函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，稱x0為函數(shù)f(x)的連續(xù)點． 例1 研究函數(shù)f(x)=x2+1在x=2處的連續(xù)性．解?。ǎ保┖瘮?shù)f(x)=x2+1在x=2的某一領域內(nèi)有定義．f(2)=5，（２）f(x)= (x2+1)=5，（３）f(x)=f(2)．因此，函數(shù)f(x)=x2+1在x=2處連續(xù)． 注意　從定義1可以看出，函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)必須同時滿足以下三個條件： (1)函數(shù)f(x)在x0的某一領域內(nèi)有定義； (2)極限f(x)存在； (3)極限值等于函數(shù)值，即f(x)=f(x0)． 如果函數(shù)y=f(x)的自變量x由x0變到x，我們稱差值xx0為自變量x在x0處的改變量或增量，通常用符號Dx表示，即Dx=xx0．此時相應的函數(shù)值由f(x0)變到f(x)，我們稱差值f(x)f(x0)為函數(shù)y=f(x)在點x0處的改變量或增量，記作Dy，即Dy = f(x)f(x0)． 由于Dx=xx0，所以x=x0+Dx，因而Dy = f(x)f(x0)=f(x0+Dx )f(x0)． 利用增量記號，x174。x0等價于Dx=xx0174。0，f(x)=f(x0)等價于[f(x)f(x0)]=0，上式又等價于=0． 定義 設函數(shù)f(x)在x0及其附近有定義，如果當自變量x在x0處的增量Dx趨于零時，相應的函數(shù)增量Dy=f(x0+Dx )f(x0)也趨于零，即=0，則稱函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，稱x0為函數(shù)f(x)的連續(xù)點．連續(xù)的直觀認識：當自變量的變化很微小時，函數(shù)值的變化也很微小． 定義2 如果函數(shù)y=f(x)在x0及其左邊附近有定義，且f(x)=f(x0)，則稱函數(shù)y=f(x)在x0處左連續(xù)．如果函數(shù)y=f(x)在x0及其右邊附近有定義，且f(x)=f(x0)，則稱函數(shù)y=f(x)在x0處右連續(xù)．y=f(x)在x0處連續(xù) 219。 y=f(x)在x0處既左連續(xù)又右連續(xù)． 例2 討論函數(shù)f(x)= 在x=處的連續(xù)性．解?。ǎ保ゝ()=1；（２）由于f(x)= (1+cosx)=1+cos=1， 　　　　　f(x)= sinx=sin=1，所以　　　　　　　f(x)＝f(x)則 f(x) =1； （３）且f(x) =f()．因此　　　　　　　f(x)在x=處連續(xù)．二、 連續(xù)函數(shù)及其運算１．連續(xù)函數(shù)定義3 如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都是連續(xù)的，則稱函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，或者說y=f(x)是(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)．如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上定義，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，且在區(qū)間的兩個端點x=a與x=b處分別是右連續(xù)和左連續(xù)，即f(x)=f(a)，f(x)=f(b)，則稱函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，或者說f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)． 函數(shù)f(x)在它定義域內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱f(x)為連續(xù)函數(shù)． ２．連續(xù)函數(shù)的運算 定理1 如果函數(shù)f(x),g(x)在某一點x=x0處連續(xù)，則f(x)177。 g(x), f(x)g(x),(g(x0)185。0)在點x=x0處都連續(xù)． 證明　因為f(x),g(x)在點x0處連續(xù)，所以 f(x)=f(x0), g(x)=g(x0)，由極限的運算法則，得到 [f(x)177。 g(x)]=f(x)177。g(x)=f(x0) 177。g(x0)．因此，函數(shù)f(x)177。 g(x)在點x0處連續(xù)． 同樣可證明后兩個結(jié)論． 注意　和、差、積的情況可以推廣到有限個函數(shù)的情形． 定理2(復合函數(shù)的連續(xù)性)　設函數(shù)u=j(x)在點x0處連續(xù)，y=f(u)在u0處連續(xù)，u0=j(x0)，則復合函數(shù)y=f[j(x)]在點x0處連續(xù)，即f[j(x)]=f[j(x)]=f[j(x0)]． 推論 設j(x)存在為u0，函數(shù)y=f(u)在u0處連續(xù)，則 f[j(x)]=f[j(x)]． 即極限符號“”與連續(xù)的函數(shù)符號“f”可交換次序，即可以在函數(shù)內(nèi)求極限． ３．初等函數(shù)的連續(xù)性 基本初等函數(shù)以及常數(shù)函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的．初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的． 例3 求． 解　=sin(p1)=sin=1． 例4 求． 解　=． 例5 證明=1． 證明　==1． 例6 證明=1． 證明　令ex1=t，則x=ln(1+t)，且x174。0時t174。0，于是由例5即可得 ．三、 函數(shù)的間斷點１．間斷點的概念 如果函數(shù)y=f(x)在點x0處不連續(xù)，則稱f(x)在x0處間斷，并稱x0為f(x)的間斷點． f(x)在x0處間斷有以下三種可能： (1)函數(shù)f(x)在x0處沒有定義； (2)f(x)在x0處有定義，但極限f(x)不存在； (3) f(x)在x0處有定義，極限f(x)存在，但f(x)185。f(x0)．例如，（１）函數(shù)f(x)=在x=0處無定義，所以x=0是其的間斷點；（２）函數(shù)f(x)=在x=0處有定義f(0)=0，但f(x)=0, f(x)=1，故f(x)不存在，所以x=0是f(x)的間斷點；（３）函數(shù)f(x)=在x=1處有定義f(1)=1，f(x)=2極限存在但不等于f(1)，所以x=1是f(x)的間斷點． ２．間斷點的分類 設x0是f(x)的間斷點，若f(x)在x0點的左、右極限都存在，則稱x0為f(x)的第一類間斷點；凡不是第一類的間斷點都稱為第二類間斷點． 在第一類間斷點中，如果左、右極限存在但不相等，這種間斷點又稱為跳躍間斷點；如果左、右極限存在且相等(即極限存在)，但函數(shù)在該點沒有定義，或者雖然函數(shù)在該點有定義，但函數(shù)值不等于極限值，這種間斷點又稱為可去間斷點． 函數(shù)y=在x=0處間斷．因為=+165。, =165。，所以x=0是y=的第二類間斷點． 例7 討論函數(shù)f(x)=在x=1與x=0處的連續(xù)性． 解?。ǎ保┮驗閒(x)=(x+1)，而f(1)=0，故f(x)=f(1)，因此x=1是f(x)的連續(xù)點． （２）因為f(x)=(x+1)=1，f(x)= (x4)=4，則f(x)≠f(x)，所以有　　f(x)不存在，因此x=0是f(x)的間斷點，且是第一類的跳躍型間斷點． 例8 討論函數(shù)f(x)=的連續(xù)性，若有間斷點，指出其類型． 解　在x=0, x=1處間斷． 在x=0處，因為f(x)=，所以x=0是f(x)的第二類間斷點； 在x=1處，因為f(x)==2，所以x=1是f(x)的第一類可去間斷點．四、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理3(最大值最小值定理)　閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必能取到最大值和最小值．OxyPQab幾何直觀上看，因為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的圖像，是包括兩端點的一條不間斷的曲線，因此它必定有最高點P和最低點Q，P與Q的縱坐標正是函數(shù)的最大值和最小值．注意　如果函數(shù)僅在開區(qū)間(a,b)或半閉半開的區(qū)間[a,b]，(a,b)內(nèi)連續(xù)，或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值．Oxy12例如，（１