【正文】 質(zhì)1 f(x)= (ai206。165。１．無(wú)窮小的定義 考察函數(shù)f(x)=x1，由圖可知，當(dāng)x從左右兩個(gè)方向無(wú)限趨近于1時(shí)，f(x)都無(wú)限地趨向于0．定義2 如果當(dāng)x174。0+時(shí)，lnx總?cè)∝?fù)值而無(wú)限減小，所以lnx是x174。+165。時(shí)的的無(wú)窮大，記作x=165。時(shí)的情形． 例如，（２）當(dāng)x174。,，x174。1時(shí)，||無(wú)限增大，所以是當(dāng)x174?！笔且粋€(gè)記號(hào)而不是確定的數(shù)，記號(hào)的含意僅表示“f(x)的絕對(duì)值無(wú)限增大”． 如果在無(wú)窮大的定義中，對(duì)于x0左右近旁的x，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都是正的或都是負(fù)的，也即當(dāng)x174。x0時(shí)，函數(shù)f(x)的絕對(duì)值無(wú)限增大，那么稱(chēng)函數(shù)f(x)為當(dāng)x174。等其他變化過(guò)程同樣成立； 2．法則1, 2可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情況，因此只要x使函數(shù)有意義，例如下面的等式也成立： [f(x)]n=[f(x)]n，[f(x)]a=[f(x)]a, a206。g(x)]=f(x) 177。x0時(shí)，函數(shù)f(x)的左極限 ，記作． 例7 已知函數(shù)，討論當(dāng)x174。x0時(shí)，f(x)的值恒等于C，所以有f(x)= C=C．由此可見(jiàn)，常數(shù)的極限是其本身． 　規(guī)定：(1)如果x從大于x0的方向趨近于x0(即x174。x0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么就稱(chēng)當(dāng)x174。1．因此，當(dāng)x174。, 1)200。2時(shí)，函數(shù)y=x+1的變化趨勢(shì)． 解　作出函數(shù)y=x+1的圖像．不論x從小于2的方向趨近于2，或者從大于2的方向趨近于2，函數(shù)y=x+1的值總是隨著自變量x的變化從兩個(gè)不同的方向愈來(lái)愈接近于3 ，所以說(shuō)當(dāng)x174。表示x從小于x0的方向趨近于x0．2xyOy=x+111 f(x)=f(x) =A． 174。；當(dāng)x174。1．因此，當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)y=1+無(wú)限地接近于常數(shù)1，即(1+)=1．(2) 當(dāng)x174。時(shí)，y=1+174。)時(shí)函數(shù)f(x)的極限．記作 ．1xyO1 y=2x y=()x 例2 作出函數(shù)y=()x和y=2x的圖像，并判斷下列極限： (1) ()x；(2) 2x．解 (1) ()x =0；(2)2x =0． 例3 討論下列函數(shù)當(dāng)x174。) 時(shí)存在極限A，稱(chēng)數(shù)A為當(dāng)x174。)時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么就稱(chēng)f(x)當(dāng)x174。時(shí)函數(shù)f(x)的極限，記作 類(lèi)似地，如果當(dāng)x174。)時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么就稱(chēng)f(x)當(dāng)x174。165。和x174。和x174。． 若x不指定正負(fù)，只是|x|無(wú)限增大，則寫(xiě)成x174。包含以下兩種情況： (1)x取正值，無(wú)限增大，記作x174。x0)． 174。165。165。12 極限一、 數(shù)列的極限 兩個(gè)數(shù)列： (1) (2)在數(shù)軸上表示．OxOx 11 數(shù)列(1)中的項(xiàng)無(wú)限趨近于0，數(shù)列(2)中的項(xiàng)無(wú)限趨近于1． 定義 1 當(dāng)數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，如果an無(wú)限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么就稱(chēng)這個(gè)數(shù)列存在極限A，記作=A．讀作“當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，an的極限等于A”．符號(hào)“”表示“趨向于”，“165。(165。11 初等函數(shù)一、 基本初等函數(shù)我們把冪函數(shù)y=xa(a206。R)、指數(shù)函數(shù)y=ax(a0且a185。,0)200?！北硎尽盁o(wú)窮大”，“n174。時(shí)，an174。)． 若數(shù)列{an}存在極限，也稱(chēng)數(shù)列{an}收斂；若數(shù)列{an}沒(méi)有極限，則稱(chēng)數(shù)列{an}發(fā)散． 注意：(1)一個(gè)數(shù)列有無(wú)極限，應(yīng)該分析隨著項(xiàng)數(shù)的無(wú)限增大，數(shù)列中相應(yīng)的項(xiàng)是否無(wú)限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)，如果這樣的數(shù)存在，那么這個(gè)數(shù)就是所論數(shù)列的極限，否則數(shù)列的極限就不存在． (2)常數(shù)數(shù)列的極限都是這個(gè)常數(shù)本身． 二、 函數(shù)的極限自變量x的變化過(guò)程：(1)x的絕對(duì)值|x|無(wú)限增大(記作x174。165。+165。165。165。165。時(shí)，+1174。165。+165。+165。+165。165。1；當(dāng)x174。+165。165。x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限 x174。232時(shí)y=x+1174。(1, 165。1時(shí), y=174。x0時(shí)f(x)存在極限A；數(shù)A就稱(chēng)為當(dāng)x174。)時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么就稱(chēng)f(x)在x0處存在右極限A，稱(chēng)數(shù)A就稱(chēng)為當(dāng)x174。0時(shí)的極限．解　，．因而當(dāng)x174。g(x)=A177。Q． 極限運(yùn)算“”與四則運(yùn)算(加、減、乘、除)可以交換次序(其中除法運(yùn)算時(shí)分母的極限必須不等于零）． 例1 求 (x2+2x3)． 解： (x2+2x3)= x2+2x3=[x]2+2x3=22+223=5． 例2 求． 解 =． 例3 求． 解 ==2． 例4 求． 解 = ==+3=6． 例5 求． 解 =． 例6 求． 解 =． 167。x0時(shí)的無(wú)窮大． 如果函數(shù)f(x)為當(dāng)x174。x0時(shí)，f(x)無(wú)限增大或減小，就分別記作=+165。1時(shí)的無(wú)窮大，記作=165。+165。165。． （３）當(dāng)x174。時(shí)的的無(wú)窮大，記作2x=+165。0+時(shí)的無(wú)窮大，記作lnx=165。x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限為0，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)為x174。時(shí)的無(wú)窮?。⒁狻?1)一個(gè)函數(shù)f(x)是無(wú)窮小，是與自變量x的變化過(guò)程緊密相連的，因此必須指明自變量x的變化過(guò)程．(2)不要把絕對(duì)值很小的常數(shù)說(shuō)成是無(wú)窮?。疅o(wú)窮小表示的是一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)在自變量某個(gè)變化過(guò)程中的極限為0；而這些絕對(duì)值很小的數(shù)無(wú)論自變量是何種變化過(guò)程，其極限都不是0；只有常數(shù)0可以看成是無(wú)窮小，因?yàn)槌?shù)函數(shù)0的任何極限總是0． ２．無(wú)窮小的性質(zhì) 設(shè)f1(x),f2(x),...,fn(x)是x174。R)是x174。x0(或x174。165。等)時(shí)的無(wú)窮小，即有界函數(shù)與無(wú)窮小的積是無(wú)窮?。? 例1 求．解　因?yàn)閤=0，所以x是x174。時(shí)的無(wú)窮小，sinx是有界函數(shù)．所以=0． ３．函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系 定理 1 =A 219。x0時(shí)的無(wú)窮?。浞中? 設(shè)f(x)=A+a，其中a是當(dāng)x174。． 例4 求(x23x+2)．解　因?yàn)?，所以　　　?x23x+2)= 165。15 兩個(gè)重要極限 一、觀(guān)察當(dāng)x174。165。0．所以=．例5 求． 解　= 　　　　　　=． 二、觀(guān)察當(dāng)x174。時(shí)，可以驗(yàn)證是趨近于一個(gè)確定的無(wú)理數(shù)e＝...． 當(dāng)x174。165。或165。0，代入后得到 ．如果在形式上分別對(duì)底和冪求極限，得到的是不確定的結(jié)果1165。時(shí)t174。0，于是　　　===e 1．例8 求．解　設(shè)t=tanx，則＝cotx．當(dāng)x174。230，f(x)=f(x0)等價(jià)于[f(x)f(x0)]=0，上式又等價(jià)于=0． 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在x0及其附近有定義，如果當(dāng)自變量x在x0處的增量Dx趨于零時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量Dy=f(x0+Dx )f(x0)也趨于零，即=0，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，稱(chēng)x0為函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn)．連續(xù)的直觀(guān)認(rèn)識(shí)：當(dāng)自變量的變化很微小時(shí)，函數(shù)值的變化也很微?。? 定義2 如果函數(shù)y=f(x)在x0及其左邊附近有定義，且f(x)=f(x0)，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在x0處左連續(xù)．如果函數(shù)y=f(x)在x0及其右邊附近有定義，且f(x)=f(x0)，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在x0處右連續(xù)．y=f(x)在x0處連續(xù) 219。 g(x)]=f(x)177。0時(shí)t174。所以x=0是y=的第二類(lèi)間斷點(diǎn)． 例7 討論函數(shù)f(x)=在x=1與x=0處的連續(xù)性． 解?。ǎ保┮?yàn)閒(x)=(x+1)，而f(1)=0，故f(x)=f(1)，因此x=1是f(x)的連續(xù)點(diǎn)． （２）因?yàn)閒(x)=(x+1)=1，f(x)= (x4)=4，則f(x)≠f(x)，所以有　　f(x)不存在，因此x=0是f(x)的間斷點(diǎn)，且是第一類(lèi)的跳躍型間斷點(diǎn)． 例8 討論函數(shù)f(x)=的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出其類(lèi)型． 解　在x=0, x=1處間斷． 在x=0處，因?yàn)閒(x)=，所以x=0是f(x)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)； 在x=1處，因?yàn)閒(x)==2，所以x=1是f(x)的第一類(lèi)可去間斷點(diǎn)．四、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理3(最大值最小值定理)　閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必能取到最大值和最小值．O幾何直觀(guān)上看，因?yàn)殚]區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的圖像，是包括兩端點(diǎn)的一條不間斷的曲線(xiàn)，因此它必定有最高點(diǎn)P和最低點(diǎn)Q，P與Q的縱坐標(biāo)正是函數(shù)的最大值和最小值．注意　如果函數(shù)僅在開(kāi)區(qū)間(a,b)或半閉半開(kāi)的區(qū)間[a,b]，(a,b)內(nèi)連續(xù)，或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值．Oxybax f(b)Oxyx163。＝３，產(chǎn)生這種不同結(jié)果的原因，是因?yàn)楫?dāng)x174。 0從表中數(shù)值看，當(dāng)x174。a(a可以是有限數(shù)x0，可以是177。0． (1)如果=0，則稱(chēng)當(dāng)x174。a時(shí)a與b是同階無(wú)窮??；特別地，當(dāng)A=1時(shí)，稱(chēng)當(dāng)x174。a時(shí)的無(wú)窮小，且a是b的高階無(wú)窮小． 例如，（１）當(dāng)x174。0)；（３）因?yàn)?，所? 　　1cosx=o(x), tanx~x, 1~x, (x174。是x174。0)． 例1 求．解　因?yàn)閤時(shí)，sin2x~2x, tan5x~5x，所以　　　=． 例2 求． 解　因?yàn)閑x1~x, ln(1+x2) ~x2, sin2x~2x, 1cosx~x2, (x174。)； (2), x0． 解 (1)sin(x+Dx)sinx=(sinxcosDx+sinDxcosx)sinx=sinDxcosxsinx(1cosDx)，因?yàn)? sinDx~Dx, 1cosDx~(Dx), (Dx174。,+165。)． (2)ln(x+Dx)lnx=ln(1+)~, (Dx174。 ==A； (2)=A 219。；x174。,165。a)； ２）若y是當(dāng)x174。)時(shí)的無(wú)窮大(非零無(wú)窮小)，則是當(dāng)x174。 ２）f(x)在x0連續(xù) 存在． (4)無(wú)窮小的比較 設(shè)a, b是x174。)時(shí)的無(wú)窮小，則 0，a是b的高階無(wú)窮??； = 165?！?，“165。0”， “00”等幾種．其中后面幾種都能改變?yōu)榍皟煞N，因此前兩種是基本的．計(jì)算未定型極限的基本思想是通過(guò)恒等變形化為確定型的極限，或應(yīng)用兩個(gè)重要極限、無(wú)窮小的性質(zhì)及等價(jià)無(wú)窮小替換等進(jìn)行計(jì)算． 3. 函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象．要在弄清在一點(diǎn)處連續(xù)與極限區(qū)別的基礎(chǔ)上，了解初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的基本結(jié)論，掌握初等函數(shù)與簡(jiǎn)單非初等函數(shù)討論連續(xù)性與間斷點(diǎn)的方法；并會(huì)用根存在定理討論某些方程根的存在問(wèn)題．二、要點(diǎn)解析1. 求極限的方法求極限是本章重點(diǎn)之一，也是微積分中三大基本運(yùn)算之一．主要求極限方法： (1)利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限 若f(x)在x0連續(xù)，則=f(x0)； 若f(u)在u=u0連續(xù)，=u0，則=f(u0)． (2)利用極限的四則運(yùn)算法則求極限． (3)若分母極限為0，分子極限不為0，則分式的極限是165。 ，即　　　　　　　b=－2，(a任意)．所以當(dāng)b=2，(a任意)時(shí)，存在=－2． (2) 　　　f(x)在x=0處連續(xù) 219。(0,+165。,+165。所以x=kp(k185。0； , x0． 解　(1)f(x)=ln(2x)的定義域?yàn)?165。, 0)連續(xù)． g(0)=，g(x)==185。)．4. 利用根存在定理討論方程根的存在性 方程f(x)＝０根存在條件：函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)． 例6 設(shè)f(x)206。[0,1]，即0163。0． １）若兩個(gè)不等式中有一個(gè)成立等號(hào)，則x206。0的極限，得 g=(m/s)．為質(zhì)點(diǎn)在=1秒時(shí)速度為瞬時(shí)速度．一般地，設(shè)質(zhì)點(diǎn)的位移規(guī)律是s=f(t)，在時(shí)刻t時(shí)時(shí)間有改變量Dt，s相應(yīng)的改變量為Ds=f(t+Dt)f(t)，在時(shí)間段t到t+Dt內(nèi)的平均速度為 =，對(duì)平均速度取Dt174。得切線(xiàn)AT的斜率為 tana= tanb=．在數(shù)量上，它表示函數(shù)f(x)在x處的變化率．上述兩個(gè)實(shí)例，雖然表達(dá)問(wèn)題的函數(shù)形式y(tǒng)=f(x)和自變量x具體內(nèi)容不同，但本質(zhì)都是要求函數(shù)y關(guān)于自變量x在某一點(diǎn)x處的變化率． 1. 自變量x作微小變化Dx，求出函數(shù)在自變量這個(gè)段內(nèi)的平均變化率=，作為點(diǎn)x處變化率的近似； 2. 對(duì)求Dx174。(x0)= (21) 比值表示函數(shù)y=f(x)在x0到x0+Dx之間的平均變化率，導(dǎo)數(shù)則表示了函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率，它反映了函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的變化的快慢． 如果當(dāng)Dx174。|x=2=4． 當(dāng)存在時(shí)，稱(chēng)其極限值為函數(shù)