【正文】 第2章 導(dǎo)數(shù)和微分 167。0． １）若兩個(gè)不等式中有一個(gè)成立等號(hào)，則x206。1，所以　　　　　　F(0)=f(0)0179。[0,1]，即0163。[0,1]，且在[0,1]上連續(xù)．證明存在x206。)．4. 利用根存在定理討論方程根的存在性 方程f(x)＝０根存在條件：函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)． 例6 設(shè)f(x)206。,0)200。, 0)連續(xù)． g(0)=，g(x)==185。,2)． (2)當(dāng)x0，g(x)=為初等函數(shù)，且分母x+20，所以g(x)在(0,+165。0； , x0． 解　(1)f(x)=ln(2x)的定義域?yàn)?165。Z)為f(x)的第二類間斷點(diǎn)． 在x=0處，f(x)===－1； 　===1，因?yàn)閒(x) 185。所以x=kp(k185。0, k206。,+165。,0)內(nèi)與(0,+165。(0,+165。(165。 ，即　　　　　　　b=－2，(a任意)．所以當(dāng)b=2，(a任意)時(shí)，存在=－2． (2) 　　　f(x)在x=0處連續(xù) 219。, 當(dāng)mn． (6)若分式中含有三角函數(shù)與自變量?jī)绲某朔e，或是1165。0”， “00”等幾種．其中后面幾種都能改變?yōu)榍皟煞N，因此前兩種是基本的．計(jì)算未定型極限的基本思想是通過恒等變形化為確定型的極限，或應(yīng)用兩個(gè)重要極限、無窮小的性質(zhì)及等價(jià)無窮小替換等進(jìn)行計(jì)算． 3. 函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象．要在弄清在一點(diǎn)處連續(xù)與極限區(qū)別的基礎(chǔ)上，了解初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的基本結(jié)論，掌握初等函數(shù)與簡(jiǎn)單非初等函數(shù)討論連續(xù)性與間斷點(diǎn)的方法；并會(huì)用根存在定理討論某些方程根的存在問題．二、要點(diǎn)解析1. 求極限的方法求極限是本章重點(diǎn)之一，也是微積分中三大基本運(yùn)算之一．主要求極限方法： (1)利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限 若f(x)在x0連續(xù)，則=f(x0)； 若f(u)在u=u0連續(xù)，=u0，則=f(u0)． (2)利用極限的四則運(yùn)算法則求極限． (3)若分母極限為0，分子極限不為0，則分式的極限是165?！保?165。”，“165。0)，a與b是同階無窮?。蝗鬰=1，a與b是等價(jià)無窮小．2. 計(jì)算極限的方法 (1)極限的四則運(yùn)算法則與兩個(gè)重要極限 利用極限的四則運(yùn)算法則求極限時(shí)，注意需要滿足的條件； 兩個(gè)重要極限給出了兩個(gè)特殊的“”,“1165。)時(shí)的無窮小，則 0，a是b的高階無窮小； = 165。165。 ２）f(x)在x0連續(xù) 存在． (4)無窮小的比較 設(shè)a, b是x174。 ==f(x0)；222。)時(shí)的無窮大(非零無窮小)，則是當(dāng)x174。165。a)； ２）若y是當(dāng)x174。 f(x)=A+a, a174。,165。． 2. 無窮大和無窮小無窮大和無窮小(除常數(shù)0外)都不是一個(gè)數(shù)，而是兩類具有特定變化趨勢(shì)的函數(shù)，因此不指出自變量的變化過程，籠統(tǒng)地說某個(gè)函數(shù)是無窮大或無窮小是沒有意義的．幾個(gè)重要結(jié)論： １）=A(a可以是有限數(shù)x0或177。；x174。165。 ==A； (2)=A 219。0)，所以 =總結(jié))． (2)ln(x+Dx)lnx=ln(1+)~, (Dx174。(165。,+165。1, x206。)； (2), x0． 解 (1)sin(x+Dx)sinx=(sinxcosDx+sinDxcosx)sinx=sinDxcosxsinx(1cosDx)，因?yàn)? sinDx~Dx, 1cosDx~(Dx), (Dx174。(165。0)． 例1 求．解　因?yàn)閤時(shí)，sin2x~2x, tan5x~5x，所以　　　=． 例2 求． 解　因?yàn)閑x1~x, ln(1+x2) ~x2, sin2x~2x, 1cosx~x2, (x174。, b~b162。是x174。0時(shí)的同階無窮小． 定理 設(shè)a，b，a162。0)；（３）因?yàn)?，所? 　　1cosx=o(x), tanx~x, 1~x, (x174。0)；（２）因?yàn)?1， sinx與x是x174。a時(shí)的無窮小，且a是b的高階無窮小． 例如，（１）當(dāng)x174。a)． 注意 記號(hào)“a=o(b), (x174。a時(shí)a與b是同階無窮小；特別地，當(dāng)A=1時(shí)，稱當(dāng)x174。a)； (2)如果=A,(A185。0． (1)如果=0，則稱當(dāng)x174?；?65。a(a可以是有限數(shù)x0，可以是177。0時(shí)，（１）趨向零較快的無窮小與較慢的無窮小之商的極限為0；（２）趨向零較慢的無窮小與較快的無窮小之商的極限為165。 0從表中數(shù)值看，當(dāng)x174。 03x3174。＝３，產(chǎn)生這種不同結(jié)果的原因，是因?yàn)楫?dāng)x174。17 無窮小的比較自變量同一變化過程的兩個(gè)無窮小的代數(shù)組合及乘積仍然是這個(gè)過程的無窮小．但是兩個(gè)無窮小的商卻會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果．如x, 3x, x2都是當(dāng)x174。x163。bax f(b)Oxyu163。幾何直觀上看，因?yàn)殚]區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的圖像，是包括兩端點(diǎn)的一條不間斷的曲線，因此它必定有最高點(diǎn)P和最低點(diǎn)Q，P與Q的縱坐標(biāo)正是函數(shù)的最大值和最小值．注意　如果函數(shù)僅在開區(qū)間(a,b)或半閉半開的區(qū)間[a,b]，(a,b)內(nèi)連續(xù)，或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值．OxyQ所以x=0是y=的第二類間斷點(diǎn)． 例7 討論函數(shù)f(x)=在x=1與x=0處的連續(xù)性． 解　（１）因?yàn)閒(x)=(x+1)，而f(1)=0，故f(x)=f(1)，因此x=1是f(x)的連續(xù)點(diǎn)． （２）因?yàn)閒(x)=(x+1)=1，f(x)= (x4)=4，則f(x)≠f(x)，所以有　　f(x)不存在，因此x=0是f(x)的間斷點(diǎn)，且是第一類的跳躍型間斷點(diǎn)． 例8 討論函數(shù)f(x)=的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出其類型． 解　在x=0, x=1處間斷． 在x=0處，因?yàn)閒(x)=，所以x=0是f(x)的第二類間斷點(diǎn)； 在x=1處，因?yàn)閒(x)==2，所以x=1是f(x)的第一類可去間斷點(diǎn)．四、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理3(最大值最小值定理)　閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必能取到最大值和最小值．Of(x0)．例如，（１）函數(shù)f(x)=在x=0處無定義，所以x=0是其的間斷點(diǎn)；（２）函數(shù)f(x)=在x=0處有定義f(0)=0，但f(x)=0, f(x)=1，故f(x)不存在，所以x=0是f(x)的間斷點(diǎn)；（３）函數(shù)f(x)=在x=1處有定義f(1)=1，f(x)=2極限存在但不等于f(1)，所以x=1是f(x)的間斷點(diǎn)． ２．間斷點(diǎn)的分類 設(shè)x0是f(x)的間斷點(diǎn)，若f(x)在x0點(diǎn)的左、右極限都存在，則稱x0為f(x)的第一類間斷點(diǎn)；凡不是第一類的間斷點(diǎn)都稱為第二類間斷點(diǎn)． 在第一類間斷點(diǎn)中，如果左、右極限存在但不相等，這種間斷點(diǎn)又稱為跳躍間斷點(diǎn)；如果左、右極限存在且相等(即極限存在)，但函數(shù)在該點(diǎn)沒有定義，或者雖然函數(shù)在該點(diǎn)有定義，但函數(shù)值不等于極限值，這種間斷點(diǎn)又稱為可去間斷點(diǎn)． 函數(shù)y=在x=0處間斷．因?yàn)?+165。0時(shí)t174。g(x0)．因此，函數(shù)f(x)177。 g(x)]=f(x)177。 g(x), f(x)g(x),(g(x0)185。0，f(x)=f(x0)等價(jià)于[f(x)f(x0)]=0，上式又等價(jià)于=0． 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在x0及其附近有定義，如果當(dāng)自變量x在x0處的增量Dx趨于零時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量Dy=f(x0+Dx )f(x0)也趨于零，即=0，則稱函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，稱x0為函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn)．連續(xù)的直觀認(rèn)識(shí)：當(dāng)自變量的變化很微小時(shí)，函數(shù)值的變化也很微?。? 定義2 如果函數(shù)y=f(x)在x0及其左邊附近有定義，且f(x)=f(x0)，則稱函數(shù)y=f(x)在x0處左連續(xù)．如果函數(shù)y=f(x)在x0及其右邊附近有定義，且f(x)=f(x0)，則稱函數(shù)y=f(x)在x0處右連續(xù)．y=f(x)在x0處連續(xù) 219。xy12y=x+1y=x1（１）函數(shù)g(x)=x+1在x=1處有定義，圖象在對(duì)應(yīng)于自變量x=1的點(diǎn)處是不間斷的或者說是連續(xù)的．表現(xiàn)在數(shù)量上，g(x)在x=1處的極限與函數(shù)值相等，即成立g(x)=g(1)．（２）函數(shù)f1(x)=在x=1處有定義，圖象在對(duì)應(yīng)于自變量x=1的點(diǎn)處是間斷的或者說是不連續(xù)的．表現(xiàn)在數(shù)量上，f1(x)在x=1處的極限與函數(shù)值不等．進(jìn)一步還可以看出：f1(x), f1(x)存在卻不相等，因此f1(x)不存在．（３）函數(shù)f2(x)= 在x=1處無定義，圖象在對(duì)應(yīng)于自變量x=1的點(diǎn)處是間斷的或者說是不連續(xù)的．表現(xiàn)在數(shù)量上，f2(x)在x=1處的極限與函數(shù)值不等．進(jìn)一步還可以看出： f2(x)=2雖然存在，但f2(1)卻無意義，所以兩者都沒有極限與函數(shù)值之間的相等關(guān)系． 定義1 如果函數(shù)f(x)在x0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，且f(x)=f(x0)，就稱函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，稱x0為函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn)． 例1 研究函數(shù)f(x)=x2+1在x=2處的連續(xù)性．解?。ǎ保┖瘮?shù)f(x)=x2+1在x=2的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義．f(2)=5，（２）f(x)= (x2+1)=5，（３）f(x)=f(2)．因此，函數(shù)f(x)=x2+1在x=2處連續(xù)． 注意　從定義1可以看出，函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件： (1)函數(shù)f(x)在x0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義； (2)極限f(x)存在； (3)極限值等于函數(shù)值，即f(x)=f(x0)． 如果函數(shù)y=f(x)的自變量x由x0變到x，我們稱差值xx0為自變量x在x0處的改變量或增量，通常用符號(hào)Dx表示，即Dx=xx0．此時(shí)相應(yīng)的函數(shù)值由f(x0)變到f(x)，我們稱差值f(x)f(x0)為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的改變量或增量，記作Dy，即Dy = f(x)f(x0)． 由于Dx=xx0，所以x=x0+Dx，因而Dy = f(x)f(x0)=f(x0+Dx )f(x0)． 利用增量記號(hào)，x174。230，于是　　　==e．167。0，于是　　　===e 1．例8 求．解　設(shè)t=tanx，則＝cotx．當(dāng)x174。165。時(shí)t174。不定型．例6 求．解　令－=t，則x=－．當(dāng)x174。0，代入后得到 ．如果在形式上分別對(duì)底和冪求極限，得到的是不確定的結(jié)果1165。165。或165。)，則 　　　　　=e；（２）若j(x)=0,(a可以是有限數(shù)x0, 177。165。時(shí)，函數(shù)有類似的變化趨勢(shì)，只是它是逐漸減小而趨向于e． 綜上所述，得　　　 =e．=e的特點(diǎn)：（１）lim(1+無窮小) ；（２）“無窮小”與“無窮大”的解析式互為倒數(shù)． 推廣?。ǎ保┤鬸(x)= 165。時(shí)，可以驗(yàn)證是趨近于一個(gè)確定的無理數(shù)e＝...． 當(dāng)x174。時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì)：x1210100010000100000100000...2...當(dāng)x取正值并無限增大時(shí)，是逐漸增大的，但是不論x如何大，的值總不會(huì)超過3．實(shí)際上如果繼續(xù)增大x．即當(dāng)x174。0．所以=．例5 求． 解　= 　　　　　　=． 二、觀察當(dāng)x174。)，則　　　　　　　==1．例1 求． 解　=．例2 求． 解　=．例3 求． 解　=．例4 求．解　令arcsinx=t，則x=sint且x174。165。1，即=1； 當(dāng)x取負(fù)值趨近于0時(shí)，x174。15 兩個(gè)重要極限 一、觀察當(dāng)x174。． a0/b0，　　當(dāng)m=n； 　　= 　　165。． 例4 求(x23x+2)．解　因?yàn)?，所以　　　?x23x+2)= 165。1時(shí)的無窮小，根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系可知，它的倒數(shù)是當(dāng)x174。x0時(shí)的無窮?。浞中? 設(shè)f(x)=A+a，其中a是當(dāng)x174。x0時(shí)f(x)以A為極限的充分必要條件是f(x)能表示為A與一個(gè)x174。時(shí)的無窮小，sinx是有界函數(shù)．所以=0． ３．函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系 定理 1 =A 219。1，所以sin是有界函數(shù)．根據(jù)無窮小的性質(zhì)3，可知=0． 例2 求．解　因?yàn)?=sinx，而是當(dāng)x17