【正文】 果的不確定度總是大于參與運(yùn)算的各個(gè)量中任一個(gè)量的不確定度。為此，我們先來(lái)討論一些簡(jiǎn)單的有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則。（2）最后運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字中也只有一位欠準(zhǔn)數(shù)。3）有效數(shù)字的運(yùn)算間接測(cè)量的結(jié)果總是通過(guò)一定的運(yùn)算得到的，那么運(yùn)算中間及運(yùn)算后結(jié)果的有效數(shù)字如何取舍呢?這就是有效數(shù)字的運(yùn)算問(wèn)題。例如，2．3mm與22．3 mm相比，兩者的不確定度處于同一量級(jí)，但相對(duì)不確定度前者比后者大一個(gè)量級(jí)。顯然，一個(gè)測(cè)量值的有效數(shù)字位數(shù)愈多，最后一位上的不確定量對(duì)整個(gè)測(cè)量值的影響就愈小，這個(gè)數(shù)所反映的相對(duì)不確定度就愈小。（2）有效數(shù)字與相對(duì)不確定度的關(guān)系。所以，我們可以這樣來(lái)表述有效數(shù)字與不確定度的關(guān)系：有效數(shù)字中欠準(zhǔn)位所在位置反映了不確定度的大小。我們知道，有效數(shù)字的前若干位都是準(zhǔn)確數(shù)，只有最后一位是欠準(zhǔn)的，而誤差就發(fā)生在這一位上。下面我們就來(lái)分析一下怎樣通過(guò)有效數(shù)字來(lái)反映不確定度的情況。那么，有效數(shù)字與普通的數(shù)字相比，究竟有什么不同呢?我們知道，對(duì)普通的數(shù)學(xué)意義上的數(shù)字而言，==，但是，對(duì)物理實(shí)驗(yàn)中的測(cè)量值而言，因?yàn)榧词拐J(rèn)為它們有相同的數(shù)值大小，它們的準(zhǔn)確度不同，或者說(shuō)，它們的測(cè)量誤差不同。此可見(jiàn)，有效數(shù)字總是由若干位準(zhǔn)確數(shù)和最后一位欠準(zhǔn)數(shù)（可疑數(shù)）構(gòu)成的，所以有效數(shù)字的位數(shù)就等于全部的準(zhǔn)確數(shù)的位數(shù)加l。這樣。顯然前三位是按米尺的刻度直接讀出的，是可靠的，準(zhǔn)確的。我們把正確和有效地表示測(cè)量結(jié)果（即大小與不確定度）的數(shù)字稱(chēng)為有效數(shù)字。解 1．2 有效數(shù)字與測(cè)量結(jié)果的表述 有效數(shù)字及其運(yùn)算1）有效數(shù)字的概念物理實(shí)驗(yàn)離不開(kāi)物理量的測(cè)量，直接測(cè)量需要記錄數(shù)據(jù)，間接測(cè)量既要記錄數(shù)據(jù)，又要進(jìn)行數(shù)據(jù)的運(yùn)算。 以上所述的加減運(yùn)算或乘除運(yùn)算，均指獨(dú)立測(cè)量量間的運(yùn)算，若是稍復(fù)雜些的四則運(yùn)算，或一般的函數(shù)運(yùn)算，則應(yīng)根據(jù)式（19）、（20）和（21）、（22）進(jìn)行運(yùn)算。② 和差的不確定度的平方總是等于參與運(yùn)算的各量的不確定度的平方和。例1．1 用不確定度的方和根合成法推導(dǎo)加減運(yùn)算和乘除運(yùn)算的不確定度的合成公式解（1）設(shè)，則，應(yīng)有，而（2）設(shè)，則，仍有，而（3）設(shè)，則，應(yīng)有，而或 因 故 （4）設(shè),則，應(yīng)有而 或 故 一般函數(shù)的不確定度合成公式也可用相類(lèi)似的方法得到，現(xiàn)將一些常用的不確定度的方和根合成公式列入表l－1中。② 根據(jù)函數(shù)關(guān)系寫(xiě)出的全微分式（16）。即用以下兩個(gè)公式計(jì)算問(wèn)接測(cè)量量的不確定度和相對(duì)不確定度，即 （21） （22）為較科學(xué)地反映實(shí)驗(yàn)中的誤差和不確定度情況，考慮到物理實(shí)驗(yàn)是基礎(chǔ)課程的特殊性，建議一般采用方和根合成法計(jì)算間接測(cè)量量的不確定度。對(duì)儀器精度較高，系統(tǒng)誤差較小的實(shí)驗(yàn)，考慮不確定度的合成時(shí)，則應(yīng)注意到，事實(shí)上各分項(xiàng)誤差的符號(hào)總有正有負(fù)，它們傳遞給間接測(cè)量量時(shí)總會(huì)抵消一部分，所以，上面的不確定度合成公式夸大了間接測(cè)量量的不確定度。一般適用于儀器較粗糙，實(shí)驗(yàn)精確度較低，系統(tǒng)誤差較大的實(shí)驗(yàn)。（1）不確定度的絕對(duì)值合成法——不確定度合成公式之一。若先對(duì)式（15）取自然對(duì)數(shù)后再全微分，則同理可得 （18）上式可視為相對(duì)誤差的基本傳遞公式。當(dāng)各直接測(cè)量量的絕對(duì)誤差分別是時(shí)，間接測(cè)量量的誤差如何呢?為回答這一問(wèn)題，可考慮對(duì)上式進(jìn)行全微分，即 （16）眾所周知，上式的數(shù)學(xué)意義是當(dāng)分別有微小偏差時(shí)，有相應(yīng)的偏差。顯然，將各直接測(cè)量的結(jié)果（多次測(cè)量的平均值或單次測(cè)量的測(cè)量值）代入相應(yīng)的測(cè)量公式就可得到所謂“間接測(cè)量的結(jié)果”。即 （13）當(dāng)待測(cè)量有公認(rèn)值或理論值時(shí)，為衡量實(shí)驗(yàn)結(jié)果的優(yōu)劣，可將測(cè)量值與公認(rèn)值或理論值進(jìn)行比較，用百分誤差表示實(shí)驗(yàn)的誤差情況，可寫(xiě)為即 與誤差情況類(lèi)似，為了更全面、準(zhǔn)確地反映實(shí)驗(yàn)的精度，還需考慮“相對(duì)不確定度”，它實(shí)際上就是相對(duì)誤差范圍的估計(jì)值。6）相對(duì)誤差與相對(duì)不確定度上面所講的標(biāo)準(zhǔn)誤差、儀器誤差等都是以誤差的絕對(duì)大小來(lái)反映誤差情況的，它們與被測(cè)量有相同的單位，稱(chēng)為絕對(duì)誤差。另外，多次測(cè)量后如果測(cè)量列中各數(shù)據(jù)基本一樣或完全相同。對(duì)單次測(cè)量，不存在不確定度的A類(lèi)分量，而B(niǎo)類(lèi)分量可取為儀器的最大誤差，為 （12）有時(shí)，式（12）算出的單次測(cè)量的不確定度可能會(huì)小于用式（11）算出的多次測(cè)量的不確定度，但這并非說(shuō)明單次測(cè)量反而比多次測(cè)量準(zhǔn)確。 （8）① 多次測(cè)量的不確定度計(jì)算。不確定度8類(lèi)分量：指不能用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算而需用其他方法估算的分量，用表示。（2）直接測(cè)量量的不確定度計(jì)算。誤差是指測(cè)量值與真值之差，一般來(lái)說(shuō)，它是未知的，無(wú)法確切表達(dá)的量。不確定度亦可理解為，一定置信概率下誤差限的絕對(duì)值，記作△。所謂不確定度，簡(jiǎn)單理解就是測(cè)量值不確定的程度，是對(duì)測(cè)量誤差大小取值的測(cè)度，或者說(shuō)，是對(duì)待測(cè)量的真值的可能范圍的估計(jì)。但我們通過(guò)實(shí)驗(yàn)無(wú)法真正得到真值，我們能得到的，只是真值的最佳近似值，這一方面說(shuō)明實(shí)驗(yàn)中必然存在誤差，另一方面同時(shí)說(shuō)明了誤差也并不能通過(guò)實(shí)驗(yàn)或計(jì)算而準(zhǔn)確得到?？梢宰C明，服從均勻分布的儀器的最大誤差所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為 （7）5）直接測(cè)量量的不確定度的分析（1）不確定度的概念。如果要較細(xì)致地分析儀器誤差，則應(yīng)注意到一般測(cè)量時(shí)儀器誤差的概率分布規(guī)律呈現(xiàn)圖1—4所示的均勻分布特征。對(duì)一些連續(xù)刻度的儀器，儀器的最大誤差常簡(jiǎn)單取作最小刻度的一半。所謂儀器的最大誤差就是指在正確使用儀器的條件下，測(cè)量值的最大誤差，它一般同時(shí)包含著系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差兩種成分。同時(shí)，單次測(cè)量也不存在所謂數(shù)據(jù)的發(fā)散性問(wèn)題，但這絕不意味著單次測(cè)量不存在誤差。4）單次測(cè)量的誤差估計(jì)在實(shí)際測(cè)量中，經(jīng)常會(huì)遇到?jīng)]有必要或不可能對(duì)某一被測(cè)物理量進(jìn)行多次測(cè)量的情況，這時(shí)我們就對(duì)待測(cè)量進(jìn)行單次測(cè)量。由上式可知，隨著測(cè)量次數(shù)的增加，將減小，這就是通常所說(shuō)的增加測(cè)量次數(shù)可以減少隨機(jī)誤差的意義所在。因而只能用各測(cè)量值與算術(shù)平均值之差（稱(chēng)為殘差）來(lái)估計(jì)誤差。當(dāng)測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差為時(shí)，該測(cè)量列中各測(cè)量值的誤差很可能都不等于，但可以證明，該測(cè)量列中任一測(cè)量值的隨機(jī)誤差落在區(qū)間內(nèi)的幾率為68．3%。由此可見(jiàn)，這一特征量可用來(lái)反映一組測(cè)量數(shù)據(jù)的重復(fù)性的好壞（精密度的高低），即隨機(jī)誤差的大小，故將定義為這組測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差。圖1－3表示的是不同值時(shí)圖線。那么，應(yīng)如何表示測(cè)量中的隨機(jī)誤差呢?目前，最通用的方法是采用與隨機(jī)誤差的正態(tài)分布函數(shù)密切相關(guān)的“標(biāo)準(zhǔn)誤差”來(lái)表示隨機(jī)誤差。此結(jié)論也適用于隨機(jī)誤差遵從其他分布規(guī)律的情況。設(shè)測(cè)量中的系統(tǒng)誤差可忽略，每次測(cè)量的隨機(jī)誤差分別為則 上式中的顯然為次測(cè)量值的算術(shù)平均值，即 （3）按隨機(jī)誤差的抵償性，時(shí)，因此，由此可見(jiàn)，在測(cè)量次數(shù)充分多時(shí)測(cè)量列的算術(shù)平均值趨向于真值。即2）測(cè)量結(jié)果的最佳值——算術(shù)平均值在測(cè)量不可避免地存在隨機(jī)誤差的情況下，每次測(cè)量值各有差異，那么，怎樣的測(cè)量值是最接近于真值的最佳值呢?我們可以利用上面所討論的隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律來(lái)分析怎樣確定測(cè)量結(jié)果的最佳值。（4） 抵償性。（3） 有界性。（2） 對(duì)稱(chēng)性。 圖１2可以證明：這種分布稱(chēng)為正態(tài)分布（高斯分布），其中的為分布函數(shù)的特征量，其值為服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差具有以下一些特征：（1） 單峰性。1）隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律如前所述，就每一次測(cè)量而言，其隨機(jī)誤差的大小和符號(hào)都是不可預(yù)知的，具有“偶然性”或“隨機(jī)性”。 直接測(cè)量的結(jié)果及不確定度的分析在直接對(duì)一個(gè)物理量進(jìn)行測(cè)量時(shí)，測(cè)量值中往往同時(shí)存在系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。圖1－1所示子彈打靶時(shí)的著彈點(diǎn)的分布情況可形象地說(shuō)明上述三個(gè)量的意義。（2）正確度——表示測(cè)量結(jié)果與真值相接近的程度，它描述了測(cè)量結(jié)果的正確性的高低，反映了測(cè)量中系統(tǒng)誤差的大小程度，所謂測(cè)量的正確度高就是指最后的測(cè)量結(jié)果與真值的偏差小，即系統(tǒng)誤差?。ǖS機(jī)