【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 與真值之差，一般來(lái)說(shuō)，它是未知的，無(wú)法確切表達(dá)的量。而不確定度是指誤差可能存在的范圍，這一范圍的大小能夠用數(shù)值表達(dá)。（2）直接測(cè)量量的不確定度計(jì)算。為綜合考慮實(shí)驗(yàn)中的各種誤差情況，通常將不確定度分為兩類(lèi)分量：不確定度A類(lèi)分量：指多次重復(fù)測(cè)量后用統(tǒng)計(jì)方法算出的分量，用表示。不確定度8類(lèi)分量：指不能用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算而需用其他方法估算的分量，用表示。當(dāng)兩類(lèi)不確定度都存在時(shí)，總不確定度為它們的方和根合成。 （8）① 多次測(cè)量的不確定度計(jì)算。在物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，當(dāng)對(duì)某一物理量進(jìn)行多次直接測(cè)量后，我們約定取 （9） （10）即取多次重復(fù)測(cè)量的平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差為不確定度A類(lèi)分量，取儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差為不確定度B類(lèi)分量，則 （11） ② 單次測(cè)量的不確定度計(jì)算。對(duì)單次測(cè)量，不存在不確定度的A類(lèi)分量，而B(niǎo)類(lèi)分量可取為儀器的最大誤差，為 （12）有時(shí)，式（12）算出的單次測(cè)量的不確定度可能會(huì)小于用式（11）算出的多次測(cè)量的不確定度，但這并非說(shuō)明單次測(cè)量反而比多次測(cè)量準(zhǔn)確。實(shí)際上，兩者的“置信概率”不等，即在所計(jì)算出的不確定度內(nèi)包含真值的概率不等。另外，多次測(cè)量后如果測(cè)量列中各數(shù)據(jù)基本一樣或完全相同。這并不能說(shuō)明測(cè)量得非常準(zhǔn)確，以至于不存在不確定度的A類(lèi)分量，而只說(shuō)明儀器的精度太低，多次測(cè)量已沒(méi)有意義，在這種情況下取是合理的選擇。6）相對(duì)誤差與相對(duì)不確定度上面所講的標(biāo)準(zhǔn)誤差、儀器誤差等都是以誤差的絕對(duì)大小來(lái)反映誤差情況的，它們與被測(cè)量有相同的單位，稱(chēng)為絕對(duì)誤差。但是，為了更全面地評(píng)定測(cè)量結(jié)果的優(yōu)劣，還需考慮這一絕對(duì)誤差對(duì)測(cè)量值本身的大小產(chǎn)生的相對(duì)影響，為此，引入相對(duì)誤差的概念。即 （13）當(dāng)待測(cè)量有公認(rèn)值或理論值時(shí)，為衡量實(shí)驗(yàn)結(jié)果的優(yōu)劣，可將測(cè)量值與公認(rèn)值或理論值進(jìn)行比較，用百分誤差表示實(shí)驗(yàn)的誤差情況，可寫(xiě)為即 與誤差情況類(lèi)似，為了更全面、準(zhǔn)確地反映實(shí)驗(yàn)的精度，還需考慮“相對(duì)不確定度”，它實(shí)際上就是相對(duì)誤差范圍的估計(jì)值。即 （14） 間接測(cè)量的結(jié)果與不確定度的合成1）間接測(cè)量的結(jié)果與誤差的傳遞物理實(shí)驗(yàn)中的大部分物理量都需由間接計(jì)算得到，即在直接測(cè)量的基礎(chǔ)上，通過(guò)一定的函數(shù)運(yùn)算得到。顯然，將各直接測(cè)量的結(jié)果（多次測(cè)量的平均值或單次測(cè)量的測(cè)量值）代入相應(yīng)的測(cè)量公式就可得到所謂“間接測(cè)量的結(jié)果”。用表示各獨(dú)立的直接測(cè)量量，表示間接測(cè)量量，則可表示為 （15）由于各直接測(cè)量量都帶有一定的誤差，所以在此基礎(chǔ)上得到的間接測(cè)量量也必然帶有誤差，這就是“誤差的傳遞”問(wèn)題。當(dāng)各直接測(cè)量量的絕對(duì)誤差分別是時(shí)，間接測(cè)量量的誤差如何呢?為回答這一問(wèn)題，可考慮對(duì)上式進(jìn)行全微分，即 （16）眾所周知，上式的數(shù)學(xué)意義是當(dāng)分別有微小偏差時(shí)，有相應(yīng)的偏差。由于一般情況下，誤差遠(yuǎn)小于測(cè)量值，故可將視為各直接測(cè)量量的誤差，而將視為間接測(cè)量的誤差，則有 （17）上式可視為誤差傳遞的基本公式。若先對(duì)式（15）取自然對(duì)數(shù)后再全微分，則同理可得 （18）上式可視為相對(duì)誤差的基本傳遞公式。2）間接測(cè)量量的不確定度的合成當(dāng)我們用不確定度來(lái)反映測(cè)量的誤差情況時(shí)，上面的誤差傳遞問(wèn)題實(shí)際上也就是不確定度的傳遞問(wèn)題，或者也可以說(shuō)，是不確定度的合成問(wèn)題，因?yàn)閺纳厦嬗懻摰墓絹?lái)看，間接測(cè)量量的不確定度總是由各個(gè)獨(dú)立的直接測(cè)量量的不確定度合成的，但具體的合成方法不止一種。（1）不確定度的絕對(duì)值合成法——不確定度合成公式之一。間接測(cè)量的不確定度就是對(duì)間接測(cè)量誤差的一種測(cè)度，當(dāng)我們不知道各直接測(cè)量量的誤差的符號(hào)時(shí)，為避免對(duì)間接測(cè)量的誤差估算不足，最保險(xiǎn)的辦法是將式（17）或式（18）中各項(xiàng)取絕對(duì)值，分別用不確定度替換誤差由此得到的不確定度的合成公式為 （19） （20）這種合成過(guò)程計(jì)算較簡(jiǎn)便，但計(jì)算結(jié)果往往偏大。一般適用于儀器較粗糙，實(shí)驗(yàn)精確度較低，系統(tǒng)誤差較大的實(shí)驗(yàn)。（2）不確定度的方和根合成法——不確定度合成公式之二。對(duì)儀器精度較高，系統(tǒng)誤差較小的實(shí)驗(yàn)，考慮不確定度的合成時(shí)，則應(yīng)注意到，事實(shí)上各分項(xiàng)誤差的符號(hào)總有正有負(fù)，它們傳遞給間接測(cè)量量時(shí)總會(huì)抵消一部分，所以，上面的不確定度合成公式夸大了間接測(cè)量量的不確定度。對(duì)以隨機(jī)誤差為主的不確定度的傳遞問(wèn)題，更合理的合成方法是方和根合成法。即用以下兩個(gè)公式計(jì)算問(wèn)接測(cè)量量的不確定度和相對(duì)不確定度，即 （21） （22）為較科學(xué)地反映實(shí)驗(yàn)中的誤差和不確定度情況，考慮到物理實(shí)驗(yàn)是基礎(chǔ)課程的特殊性，建議一般采用方和根合成法計(jì)算間接測(cè)量量的不確定度。計(jì)算過(guò)程分為三步：① 先分析確定各直接測(cè)量量的不確定度。② 根據(jù)函數(shù)關(guān)系寫(xiě)出的全微分式（16）。③ 用式（21）或式（22）計(jì)算N的不確定度或相對(duì)不確定度。例1．1 用不確定度的方和根合成法推導(dǎo)加減運(yùn)算和乘除運(yùn)算的不確定度的合成公式解（1）設(shè)，則，應(yīng)有，而（2）設(shè)，則，仍有，而（3）設(shè)，則，應(yīng)有，而或 因 故 （4）設(shè),則，應(yīng)有而 或 故 一般函數(shù)的不確定度合成公式也可用相類(lèi)似的方法得到，現(xiàn)將一些常用的不確定度的方和根合成公式列入表l－1中。表1－1 常用函數(shù)的不確定度傳遞公式從上面的討論中可以看出：① 對(duì)加減運(yùn)算，總是先算不確定度，而對(duì)乘除運(yùn)算，總是先算相對(duì)不確定度較方便。② 和差的不確定度的平方總是等于參與運(yùn)算的各量的不確定度的平方和。③ 積商的相對(duì)不確定度的平方總是等于參與運(yùn)算的各量的相對(duì)不確定度的平方和。 以上所述的加減運(yùn)算或乘除運(yùn)算，均指獨(dú)立測(cè)量量間的運(yùn)算，若是稍復(fù)雜些的四則運(yùn)算，或一般的函數(shù)運(yùn)算，則應(yīng)根據(jù)式（19）、（20）和（21）、（22）進(jìn)行運(yùn)算。例1．2 設(shè)，試用方和根合成法推導(dǎo)不確定度傳遞公式。解 1．2 有效數(shù)字與測(cè)量結(jié)果的表述 有效數(shù)字及其運(yùn)算1）有效數(shù)字的概念物理實(shí)驗(yàn)離不開(kāi)物理量的測(cè)量，直接測(cè)量需要記錄數(shù)據(jù)，間接測(cè)量既要記錄數(shù)據(jù)，又要進(jìn)行數(shù)據(jù)的運(yùn)算。記錄時(shí)取幾位數(shù)字，運(yùn)算后保留幾位數(shù)字，這是實(shí)驗(yàn)中面臨的一個(gè)十分重要的問(wèn)題，為了正確地反映測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，需引入有效數(shù)字的概念。我們把正確和有效地表示測(cè)量結(jié)果（即大小與不確定度）的數(shù)字稱(chēng)為有效數(shù)字。例如，我們用最小分度為1 mm的米尺去測(cè)量一物體的長(zhǎng)度，始端和米尺零線對(duì)齊， 圖1－5之間（圖1－5）。顯然前三位是按米尺的刻度直接讀出的，是可靠的，準(zhǔn)確的。最后一位是在最小分度之間估讀的，是存有誤差的，不確定的，或者說(shuō)是可疑的，盡管可疑，讀出這一位比不讀出這一位要準(zhǔn)確些，所以這一位仍是有效的。這樣。如果我們?cè)僭诘谒奈缓蠊雷x一位或幾位數(shù)字，就沒(méi)有什么實(shí)際意義了，因?yàn)榈谒奈灰咽强梢蓴?shù)字，其后面的數(shù)字將更可疑，甚至是無(wú)效的。此可見(jiàn)，有效數(shù)字總是由若干位準(zhǔn)確數(shù)和最后一位欠準(zhǔn)數(shù)（可疑數(shù)）構(gòu)成的，所以有效數(shù)字的位數(shù)就等于全部的準(zhǔn)確數(shù)的位數(shù)加l。2）有效數(shù)字的意義有效數(shù)字當(dāng)然能表示測(cè)量結(jié)果的大小，這一點(diǎn)與普通數(shù)字是一樣的。那么，有效數(shù)字與普通的數(shù)字相比，究竟有什么不同呢?我們知道，對(duì)普通的數(shù)學(xué)意義上的數(shù)字而言，==，但是，對(duì)物理實(shí)驗(yàn)中的測(cè)量值而言，因?yàn)榧词拐J(rèn)為它們有相同的數(shù)值大小，它們的準(zhǔn)確度不同，或者說(shuō)，它們的測(cè)量誤差不同?？梢?jiàn)，有效數(shù)字的意義在于，它除了具有普通數(shù)字所具有的表示測(cè)量值大小的功能外，還具有另一項(xiàng)重要的功能——反映測(cè)量結(jié)果的不確定度的情況，而這兩點(diǎn)，對(duì)一測(cè)量數(shù)據(jù)而言是缺一不可的。下面我們就來(lái)分析一下怎樣通過(guò)有效數(shù)字來(lái)反映不確定度的情況。（1）有效數(shù)字與不確定度的關(guān)系。我們知道，有效數(shù)字的前若干位都是準(zhǔn)確數(shù)，只有最后一位是欠準(zhǔn)的，而誤差就發(fā)生在這一位上。顯然，欠準(zhǔn)位在哪一位上，直接反映了測(cè)量值的不確定度的大小，兩單位相同的數(shù)字欠準(zhǔn)位愈靠前不確定度愈大；反之，不確