【文章內(nèi)容簡介】 與真值之差，一般來說，它是未知的，無法確切表達的量。而不確定度是指誤差可能存在的范圍，這一范圍的大小能夠用數(shù)值表達。（2）直接測量量的不確定度計算。為綜合考慮實驗中的各種誤差情況，通常將不確定度分為兩類分量：不確定度A類分量：指多次重復測量后用統(tǒng)計方法算出的分量，用表示。不確定度8類分量：指不能用統(tǒng)計方法計算而需用其他方法估算的分量，用表示。當兩類不確定度都存在時，總不確定度為它們的方和根合成。 （8）① 多次測量的不確定度計算。在物理實驗教學中，當對某一物理量進行多次直接測量后，我們約定取 （9） （10）即取多次重復測量的平均值的標準誤差為不確定度A類分量，取儀器的標準誤差為不確定度B類分量，則 （11） ② 單次測量的不確定度計算。對單次測量，不存在不確定度的A類分量，而B類分量可取為儀器的最大誤差，為 （12）有時，式（12）算出的單次測量的不確定度可能會小于用式（11）算出的多次測量的不確定度，但這并非說明單次測量反而比多次測量準確。實際上，兩者的“置信概率”不等，即在所計算出的不確定度內(nèi)包含真值的概率不等。另外，多次測量后如果測量列中各數(shù)據(jù)基本一樣或完全相同。這并不能說明測量得非常準確，以至于不存在不確定度的A類分量，而只說明儀器的精度太低，多次測量已沒有意義，在這種情況下取是合理的選擇。6）相對誤差與相對不確定度上面所講的標準誤差、儀器誤差等都是以誤差的絕對大小來反映誤差情況的，它們與被測量有相同的單位，稱為絕對誤差。但是，為了更全面地評定測量結(jié)果的優(yōu)劣，還需考慮這一絕對誤差對測量值本身的大小產(chǎn)生的相對影響，為此，引入相對誤差的概念。即 （13）當待測量有公認值或理論值時，為衡量實驗結(jié)果的優(yōu)劣，可將測量值與公認值或理論值進行比較，用百分誤差表示實驗的誤差情況，可寫為即 與誤差情況類似，為了更全面、準確地反映實驗的精度，還需考慮“相對不確定度”，它實際上就是相對誤差范圍的估計值。即 （14） 間接測量的結(jié)果與不確定度的合成1）間接測量的結(jié)果與誤差的傳遞物理實驗中的大部分物理量都需由間接計算得到，即在直接測量的基礎(chǔ)上，通過一定的函數(shù)運算得到。顯然，將各直接測量的結(jié)果（多次測量的平均值或單次測量的測量值）代入相應的測量公式就可得到所謂“間接測量的結(jié)果”。用表示各獨立的直接測量量，表示間接測量量，則可表示為 （15）由于各直接測量量都帶有一定的誤差，所以在此基礎(chǔ)上得到的間接測量量也必然帶有誤差，這就是“誤差的傳遞”問題。當各直接測量量的絕對誤差分別是時，間接測量量的誤差如何呢?為回答這一問題，可考慮對上式進行全微分，即 （16）眾所周知，上式的數(shù)學意義是當分別有微小偏差時，有相應的偏差。由于一般情況下，誤差遠小于測量值，故可將視為各直接測量量的誤差，而將視為間接測量的誤差，則有 （17）上式可視為誤差傳遞的基本公式。若先對式（15）取自然對數(shù)后再全微分，則同理可得 （18）上式可視為相對誤差的基本傳遞公式。2）間接測量量的不確定度的合成當我們用不確定度來反映測量的誤差情況時，上面的誤差傳遞問題實際上也就是不確定度的傳遞問題，或者也可以說，是不確定度的合成問題，因為從上面討論的公式來看，間接測量量的不確定度總是由各個獨立的直接測量量的不確定度合成的，但具體的合成方法不止一種。（1）不確定度的絕對值合成法——不確定度合成公式之一。間接測量的不確定度就是對間接測量誤差的一種測度，當我們不知道各直接測量量的誤差的符號時，為避免對間接測量的誤差估算不足，最保險的辦法是將式（17）或式（18）中各項取絕對值，分別用不確定度替換誤差由此得到的不確定度的合成公式為 （19） （20）這種合成過程計算較簡便，但計算結(jié)果往往偏大。一般適用于儀器較粗糙，實驗精確度較低，系統(tǒng)誤差較大的實驗。（2）不確定度的方和根合成法——不確定度合成公式之二。對儀器精度較高，系統(tǒng)誤差較小的實驗，考慮不確定度的合成時，則應注意到，事實上各分項誤差的符號總有正有負，它們傳遞給間接測量量時總會抵消一部分，所以，上面的不確定度合成公式夸大了間接測量量的不確定度。對以隨機誤差為主的不確定度的傳遞問題，更合理的合成方法是方和根合成法。即用以下兩個公式計算問接測量量的不確定度和相對不確定度，即 （21） （22）為較科學地反映實驗中的誤差和不確定度情況，考慮到物理實驗是基礎(chǔ)課程的特殊性，建議一般采用方和根合成法計算間接測量量的不確定度。計算過程分為三步：① 先分析確定各直接測量量的不確定度。② 根據(jù)函數(shù)關(guān)系寫出的全微分式（16）。③ 用式（21）或式（22）計算N的不確定度或相對不確定度。例1．1 用不確定度的方和根合成法推導加減運算和乘除運算的不確定度的合成公式解（1）設，則，應有，而（2）設，則，仍有，而（3）設，則，應有，而或 因 故 （4）設,則，應有而 或 故 一般函數(shù)的不確定度合成公式也可用相類似的方法得到，現(xiàn)將一些常用的不確定度的方和根合成公式列入表l－1中。表1－1 常用函數(shù)的不確定度傳遞公式從上面的討論中可以看出：① 對加減運算，總是先算不確定度，而對乘除運算，總是先算相對不確定度較方便。② 和差的不確定度的平方總是等于參與運算的各量的不確定度的平方和。③ 積商的相對不確定度的平方總是等于參與運算的各量的相對不確定度的平方和。 以上所述的加減運算或乘除運算，均指獨立測量量間的運算，若是稍復雜些的四則運算，或一般的函數(shù)運算，則應根據(jù)式（19）、（20）和（21）、（22）進行運算。例1．2 設，試用方和根合成法推導不確定度傳遞公式。解 1．2 有效數(shù)字與測量結(jié)果的表述 有效數(shù)字及其運算1）有效數(shù)字的概念物理實驗離不開物理量的測量，直接測量需要記錄數(shù)據(jù)，間接測量既要記錄數(shù)據(jù)，又要進行數(shù)據(jù)的運算。記錄時取幾位數(shù)字，運算后保留幾位數(shù)字，這是實驗中面臨的一個十分重要的問題，為了正確地反映測量結(jié)果的準確度，需引入有效數(shù)字的概念。我們把正確和有效地表示測量結(jié)果（即大小與不確定度）的數(shù)字稱為有效數(shù)字。例如，我們用最小分度為1 mm的米尺去測量一物體的長度，始端和米尺零線對齊， 圖1－5之間（圖1－5）。顯然前三位是按米尺的刻度直接讀出的，是可靠的，準確的。最后一位是在最小分度之間估讀的，是存有誤差的，不確定的，或者說是可疑的，盡管可疑，讀出這一位比不讀出這一位要準確些，所以這一位仍是有效的。這樣。如果我們再在第四位后估讀一位或幾位數(shù)字，就沒有什么實際意義了，因為第四位已是可疑數(shù)字，其后面的數(shù)字將更可疑，甚至是無效的。此可見，有效數(shù)字總是由若干位準確數(shù)和最后一位欠準數(shù)（可疑數(shù)）構(gòu)成的，所以有效數(shù)字的位數(shù)就等于全部的準確數(shù)的位數(shù)加l。2）有效數(shù)字的意義有效數(shù)字當然能表示測量結(jié)果的大小，這一點與普通數(shù)字是一樣的。那么，有效數(shù)字與普通的數(shù)字相比，究竟有什么不同呢?我們知道，對普通的數(shù)學意義上的數(shù)字而言，==，但是，對物理實驗中的測量值而言，因為即使認為它們有相同的數(shù)值大小，它們的準確度不同，或者說，它們的測量誤差不同?？梢?，有效數(shù)字的意義在于，它除了具有普通數(shù)字所具有的表示測量值大小的功能外，還具有另一項重要的功能——反映測量結(jié)果的不確定度的情況，而這兩點，對一測量數(shù)據(jù)而言是缺一不可的。下面我們就來分析一下怎樣通過有效數(shù)字來反映不確定度的情況。（1）有效數(shù)字與不確定度的關(guān)系。我們知道，有效數(shù)字的前若干位都是準確數(shù)，只有最后一位是欠準的，而誤差就發(fā)生在這一位上。顯然，欠準位在哪一位上，直接反映了測量值的不確定度的大小，兩單位相同的數(shù)字欠準位愈靠前不確定度愈大；反之，不確