【正文】 試用圖解法處理數(shù)據(jù)，從而求出彈簧的勁度系數(shù)及彈簧的原有長(zhǎng)度。問每個(gè)讀數(shù)中哪位是欠準(zhǔn)的，哪些數(shù)字是準(zhǔn)確的，所用儀器的最小刻度是怎樣的，各讀數(shù)中分別有幾位有效數(shù)字。（4）讀數(shù)瞄準(zhǔn)誤差。除了線性函數(shù)外，物理學(xué)中常用的回歸函數(shù)還有冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，相 應(yīng)的相關(guān)系數(shù)的計(jì)算比較繁瑣，可以通過計(jì)算機(jī)編程求出。這樣，對(duì)同一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，不同的人員可能取不 同的函數(shù)形式，得出不同的結(jié)果。為計(jì)算方便，可進(jìn)一步列出如下表格：所以 故 從測(cè)量數(shù)據(jù)中尋求經(jīng)驗(yàn)方程或提取參數(shù)，稱為回歸問題。例1．6 已知凹面鏡成像公式為，其中為物距，影為像距，為凹面鏡曲率半徑，測(cè)得以下表中5組數(shù)據(jù)。直線擬合的任務(wù)就是用數(shù)學(xué)分析的方法從這組觀測(cè)到的數(shù)據(jù)中求出一誤差最小的經(jīng)驗(yàn)公式，這條直線并不會(huì)通過每一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，但它將以最接近這些點(diǎn)的方式平滑地穿過它們，這才是我們所要擬合的最佳直線（見圖l－8所示）。那么，有沒有一種方法，對(duì)同一組數(shù)據(jù)擬合得到的是相同的完全客觀的結(jié)果呢，答案是肯定的，這就是最小二乘法。再如，在測(cè)加速度實(shí)驗(yàn)中可將改寫成，作出直線，由此可求出和，這樣的方法在圖解法中稱為“曲線改直”法。例如，測(cè)量某電阻的阻值隨溫度的變化情況，已知阻值與溫度成線性關(guān)系 。圖1－7（3）標(biāo)點(diǎn)與連線。（2）坐標(biāo)軸的選擇和坐標(biāo)軸單位的標(biāo)定。另一種圖線表示的是兩個(gè)無依賴關(guān)系的量之間的變化關(guān)系，例如，氣溫隨時(shí)間變化的圖線，電表的校正曲線等。物理實(shí)驗(yàn)中常用到兩種圖線，一種是表示在一定條件下兩量之間依賴關(guān)系的圖線，這種關(guān)系大都有一定的規(guī)律。能在實(shí)驗(yàn)測(cè)量后做出一張規(guī)范的數(shù)據(jù)處理表格，雖不是一件很困難的事情，但也不是一蹴而就的，需要實(shí)驗(yàn)者在實(shí)驗(yàn)過程中進(jìn)行認(rèn)真的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練。數(shù)據(jù)在列表處理時(shí)，應(yīng)遵循以下原則：（1）各欄目均應(yīng)標(biāo)明名稱和單位，單位寫在標(biāo)題欄中，不要重復(fù)記在每個(gè)數(shù)字上。再計(jì)算不確定度，顯然，這里應(yīng)先計(jì)算相對(duì)不確定度：所以 最后寫出的結(jié)果表達(dá)式為 已知金屬環(huán)的外徑，內(nèi)徑，高，求金屬環(huán)體積的測(cè)量結(jié)果表達(dá)式。如果在實(shí)驗(yàn)中要同時(shí)表示出相對(duì)不確定度，則一般情況下，我們規(guī)定相對(duì)不確定度也只取一位有效數(shù)字，只有在它的首位是l或2時(shí)才可考慮多取一位。其次，根據(jù)有效數(shù)字的基本概念，測(cè)量值的有效數(shù)字應(yīng)該由若干位準(zhǔn)確數(shù)與最后一位欠準(zhǔn)數(shù)所組成，而誤差就發(fā)生在最后的欠準(zhǔn)位上。2）測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字表述實(shí)驗(yàn)中的每一個(gè)測(cè)量值都要用有效數(shù)字表示，當(dāng)然，最終的測(cè)量結(jié)果也應(yīng)該用有效數(shù)字表述。最后需要指出的是：我們將測(cè)量結(jié)果寫成式（22）的真實(shí)含義是：待測(cè)量的真值在一定的概率水平上落在的范圍內(nèi)，或者說，區(qū)間以一定的概率包圍真值。例如： 測(cè)量結(jié)果的完整表述1）測(cè)量結(jié)果的文字表述綜上所述，在物理實(shí)驗(yàn)中，要完整地表述一個(gè)已經(jīng)測(cè)量好的物理量，應(yīng)同時(shí)指明這個(gè)物理的測(cè)量值和不確定度（當(dāng)然，一般情況下還應(yīng)注明其單位）。其中有效數(shù)字部分是l0的冪指數(shù)的系數(shù)部分。同樣，若以為單位則可寫成L=1．28l04,但決不可寫L=12800。總之一個(gè)有效數(shù)字究竟取幾位，是一件很嚴(yán)肅的事，所以，其后“0”絕不是可有可無，可多可少的?？梢宰C明：對(duì)數(shù)運(yùn)算后，其小數(shù)部分的位數(shù)可取得與真數(shù)的位數(shù)相同。例如（3）其他運(yùn)算。例如，將以下各數(shù)約簡(jiǎn)到小數(shù)點(diǎn)后第一位則有：① ② ③ ④ ⑤ ．3（2）乘除運(yùn)算。（1）加減運(yùn)算。進(jìn)行有效數(shù)字運(yùn)算的總的原則有兩條：（1）由不確定度決定有效數(shù)字（其位數(shù)及欠準(zhǔn)位位置）。所以，我們可以這樣來表述有效數(shù)字與相對(duì)不確定度的關(guān)系；有效數(shù)字的位數(shù)反映了相對(duì)不確定度的大小。例如l2．8 cm與12．84 mm相比，前者的不確定度比后者大。（1）有效數(shù)字與不確定度的關(guān)系。2）有效數(shù)字的意義有效數(shù)字當(dāng)然能表示測(cè)量結(jié)果的大小，這一點(diǎn)與普通數(shù)字是一樣的。最后一位是在最小分度之間估讀的，是存有誤差的，不確定的，或者說是可疑的，盡管可疑，讀出這一位比不讀出這一位要準(zhǔn)確些，所以這一位仍是有效的。記錄時(shí)取幾位數(shù)字，運(yùn)算后保留幾位數(shù)字，這是實(shí)驗(yàn)中面臨的一個(gè)十分重要的問題，為了正確地反映測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，需引入有效數(shù)字的概念。③ 積商的相對(duì)不確定度的平方總是等于參與運(yùn)算的各量的相對(duì)不確定度的平方和。③ 用式（21）或式（22）計(jì)算N的不確定度或相對(duì)不確定度。對(duì)以隨機(jī)誤差為主的不確定度的傳遞問題，更合理的合成方法是方和根合成法。間接測(cè)量的不確定度就是對(duì)間接測(cè)量誤差的一種測(cè)度，當(dāng)我們不知道各直接測(cè)量量的誤差的符號(hào)時(shí)，為避免對(duì)間接測(cè)量的誤差估算不足，最保險(xiǎn)的辦法是將式（17）或式（18）中各項(xiàng)取絕對(duì)值，分別用不確定度替換誤差由此得到的不確定度的合成公式為 （19） （20）這種合成過程計(jì)算較簡(jiǎn)便，但計(jì)算結(jié)果往往偏大。由于一般情況下，誤差遠(yuǎn)小于測(cè)量值，故可將視為各直接測(cè)量量的誤差，而將視為間接測(cè)量的誤差，則有 （17）上式可視為誤差傳遞的基本公式。即 （14） 間接測(cè)量的結(jié)果與不確定度的合成1）間接測(cè)量的結(jié)果與誤差的傳遞物理實(shí)驗(yàn)中的大部分物理量都需由間接計(jì)算得到，即在直接測(cè)量的基礎(chǔ)上，通過一定的函數(shù)運(yùn)算得到。這并不能說明測(cè)量得非常準(zhǔn)確，以至于不存在不確定度的A類分量，而只說明儀器的精度太低，多次測(cè)量已沒有意義，在這種情況下取是合理的選擇。在物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，當(dāng)對(duì)某一物理量進(jìn)行多次直接測(cè)量后，我們約定取 （9） （10）即取多次重復(fù)測(cè)量的平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差為不確定度A類分量，取儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差為不確定度B類分量，則 （11） ② 單次測(cè)量的不確定度計(jì)算。為綜合考慮實(shí)驗(yàn)中的各種誤差情況，通常將不確定度分為兩類分量：不確定度A類分量：指多次重復(fù)測(cè)量后用統(tǒng)計(jì)方法算出的分量，用表示。不確定度和誤差是兩個(gè)不同的概念，它們之間既有聯(lián)系，又有本質(zhì)區(qū)別。所以，80年代以來在工程技術(shù)測(cè)量、計(jì)量工作和實(shí)驗(yàn)中等各領(lǐng)域已開始根據(jù)國際計(jì)量委員會(huì)（BIPM）所通過的關(guān)于“實(shí)驗(yàn)不確定度表示的說明建議書”的精神，采用不確定度來評(píng)價(jià)測(cè)量的準(zhǔn)確性。例如，眼睛引起的瞄準(zhǔn)誤差，機(jī)械 圖14秒表在其分度值內(nèi)不能分辨引起的誤差都具有圖示的均勻分布特征。一般的計(jì)量?jī)x器上都標(biāo)明了儀器的“準(zhǔn)確度級(jí)別”，它通常是由制造工廠和計(jì)量機(jī)構(gòu)使圖13用更精確的儀器、量具經(jīng)過檢定比較后得出的，在測(cè)量時(shí)可根據(jù)準(zhǔn)確度的級(jí)別推算出儀器的最大誤差（具體內(nèi)容參見下一章）。單次測(cè)量沒有測(cè)量列，沒有算術(shù)平均值，我們只能將這一測(cè)量值本身作為真值的近似值?？梢宰C明，在這種情況下，測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差公式應(yīng)修改為 （5）上式表示的是一測(cè)量列中各測(cè)量值所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，那么各測(cè)量值的算術(shù)平均值的隨機(jī)誤差如何估算呢?如前所述，從統(tǒng)計(jì)上講應(yīng)比每一個(gè)測(cè)量值都更接近于真值，應(yīng)用誤差理論可以證明，算術(shù)平均值的隨機(jī)誤差為 （6）注意，也是一個(gè)統(tǒng)計(jì)性的特征量，%。其值為 （4）應(yīng)該指出，標(biāo)準(zhǔn)誤差和各測(cè)量值的誤差有著完全不同的意義，并不是一個(gè)具體的測(cè)量的誤差值，而是一個(gè)統(tǒng)計(jì)性的特征量。現(xiàn)在讓我們來分析式（2）中的特征量的物理意義。所以，在相同條件下進(jìn)行多次測(cè)量后，我們總是取測(cè)量列的算術(shù)平均值作為測(cè)量列的最佳近似值（最佳值），因?yàn)椋瑥慕y(tǒng)計(jì)上講，測(cè)量列的算術(shù)平均值比任何一個(gè)測(cè)量值更接近于真值。隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值隨測(cè)量次數(shù)的增加而趨向于零。絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。但理論和實(shí)踐都證明，如果對(duì)某一物理量在同一條件下進(jìn)行多次測(cè)量，則當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，這一組等精度測(cè)量數(shù)據(jù)（稱為一個(gè)測(cè)量列）其隨機(jī)誤差一般服從如圖1—2所示的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，圖中橫坐標(biāo)表示誤差，縱坐標(biāo)表示一個(gè)與該誤差出現(xiàn)的幾率相關(guān)的幾率密度函數(shù)。圖1－1圖（a）表明數(shù)據(jù)的精密度高，但正確度低，相當(dāng)于隨機(jī)誤差小而系統(tǒng)誤差大；圖（b）則表示數(shù)據(jù)的正確度高而精密度低，即系統(tǒng)誤差小而隨機(jī)誤差大；圖（c）則代表精密度和正確度都較高，即精確度高，總誤差小。（1）精密度——