【文章內(nèi)容簡介】 、極大值、極小值、拐點和漸近線等。有時需要通過計算求某一特征量，圖上還須標出被選計算點的坐標及計算結果。⑥寫圖名。在圖紙下方或空白位置寫出圖線的名稱以及某些必要的說明，要使圖線盡可能全面地反映實驗的情況。將圖紙與實驗報告訂在一起。七、實驗數(shù)據(jù)的直線擬合1．用最小二乘法進行直線擬合（1）最小二乘法作圖法雖然在數(shù)據(jù)處理中是一個很便利的方法，但是在圖線的繪制上往往會引入附加誤差，尤其在根據(jù)圖線確定常數(shù)時，這種誤差有時會很明顯。為了克服這一缺點，在數(shù)理統(tǒng)計中研究了直線擬合問題（或稱一元線性回歸問題），常用一種以最小二乘法為基礎的實驗數(shù)據(jù)處理方法。由于某些曲線的函數(shù)可以通過數(shù)學變換改寫成直線，例如對函數(shù)y＝aebx取對數(shù)得lny＝lna－bx，lny與x的函數(shù)關系就變成了直線型了，因此，這一方法也適用于這類曲線型的情況。設在某一實驗中，可控制的物理量取x1，x2，…，xn值時，對應的物理量依次取y1，y2，…，yn值。假定對xi值的觀察誤差很小，可以忽略，而主要誤差都出現(xiàn)在yi的觀測上。直線擬合實際上就是用數(shù)學分析的方從這些觀測到的實驗數(shù)據(jù)中求出一個誤差最小的最佳經(jīng)驗式y(tǒng)＝a＋bx。按這一最佳經(jīng)驗式做出的圖線雖不一定能夠通過每一個實驗點，但卻是以最接近這些實驗點的方式平滑地穿過實驗點的。對應于每一個xi值，觀測值yi和最佳經(jīng)驗公式的y值之間存在的偏差Δyi被稱為觀測值yi的殘差，即 （）最小二乘法的原理是：若各觀測值yi的誤差互相獨立且服從統(tǒng)一正態(tài)分布，當yi的殘差的平方和為最小時，即得到最佳經(jīng)驗公式。根據(jù)這一原理可求出常數(shù)a和b。設以S表示Δyi的平方和，它應滿足 （）， （）既， （）其解為 （） （）將得出a和b代入直線方程，即得到最佳的經(jīng)驗公式y(tǒng)＝a＋bx。下面給出相關系數(shù)r的定義： （）式中。當x和y兩者互相獨立時，Δxi和Δyi的取值和符號彼此無關（即無相關性），此時，即r＝0在直線擬合中，x和y一般并不互相獨立，這時Δxi和Δyi的取值和符號就不再無關而是有關（即有相關性）的。例如，若函數(shù)形式為x＋y＝0，即y＝177。x，Δx和Δy之間就有Δy＝177。Δx的關系，將這一關系代入（）式，可得 由此可見，相關系數(shù)表征了兩個物理量之間對于線性關系的符合程度。r愈接近1，yi和xi間線性關系愈好。，就表示實驗數(shù)據(jù)的線性關系良好，各實驗點聚集在一條直線附近。相反，相關系數(shù)r＝0或趨近于零，說明實驗數(shù)據(jù)很分散，yi和xi間互相獨立，無線性關系。因此，用直線擬合法處理實驗數(shù)據(jù)時常常要計算相關系數(shù)，以考察兩個物理量之間是否存在線性關系以及對線性關系的符合程度。（2）直線擬合結果的表示上面介紹了用最小二乘法進行直線擬合時求經(jīng)驗公式中常數(shù)a、b以及相關系數(shù)r的方法。用這種方法計算的常數(shù)值a和b可以說是“最佳的”，但并不是沒有誤差，它們的誤差估算比較復雜，這里只給出計算公式，不介紹其推導。由于y的殘差平方和s＝∑[yi－（a＋bxi）]2是隨數(shù)據(jù)個數(shù)的增加而增加的，不能很直觀地反映出擬合直線與實驗數(shù)據(jù)（xi，yi）的符合程度，因此，通常用應變量的標準差Sy作為表征擬合直線與實驗數(shù)據(jù)點（xi，yi）的符合程度的一個參量，即 （）截距a和斜率b的標準差分別為 （） （）在多數(shù)情況下，對于直線擬合結果的表示只要求計算A類不確定度Ua,A和Ub,A，結果寫成a＝a0177。Ua,A和b＝b0177。Ub,A的形式（a0、b0為由式（）和（）求出的a、b的具體值），即簡化地將A類分量Ua,A和Ub,A作為總的不確定度Ua和Ub。Ua,A和Ub,A分別由下式計算： （） （）式中，（v）、自由度為v時的t分布因子。自由度v等于擬合時的方程數(shù)目（即數(shù)據(jù)點的個數(shù)）n減去待求未知量的個數(shù)（即2），也就是。應變量yi一般是直接測量量。設測量儀器的誤差限值為Δy儀，當標準差sy顯著小于1/2Δy儀時，A類不確定度可能已經(jīng)不是截距a和斜率b的不確定度的主要分量了，在這種情況下，直線擬合結果表示的上述簡化做法就不適合了，通常需要進一步分析B類不確定度成分的影響，有關這方面進一步的詳細內(nèi)容可參閱相關參考文獻。 計算A類不確定度的t因子表（置信概率為95%）自由度123456789101520∞（v）2．用EXCEL軟件進行直線擬合具有曲線擬合功能的軟件很多，例如EXCEL，ORIGIN，MATLAB等等。EXCEL軟件是微軟OFFICE辦公套件的一個組件，一般來說，安裝了WORD軟件的計算機，也安裝了EXCEL，因此EXCEL進行直線擬合。應用EXCEL軟件提供的現(xiàn)成函數(shù)可以方便地進行直線擬合，這里只介紹三種較為簡單的方法。（1）LINEST函數(shù)LINEST函數(shù)是EXCEL軟件提供的多元回歸分析函數(shù)。直線擬合只是多元回歸的特例，所以也可以用LINEST函數(shù)進行直線擬合的截距、斜率、相關系數(shù)和應變量標準差等參量，還可以直接給出斜率標準差、截距標準差和殘差平方和等參量，是非常方便的擬合工具。在使用LINEST函數(shù)時，首先在EXCEL表格中輸入原始數(shù)據(jù)，然后在任一空白單元處鍵入函數(shù)，就可得到計算結果。 EXCEL軟件中的LINEST函數(shù)參量EXCEL函數(shù)斜率bINDEX(LINEST( y1:yn,x1:xn,1，1),1,1)截距aINDEX(LINEST( y1:yn,x1:xn,1,1),1,2)相關系數(shù)rINDEX(LINEST( y1:yn,x1:xn,1,1),3,1)^應變量標準差syINDEX(LINEST( y1:yn,x1:xn,1,1),3,2)斜率標準差sbINDEX(LINEST( y1:yn,x1:xn,1,1),2,1)截距標準差saINDEX(LINEST( y1:yn,x1:xn,1,1),2,2)殘差平方和S INDEX(LINEST( y1:yn,x1:xn,1,1),5,2)（2）直接求出擬合參量EXCEL軟件還提供了直接求出截距、斜率、相關系數(shù)和應變量標準差等擬合參量的函數(shù)。 EXCEL軟件中直接求擬合參量的函數(shù)參量EXCEL函數(shù)斜率bSLOPE(y1:yn,x1:xn)截距aINTERCEPT(y1:yn,x1:xn)相關系數(shù)rCORREL(y1:yn,x1:xn)應變量標準差sySTEYX(y1:yn,x1:xn)（3）給出擬合參數(shù)利用“圖表”功能中的“添加趨勢線”功能給出擬合參數(shù)。這種方法可以給出擬合直線的截距、斜率和相關系數(shù)等參數(shù)。具體做法如下：選定數(shù)據(jù)（xi，yi）后，使用EXCEL軟件工具欄或“插入”下拉菜單中“圖表”功能中的“XY散點圖”中的“平滑散點圖”作圖，然后將鼠標移到圖中的直線上，按鼠標右健選擇“添加趨勢線”，進而選擇“添加趨勢線”標簽中“類型”欄中的“線性”與“選項”欄中的“顯示公式”和“顯示R平方值”兩個選項，則在曲線圖中就自動添加出方程y＝a＋bx及相關系數(shù)r2。【習題】在長度測量中，用千分尺測量一個圓柱的直徑（以cm為單位），數(shù)據(jù)如下：； ； ； ； ； ，是將結果寫成。按有效位數(shù)確定規(guī)則計算下列各式：（1）＋－ （2）（3）247。 （4）推導下列公式的間接測量的不確定度或的計算公式：（1） （2）實驗一 長度的測量一、實驗目的學習游標和螺旋測微原理；正確掌握游標卡尺、螺旋測微計、讀數(shù)顯微鏡測量長度的方法；練習對測量誤差的估計和有效數(shù)字的基本運算。二、實驗儀器用具游標卡尺，螺旋測微計，讀數(shù)顯微鏡，待測物（如漆包線，小球，圓筒，集成電路塊等），計算器。游標卡尺與游標原理（1）游標卡尺圖11游標卡尺的構造如圖11所示，它主要是由主尺AB和副尺CD（一般稱游標）組成。還有內(nèi)量爪ef、外量爪EF、探尺J ，分別用于測量內(nèi)徑、外徑和深度。當主尺的零線與游標的零線對齊時，測量長度為零，這時內(nèi)、外量爪都應吻合無縫，而且探尺端與主尺端相平。圖12測量時將量爪分開，剛好卡住待測物，此時主尺零線與游標零線分開，這兩零線之間的距離L即為待測物長度。L由兩部分讀數(shù)組成：主尺毫米格讀出的整數(shù)部分L0，在主尺最后一毫米格內(nèi)的估讀小數(shù)部分⊿L，見圖12。所以，L＝ L0＋⊿L（mm）。如何比較準確地讀出⊿L，請看游標原理。（2）游標原理如果將游標等分n格，使得與主尺上的n－1格等長，以x表示游標每格長度，x′表示主尺每格長度，則有 或 （）如果主尺每格x′為1mm,游標分格數(shù)n為10，則游標每格x可由（）。這時，主尺與游標每格長度差為 mm即 mm既然是每格相差x′/n＝，那么，K格就應相差K。如果⊿L正好就是游標上K格與主尺上K格相差的結果，則⊿L就為K，所以，找出K值，就可讀出⊿L。找K值的方法是，從游標分格線上看第幾條線與主尺分格線對齊，對齊的這條線在游標上所示格數(shù)就是k值。假設是游標第七條分格線與主尺分格線對齊了，則K為7，⊿，見圖12。由于x′－x＝,，；如果將游標分為20格（n＝20），主尺格長x′仍然是1mm，則主尺與游標每格長度差x′－x應為x′/n＝，這時。、（或角）游標卡尺等不一一敘述。螺旋測微計與螺旋測微原理（1）螺旋測微計圖13又稱千分卡。比游標卡尺更精確，其量程一般為25mm。結構如圖13所示，主要部分有：1）棘輪及其旋柄，2）微分筒（也叫鼓倫）一周共刻有50個等分格，與微動螺桿相連，套在主尺上，3）固定套管，稱主尺，4）緊固夾，5）微動螺桿，6）測砧與尺架。（也有螺距1 mm而鼓輪一周刻100格的。）（2）螺旋測微原理當微分筒（即鼓倫）旋轉(zhuǎn)一周（即轉(zhuǎn)過50個分格時，（1大格）；如果微分筒只旋轉(zhuǎn)1/50周（即1個分格）；；如果微分筒旋轉(zhuǎn)了n/50周（即n個分格），則微動螺桿沿軸向前進n。當微分筒的零線與主尺零線對齊時，微動螺桿端面應與測砧相吻，這時測量長度為零。測量時，微動螺桿端面與測砧分開夾住被測物，微分筒零線與主尺零線分開，其讀數(shù)方法與游標尺讀數(shù)類似，也是用主尺讀數(shù)L0加副尺（即微分筒）讀數(shù)⊿L，即L＝L0＋⊿L。⊿L由微分筒旋轉(zhuǎn)的分格數(shù)決定。例如，⊿。＋＝。讀數(shù)顯微鏡讀數(shù)顯微鏡是利用光學顯微鏡與螺旋測微相結合的原理測量微小長度的精密儀器。如圖14所示，圖中各部分為：1）刻度盤，2）鏡筒，3）物鏡，4）鏡座，5）目鏡，6）標尺，7）轉(zhuǎn)向接頭，8）拖板，9）絲杠。讀數(shù)顯微鏡主要由兩大部分組成：（1）光學顯微系統(tǒng)：由焦距較長的物鏡（倍率1~3倍）、焦距較短的目鏡（倍率2030倍），測微分劃板、鏡筒等組成。（2）螺旋測微系統(tǒng)：由測微螺桿（螺距為1mm），毫米標尺（鏡座上的主尺），讀數(shù)鼓輪（一周100個分格，），搖柄，鏡座，轉(zhuǎn)向接頭等組成。，量程為50mm，其讀數(shù)方法與螺旋測微計類似，掌握了螺旋測微原理，再來學讀數(shù)顯微鏡是很容易的。圖14三、實驗內(nèi)容和步驟用游標卡尺測量小圓筒的內(nèi)、外徑和內(nèi)、外高度，求其體積。同一量重復測量5次，正確寫出測量結果的有效數(shù)字位數(shù)，計算個測量值的絕對平均誤差與算術平均值。用螺旋測微計量小球與漆包線直徑，重復10次，計算小球的體積，用算術平均值和單次測量的標準誤差表示測量結果。用讀數(shù)顯微鏡測量繼承電路塊中一條電路的寬度，重復5次，用算術平均值和它的標準誤差表示測量結果。測量數(shù)據(jù)均應列表記錄，表格一般由學生在預習中自擬，下表僅供初學者參考。數(shù)據(jù) 次數(shù)項目 12345內(nèi)徑R1外徑R2內(nèi)高h1外高h2測量結果 mm3表一 游標卡尺（）單位：mm表二 螺旋測微計（） 修正值_____mm。單位：mmn12345678910小球直徑d1滾包線直徑d2小球測量結果為： mm。其中， mm3， mm，表三 讀數(shù)顯微鏡（）單位：mm數(shù)據(jù) 次數(shù) 項目12345S起始讀數(shù)x1終止讀數(shù)x2測量結果為： mm。四、實驗注意事項測準長度的關鍵在于準確的讀出待測物兩端面（起點與終點）的位置坐標，一般起點定為零位，所以，在測量前量具均應校正零點，或者確定零點修正值（待測物長度為測量值與修正值之差）。當游標上同時視有兩條相鄰的刻線幾乎都與主尺對齊時，則取這兩個讀數(shù)的平均值，其平均絕對誤差取精度的1/2，標準誤差取精度的。量具不可將待測物夾得太緊，否則，不僅使待測物變形，引進誤差，而且會損壞量具與待測物表面。量具使用完畢，應松開緊固裝置，并使夾待測物的兩端面留有空隙，防止熱膨脹時損壞絲桿或量