【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 、極大值、極小值、拐點(diǎn)和漸近線(xiàn)等。有時(shí)需要通過(guò)計(jì)算求某一特征量，圖上還須標(biāo)出被選計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)及計(jì)算結(jié)果。⑥寫(xiě)圖名。在圖紙下方或空白位置寫(xiě)出圖線(xiàn)的名稱(chēng)以及某些必要的說(shuō)明，要使圖線(xiàn)盡可能全面地反映實(shí)驗(yàn)的情況。將圖紙與實(shí)驗(yàn)報(bào)告訂在一起。七、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的直線(xiàn)擬合1．用最小二乘法進(jìn)行直線(xiàn)擬合（1）最小二乘法作圖法雖然在數(shù)據(jù)處理中是一個(gè)很便利的方法，但是在圖線(xiàn)的繪制上往往會(huì)引入附加誤差，尤其在根據(jù)圖線(xiàn)確定常數(shù)時(shí)，這種誤差有時(shí)會(huì)很明顯。為了克服這一缺點(diǎn)，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中研究了直線(xiàn)擬合問(wèn)題（或稱(chēng)一元線(xiàn)性回歸問(wèn)題），常用一種以最小二乘法為基礎(chǔ)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法。由于某些曲線(xiàn)的函數(shù)可以通過(guò)數(shù)學(xué)變換改寫(xiě)成直線(xiàn)，例如對(duì)函數(shù)y＝aebx取對(duì)數(shù)得lny＝lna－bx，lny與x的函數(shù)關(guān)系就變成了直線(xiàn)型了，因此，這一方法也適用于這類(lèi)曲線(xiàn)型的情況。設(shè)在某一實(shí)驗(yàn)中，可控制的物理量取x1，x2，…，xn值時(shí)，對(duì)應(yīng)的物理量依次取y1，y2，…，yn值。假定對(duì)xi值的觀察誤差很小，可以忽略，而主要誤差都出現(xiàn)在yi的觀測(cè)上。直線(xiàn)擬合實(shí)際上就是用數(shù)學(xué)分析的方從這些觀測(cè)到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中求出一個(gè)誤差最小的最佳經(jīng)驗(yàn)式y(tǒng)＝a＋bx。按這一最佳經(jīng)驗(yàn)式做出的圖線(xiàn)雖不一定能夠通過(guò)每一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，但卻是以最接近這些實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的方式平滑地穿過(guò)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的。對(duì)應(yīng)于每一個(gè)xi值，觀測(cè)值yi和最佳經(jīng)驗(yàn)公式的y值之間存在的偏差Δyi被稱(chēng)為觀測(cè)值yi的殘差，即 （）最小二乘法的原理是：若各觀測(cè)值yi的誤差互相獨(dú)立且服從統(tǒng)一正態(tài)分布，當(dāng)yi的殘差的平方和為最小時(shí)，即得到最佳經(jīng)驗(yàn)公式。根據(jù)這一原理可求出常數(shù)a和b。設(shè)以S表示Δyi的平方和，它應(yīng)滿(mǎn)足 （）， （）既， （）其解為 （） （）將得出a和b代入直線(xiàn)方程，即得到最佳的經(jīng)驗(yàn)公式y(tǒng)＝a＋bx。下面給出相關(guān)系數(shù)r的定義： （）式中。當(dāng)x和y兩者互相獨(dú)立時(shí)，Δxi和Δyi的取值和符號(hào)彼此無(wú)關(guān)（即無(wú)相關(guān)性），此時(shí)，即r＝0在直線(xiàn)擬合中，x和y一般并不互相獨(dú)立，這時(shí)Δxi和Δyi的取值和符號(hào)就不再無(wú)關(guān)而是有關(guān)（即有相關(guān)性）的。例如，若函數(shù)形式為x＋y＝0，即y＝177。x，Δx和Δy之間就有Δy＝177。Δx的關(guān)系，將這一關(guān)系代入（）式，可得 由此可見(jiàn)，相關(guān)系數(shù)表征了兩個(gè)物理量之間對(duì)于線(xiàn)性關(guān)系的符合程度。r愈接近1，yi和xi間線(xiàn)性關(guān)系愈好。，就表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的線(xiàn)性關(guān)系良好，各實(shí)驗(yàn)點(diǎn)聚集在一條直線(xiàn)附近。相反，相關(guān)系數(shù)r＝0或趨近于零，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)很分散，yi和xi間互相獨(dú)立，無(wú)線(xiàn)性關(guān)系。因此，用直線(xiàn)擬合法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)常常要計(jì)算相關(guān)系數(shù)，以考察兩個(gè)物理量之間是否存在線(xiàn)性關(guān)系以及對(duì)線(xiàn)性關(guān)系的符合程度。（2）直線(xiàn)擬合結(jié)果的表示上面介紹了用最小二乘法進(jìn)行直線(xiàn)擬合時(shí)求經(jīng)驗(yàn)公式中常數(shù)a、b以及相關(guān)系數(shù)r的方法。用這種方法計(jì)算的常數(shù)值a和b可以說(shuō)是“最佳的”，但并不是沒(méi)有誤差，它們的誤差估算比較復(fù)雜，這里只給出計(jì)算公式，不介紹其推導(dǎo)。由于y的殘差平方和s＝∑[yi－（a＋bxi）]2是隨數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的增加而增加的，不能很直觀地反映出擬合直線(xiàn)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（xi，yi）的符合程度，因此，通常用應(yīng)變量的標(biāo)準(zhǔn)差Sy作為表征擬合直線(xiàn)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，yi）的符合程度的一個(gè)參量，即 （）截距a和斜率b的標(biāo)準(zhǔn)差分別為 （） （）在多數(shù)情況下，對(duì)于直線(xiàn)擬合結(jié)果的表示只要求計(jì)算A類(lèi)不確定度Ua,A和Ub,A，結(jié)果寫(xiě)成a＝a0177。Ua,A和b＝b0177。Ub,A的形式（a0、b0為由式（）和（）求出的a、b的具體值），即簡(jiǎn)化地將A類(lèi)分量Ua,A和Ub,A作為總的不確定度Ua和Ub。Ua,A和Ub,A分別由下式計(jì)算： （） （）式中，（v）、自由度為v時(shí)的t分布因子。自由度v等于擬合時(shí)的方程數(shù)目（即數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)）n減去待求未知量的個(gè)數(shù)（即2），也就是。應(yīng)變量yi一般是直接測(cè)量量。設(shè)測(cè)量?jī)x器的誤差限值為Δy儀，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差sy顯著小于1/2Δy儀時(shí)，A類(lèi)不確定度可能已經(jīng)不是截距a和斜率b的不確定度的主要分量了，在這種情況下，直線(xiàn)擬合結(jié)果表示的上述簡(jiǎn)化做法就不適合了，通常需要進(jìn)一步分析B類(lèi)不確定度成分的影響，有關(guān)這方面進(jìn)一步的詳細(xì)內(nèi)容可參閱相關(guān)參考文獻(xiàn)。 計(jì)算A類(lèi)不確定度的t因子表（置信概率為95%）自由度123456789101520∞（v）2．用EXCEL軟件進(jìn)行直線(xiàn)擬合具有曲線(xiàn)擬合功能的軟件很多，例如EXCEL，ORIGIN，MATLAB等等。EXCEL軟件是微軟OFFICE辦公套件的一個(gè)組件，一般來(lái)說(shuō)，安裝了WORD軟件的計(jì)算機(jī)，也安裝了EXCEL，因此EXCEL進(jìn)行直線(xiàn)擬合。應(yīng)用EXCEL軟件提供的現(xiàn)成函數(shù)可以方便地進(jìn)行直線(xiàn)擬合，這里只介紹三種較為簡(jiǎn)單的方法。（1）LINEST函數(shù)LINEST函數(shù)是EXCEL軟件提供的多元回歸分析函數(shù)。直線(xiàn)擬合只是多元回歸的特例，所以也可以用LINEST函數(shù)進(jìn)行直線(xiàn)擬合的截距、斜率、相關(guān)系數(shù)和應(yīng)變量標(biāo)準(zhǔn)差等參量，還可以直接給出斜率標(biāo)準(zhǔn)差、截距標(biāo)準(zhǔn)差和殘差平方和等參量，是非常方便的擬合工具。在使用LINEST函數(shù)時(shí)，首先在EXCEL表格中輸入原始數(shù)據(jù)，然后在任一空白單元處鍵入函數(shù)，就可得到計(jì)算結(jié)果。 EXCEL軟件中的LINEST函數(shù)參量EXCEL函數(shù)斜率bINDEX(LINEST( y1:yn,x1:xn,1，1),1,1)截距aINDEX(LINEST( y1:yn,x1:xn,1,1),1,2)相關(guān)系數(shù)rINDEX(LINEST( y1:yn,x1:xn,1,1),3,1)^應(yīng)變量標(biāo)準(zhǔn)差syINDEX(LINEST( y1:yn,x1:xn,1,1),3,2)斜率標(biāo)準(zhǔn)差sbINDEX(LINEST( y1:yn,x1:xn,1,1),2,1)截距標(biāo)準(zhǔn)差saINDEX(LINEST( y1:yn,x1:xn,1,1),2,2)殘差平方和S INDEX(LINEST( y1:yn,x1:xn,1,1),5,2)（2）直接求出擬合參量EXCEL軟件還提供了直接求出截距、斜率、相關(guān)系數(shù)和應(yīng)變量標(biāo)準(zhǔn)差等擬合參量的函數(shù)。 EXCEL軟件中直接求擬合參量的函數(shù)參量EXCEL函數(shù)斜率bSLOPE(y1:yn,x1:xn)截距aINTERCEPT(y1:yn,x1:xn)相關(guān)系數(shù)rCORREL(y1:yn,x1:xn)應(yīng)變量標(biāo)準(zhǔn)差sySTEYX(y1:yn,x1:xn)（3）給出擬合參數(shù)利用“圖表”功能中的“添加趨勢(shì)線(xiàn)”功能給出擬合參數(shù)。這種方法可以給出擬合直線(xiàn)的截距、斜率和相關(guān)系數(shù)等參數(shù)。具體做法如下：選定數(shù)據(jù)（xi，yi）后，使用EXCEL軟件工具欄或“插入”下拉菜單中“圖表”功能中的“XY散點(diǎn)圖”中的“平滑散點(diǎn)圖”作圖，然后將鼠標(biāo)移到圖中的直線(xiàn)上，按鼠標(biāo)右健選擇“添加趨勢(shì)線(xiàn)”，進(jìn)而選擇“添加趨勢(shì)線(xiàn)”標(biāo)簽中“類(lèi)型”欄中的“線(xiàn)性”與“選項(xiàng)”欄中的“顯示公式”和“顯示R平方值”兩個(gè)選項(xiàng)，則在曲線(xiàn)圖中就自動(dòng)添加出方程y＝a＋bx及相關(guān)系數(shù)r2?！玖?xí)題】在長(zhǎng)度測(cè)量中，用千分尺測(cè)量一個(gè)圓柱的直徑（以cm為單位），數(shù)據(jù)如下：； ； ； ； ； ，是將結(jié)果寫(xiě)成。按有效位數(shù)確定規(guī)則計(jì)算下列各式：（1）＋－ （2）（3）247。 （4）推導(dǎo)下列公式的間接測(cè)量的不確定度或的計(jì)算公式：（1） （2）實(shí)驗(yàn)一 長(zhǎng)度的測(cè)量一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)習(xí)游標(biāo)和螺旋測(cè)微原理；正確掌握游標(biāo)卡尺、螺旋測(cè)微計(jì)、讀數(shù)顯微鏡測(cè)量長(zhǎng)度的方法；練習(xí)對(duì)測(cè)量誤差的估計(jì)和有效數(shù)字的基本運(yùn)算。二、實(shí)驗(yàn)儀器用具游標(biāo)卡尺，螺旋測(cè)微計(jì)，讀數(shù)顯微鏡，待測(cè)物（如漆包線(xiàn)，小球，圓筒，集成電路塊等），計(jì)算器。游標(biāo)卡尺與游標(biāo)原理（1）游標(biāo)卡尺圖11游標(biāo)卡尺的構(gòu)造如圖11所示，它主要是由主尺AB和副尺CD（一般稱(chēng)游標(biāo)）組成。還有內(nèi)量爪ef、外量爪EF、探尺J ，分別用于測(cè)量?jī)?nèi)徑、外徑和深度。當(dāng)主尺的零線(xiàn)與游標(biāo)的零線(xiàn)對(duì)齊時(shí)，測(cè)量長(zhǎng)度為零，這時(shí)內(nèi)、外量爪都應(yīng)吻合無(wú)縫，而且探尺端與主尺端相平。圖12測(cè)量時(shí)將量爪分開(kāi)，剛好卡住待測(cè)物，此時(shí)主尺零線(xiàn)與游標(biāo)零線(xiàn)分開(kāi)，這兩零線(xiàn)之間的距離L即為待測(cè)物長(zhǎng)度。L由兩部分讀數(shù)組成：主尺毫米格讀出的整數(shù)部分L0，在主尺最后一毫米格內(nèi)的估讀小數(shù)部分⊿L，見(jiàn)圖12。所以，L＝ L0＋⊿L（mm）。如何比較準(zhǔn)確地讀出⊿L，請(qǐng)看游標(biāo)原理。（2）游標(biāo)原理如果將游標(biāo)等分n格，使得與主尺上的n－1格等長(zhǎng)，以x表示游標(biāo)每格長(zhǎng)度，x′表示主尺每格長(zhǎng)度，則有 或 （）如果主尺每格x′為1mm,游標(biāo)分格數(shù)n為10，則游標(biāo)每格x可由（）。這時(shí)，主尺與游標(biāo)每格長(zhǎng)度差為 mm即 mm既然是每格相差x′/n＝，那么，K格就應(yīng)相差K。如果⊿L正好就是游標(biāo)上K格與主尺上K格相差的結(jié)果，則⊿L就為K，所以，找出K值，就可讀出⊿L。找K值的方法是，從游標(biāo)分格線(xiàn)上看第幾條線(xiàn)與主尺分格線(xiàn)對(duì)齊，對(duì)齊的這條線(xiàn)在游標(biāo)上所示格數(shù)就是k值。假設(shè)是游標(biāo)第七條分格線(xiàn)與主尺分格線(xiàn)對(duì)齊了，則K為7，⊿，見(jiàn)圖12。由于x′－x＝,，；如果將游標(biāo)分為20格（n＝20），主尺格長(zhǎng)x′仍然是1mm，則主尺與游標(biāo)每格長(zhǎng)度差x′－x應(yīng)為x′/n＝，這時(shí)。、（或角）游標(biāo)卡尺等不一一敘述。螺旋測(cè)微計(jì)與螺旋測(cè)微原理（1）螺旋測(cè)微計(jì)圖13又稱(chēng)千分卡。比游標(biāo)卡尺更精確，其量程一般為25mm。結(jié)構(gòu)如圖13所示，主要部分有：1）棘輪及其旋柄，2）微分筒（也叫鼓倫）一周共刻有50個(gè)等分格，與微動(dòng)螺桿相連，套在主尺上，3）固定套管，稱(chēng)主尺，4）緊固夾，5）微動(dòng)螺桿，6）測(cè)砧與尺架。（也有螺距1 mm而鼓輪一周刻100格的。）（2）螺旋測(cè)微原理當(dāng)微分筒（即鼓倫）旋轉(zhuǎn)一周（即轉(zhuǎn)過(guò)50個(gè)分格時(shí)，（1大格）；如果微分筒只旋轉(zhuǎn)1/50周（即1個(gè)分格）；；如果微分筒旋轉(zhuǎn)了n/50周（即n個(gè)分格），則微動(dòng)螺桿沿軸向前進(jìn)n。當(dāng)微分筒的零線(xiàn)與主尺零線(xiàn)對(duì)齊時(shí)，微動(dòng)螺桿端面應(yīng)與測(cè)砧相吻，這時(shí)測(cè)量長(zhǎng)度為零。測(cè)量時(shí)，微動(dòng)螺桿端面與測(cè)砧分開(kāi)夾住被測(cè)物，微分筒零線(xiàn)與主尺零線(xiàn)分開(kāi)，其讀數(shù)方法與游標(biāo)尺讀數(shù)類(lèi)似，也是用主尺讀數(shù)L0加副尺（即微分筒）讀數(shù)⊿L，即L＝L0＋⊿L。⊿L由微分筒旋轉(zhuǎn)的分格數(shù)決定。例如，⊿。＋＝。讀數(shù)顯微鏡讀數(shù)顯微鏡是利用光學(xué)顯微鏡與螺旋測(cè)微相結(jié)合的原理測(cè)量微小長(zhǎng)度的精密儀器。如圖14所示，圖中各部分為：1）刻度盤(pán)，2）鏡筒，3）物鏡，4）鏡座，5）目鏡，6）標(biāo)尺，7）轉(zhuǎn)向接頭，8）拖板，9）絲杠。讀數(shù)顯微鏡主要由兩大部分組成：（1）光學(xué)顯微系統(tǒng)：由焦距較長(zhǎng)的物鏡（倍率1~3倍）、焦距較短的目鏡（倍率2030倍），測(cè)微分劃板、鏡筒等組成。（2）螺旋測(cè)微系統(tǒng)：由測(cè)微螺桿（螺距為1mm），毫米標(biāo)尺（鏡座上的主尺），讀數(shù)鼓輪（一周100個(gè)分格，），搖柄，鏡座，轉(zhuǎn)向接頭等組成。，量程為50mm，其讀數(shù)方法與螺旋測(cè)微計(jì)類(lèi)似，掌握了螺旋測(cè)微原理，再來(lái)學(xué)讀數(shù)顯微鏡是很容易的。圖14三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和步驟用游標(biāo)卡尺測(cè)量小圓筒的內(nèi)、外徑和內(nèi)、外高度，求其體積。同一量重復(fù)測(cè)量5次，正確寫(xiě)出測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)，計(jì)算個(gè)測(cè)量值的絕對(duì)平均誤差與算術(shù)平均值。用螺旋測(cè)微計(jì)量小球與漆包線(xiàn)直徑，重復(fù)10次，計(jì)算小球的體積，用算術(shù)平均值和單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差表示測(cè)量結(jié)果。用讀數(shù)顯微鏡測(cè)量繼承電路塊中一條電路的寬度，重復(fù)5次，用算術(shù)平均值和它的標(biāo)準(zhǔn)誤差表示測(cè)量結(jié)果。測(cè)量數(shù)據(jù)均應(yīng)列表記錄，表格一般由學(xué)生在預(yù)習(xí)中自擬，下表僅供初學(xué)者參考。數(shù)據(jù) 次數(shù)項(xiàng)目 12345內(nèi)徑R1外徑R2內(nèi)高h(yuǎn)1外高h(yuǎn)2測(cè)量結(jié)果 mm3表一 游標(biāo)卡尺（）單位：mm表二 螺旋測(cè)微計(jì)（） 修正值_____mm。單位：mmn12345678910小球直徑d1滾包線(xiàn)直徑d2小球測(cè)量結(jié)果為： mm。其中， mm3， mm，表三 讀數(shù)顯微鏡（）單位：mm數(shù)據(jù) 次數(shù) 項(xiàng)目12345S起始讀數(shù)x1終止讀數(shù)x2測(cè)量結(jié)果為： mm。四、實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng)測(cè)準(zhǔn)長(zhǎng)度的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確的讀出待測(cè)物兩端面（起點(diǎn)與終點(diǎn)）的位置坐標(biāo)，一般起點(diǎn)定為零位，所以，在測(cè)量前量具均應(yīng)校正零點(diǎn)，或者確定零點(diǎn)修正值（待測(cè)物長(zhǎng)度為測(cè)量值與修正值之差）。當(dāng)游標(biāo)上同時(shí)視有兩條相鄰的刻線(xiàn)幾乎都與主尺對(duì)齊時(shí)，則取這兩個(gè)讀數(shù)的平均值，其平均絕對(duì)誤差取精度的1/2，標(biāo)準(zhǔn)誤差取精度的。量具不可將待測(cè)物夾得太緊，否則，不僅使待測(cè)物變形，引進(jìn)誤差，而且會(huì)損壞量具與待測(cè)物表面。量具使用完畢，應(yīng)松開(kāi)緊固裝置，并使夾待測(cè)物的兩端面留有空隙，防止熱膨脹時(shí)損壞絲桿或量