【正文】 4。等)時(shí)的無(wú)窮小，即有界函數(shù)與無(wú)窮小的積是無(wú)窮小． 例1 求．解　因?yàn)閤=0，所以x是x174。x0(或x174。165。等)時(shí)的無(wú)窮小，即無(wú)窮小的積仍然是無(wú)窮?。? 性質(zhì)3 設(shè)g(x) 當(dāng)x174。x0(或x174。165。R)是x174。165。時(shí)的無(wú)窮?。⒁狻?1)一個(gè)函數(shù)f(x)是無(wú)窮小，是與自變量x的變化過(guò)程緊密相連的，因此必須指明自變量x的變化過(guò)程．(2)不要把絕對(duì)值很小的常數(shù)說(shuō)成是無(wú)窮小．無(wú)窮小表示的是一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)在自變量某個(gè)變化過(guò)程中的極限為0；而這些絕對(duì)值很小的數(shù)無(wú)論自變量是何種變化過(guò)程，其極限都不是0；只有常數(shù)0可以看成是無(wú)窮小，因?yàn)槌?shù)函數(shù)0的任何極限總是0． ２．無(wú)窮小的性質(zhì) 設(shè)f1(x),f2(x),...,fn(x)是x174。1時(shí)的無(wú)窮?。?，（２）因?yàn)?0，所以函數(shù)是當(dāng)x174。x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限為0，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)為x174。0+時(shí)的無(wú)窮大，記作lnx=165。 （４）當(dāng)x174。時(shí)的的無(wú)窮大，記作2x=+165。時(shí)，2x總?cè)≌刀鵁o(wú)限增大，所以2x是當(dāng)x174。． （３）當(dāng)x174。165。165。165。+165。, x174。1時(shí)的無(wú)窮大，記作=165。． 例如，（１）當(dāng)x174。x0時(shí)，f(x)無(wú)限增大或減小，就分別記作=+165。．注意 式中的記號(hào)“165。x0時(shí)的無(wú)窮大． 如果函數(shù)f(x)為當(dāng)x174。一、 無(wú)窮大考察函數(shù)f(x)=．由圖可知，當(dāng)x從左右兩個(gè)方向趨近于1時(shí)，|f(x)|都無(wú)限地增大． 定義1 如果當(dāng)x174。Q． 極限運(yùn)算“”與四則運(yùn)算(加、減、乘、除)可以交換次序(其中除法運(yùn)算時(shí)分母的極限必須不等于零）． 例1 求 (x2+2x3)． 解： (x2+2x3)= x2+2x3=[x]2+2x3=22+223=5． 例2 求． 解 =． 例3 求． 解 ==2． 例4 求． 解 = ==+3=6． 例5 求． 解 =． 例6 求． 解 =． 167。165。g(x)=A177。13 極限的四則運(yùn)算 和、差、積、商的極限運(yùn)算法則： 如果f(x)=A，g(x)=B，那么 1．[f(x)177。0時(shí)的極限．解　，．因而當(dāng)x174。)時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么就稱(chēng)f(x)在x0處存在左極限A，稱(chēng)數(shù)A就稱(chēng)為當(dāng)x174。)時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么就稱(chēng)f(x)在x0處存在右極限A，稱(chēng)數(shù)A就稱(chēng)為當(dāng)x174。x0時(shí)，f(x)=x的值無(wú)限趨近于x0，所以有f(x)= x= x0． (2)因?yàn)楫?dāng)x174。x0時(shí)f(x)存在極限A；數(shù)A就稱(chēng)為當(dāng)x174。x0, x174。1時(shí), y=174。1時(shí)隱含一個(gè)要求：x185。(1, 165。1時(shí)，函數(shù)y=的變化趨勢(shì)．2xyO y=1123 解　作出函數(shù)y=的圖像． 函數(shù)的定義域?yàn)?165。2時(shí)y=x+1174。x0表示x無(wú)限趨近于x0，對(duì)從哪個(gè)方向趨近沒(méi)有限制． 例4 討論當(dāng)x174。23表示x從大于x0的方向趨近于x0； (2) x174。x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限 x174。0．因此，當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)y=2x不可能無(wú)限地趨近某一個(gè)常數(shù)，即2x不存在． 結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng)f(x)和f(x)都存在并且相等為A時(shí)，f(x)存在為A，即 f(x)=A 219。165。+165。+165。時(shí)，y=1+174。1；當(dāng)x174。+165。165。165。+165。165。+165。165。+165。165。165。165。時(shí)，+1174。1，因此當(dāng)x174。165。+165。165。+165。165。165。+165。165。165。)；(2)x無(wú)限接近于某一值x0，或者說(shuō)x趨向于x0 (記作x174。)． 若數(shù)列{an}存在極限，也稱(chēng)數(shù)列{an}收斂；若數(shù)列{an}沒(méi)有極限，則稱(chēng)數(shù)列{an}發(fā)散． 注意：(1)一個(gè)數(shù)列有無(wú)極限，應(yīng)該分析隨著項(xiàng)數(shù)的無(wú)限增大，數(shù)列中相應(yīng)的項(xiàng)是否無(wú)限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)，如果這樣的數(shù)存在，那么這個(gè)數(shù)就是所論數(shù)列的極限，否則數(shù)列的極限就不存在． (2)常數(shù)數(shù)列的極限都是這個(gè)常數(shù)本身． 二、 函數(shù)的極限自變量x的變化過(guò)程：(1)x的絕對(duì)值|x|無(wú)限增大(記作x174。A, (n174。時(shí)，an174?！北硎尽皀無(wú)限增大”．有時(shí)也記作當(dāng)n174?！北硎尽盁o(wú)窮大”，“n174。)．例2 設(shè)y=u2, u=tanv, v=，試把y表示為x的函數(shù)．解 y=u2=tan2v=tan2． 復(fù)合函數(shù)的中間變量可以不限于一個(gè)．例3 函數(shù)y=esinx是由哪些簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的？解 令u=sinx，則y=eu，故y=esinx是由y=eu, u=sinx復(fù)合而成的．例4 函數(shù)y=tan3（2lnx+1）是由哪些初等函數(shù)復(fù)合而成的？解 令u=tan（2lnx+1），則y=u3；再令v=2lnx+1，則u=tanv.故y=tan3（2lnx+1）是由y=u3, u=tanv, v=2lnx+1復(fù)合而成的．三、 初等函數(shù)定義2 由常數(shù)和基本初等函數(shù)，經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合而成的，并且能用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱(chēng)為初等函數(shù)．例如： 等都是初等函數(shù)．例5 分解．解 令u=sin(1+3x2)，得y=eu；再令v=1+3x2，得u=sinv．故是由y=eu, u=sinv, v=1+3x2復(fù)合而成的定義3 設(shè)a, 0,數(shù)集 x| |xa| ,x R,即實(shí)數(shù)軸上和a點(diǎn)的距離小于的點(diǎn)的全體，稱(chēng)為點(diǎn)a的鄰域，記作U（a,）,點(diǎn)a與數(shù)分別稱(chēng)為這鄰域的中心和半徑．有時(shí)用U（a）表示點(diǎn)a的一個(gè)泛指的鄰域．?dāng)?shù)集x|0|xa|,x R ,稱(chēng)為點(diǎn)的空心鄰域，記作．U（a,）=(a,a+)，小結(jié)作業(yè)167。,0)200。1)、三角函數(shù)y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx, y=secx, y=cscx和反三角函數(shù)y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx統(tǒng)稱(chēng)為基本初等函數(shù)．很多時(shí)候也把多項(xiàng)式函數(shù)y=anxn+an1xn1+...+a1x+a0看作基本初等函數(shù)．二、 復(fù)合函數(shù) 定義1 如果y是u的函數(shù)y=f(u)，而u又是x的函數(shù)u=j(x)，且j(x)的值域與y=f(u)的定義域的交非空，那么，y通過(guò)中間變量u的聯(lián)系成為x的函數(shù)，我們把這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為是由函數(shù)y=f(u)與u=j(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作y=f[j(x)]． 學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)有兩方面要求：一方面，會(huì)把幾個(gè)作為中間變量的函數(shù)復(fù)合成一個(gè)函數(shù)，這個(gè)復(fù)合過(guò)程實(shí)際上是把中間變量依次代入的過(guò)程；另一方面，會(huì)把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解為幾個(gè)較簡(jiǎn)單的函數(shù)，這些較簡(jiǎn)單的函數(shù)往往是基本初等函數(shù)或是基本初等函數(shù)與常數(shù)的四則運(yùn)算所得到的函數(shù)．例1 已知y=lnu, u=x2，試把y表示為x的函數(shù)．解 y=lnu=lnx2, x206。R)、指數(shù)函數(shù)y=ax(a0且a185。.. .. .. ..第1章 函數(shù)、極限與連續(xù) 教學(xué)過(guò)程167。11 初等函數(shù)一、 基本初等函數(shù)我們把冪函數(shù)y=xa(a206。1)、對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a0且a185。(165。(0,+165。12 極限一、 數(shù)列的極限 兩個(gè)數(shù)列： (1) (2)在數(shù)軸上表示．OxOx 11 數(shù)列(1)中的項(xiàng)無(wú)限趨近于0，數(shù)列(2)中的項(xiàng)無(wú)限趨近于1． 定義 1 當(dāng)數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，如果an無(wú)限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么就稱(chēng)這個(gè)數(shù)列存在極限A，記作=A．讀作“當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，an的極限等于A”．符號(hào)“”表示“趨向于”，“165。165。165。A，或an174。165。165。x0)． 174。時(shí)函數(shù)f(x)的極限 x174。包含以下兩種情況： (1)x取正值，無(wú)限增大，記作x174。； (2)x取負(fù)值，它的絕對(duì)值無(wú)限增大(即x無(wú)限減小)，記作x174。． 若x不指定正負(fù)，只是|x|無(wú)限增大，則寫(xiě)成x174。．1xyO1 例1 討論函數(shù)+1當(dāng)x174。和x174。時(shí)的變化趨勢(shì)． 解 作出函數(shù)+1的圖像．當(dāng)x174。和x174。時(shí)，+1174。165。1． 定義 如果當(dāng)|x|無(wú)限增大(即x174。)時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么就稱(chēng)f(x)當(dāng)x174。 時(shí)存在極限A，稱(chēng)數(shù)A為當(dāng)x174。時(shí)函數(shù)f(x)的極限，記作 類(lèi)似地，如果當(dāng)x174。(或x174。)時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么就稱(chēng)f(x)當(dāng)x174。(或x174。) 時(shí)存在極限A，稱(chēng)數(shù)A為當(dāng)x174。(或x174。)時(shí)函數(shù)f(x)的極限．記作 ．1xyO1 y=2x y=()x 例2 作出函數(shù)y=()x和y=2x的圖像，并判斷下列極限： (1) ()x；(2) 2x．解 (1) ()x =0；(2)2x =0． 例3 討論下列函數(shù)當(dāng)x174。時(shí)的極限：1xyOy=1+ (1)y=1+；(2)y=2x．解： (1)當(dāng)x174。時(shí)，y=1+174。165。1．因此，當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)y=1+無(wú)限地接近于常數(shù)1，即(1+)=1．(2) 當(dāng)x174。時(shí)，y=2x174。；當(dāng)x174。時(shí)，y=2x174。 f(x)=f(x) =A． 174。x0包含以下兩種情況： (1)x174。表示x從小于x0的方向趨近于x0．2xyOy=x+111記號(hào)x174。2時(shí)，函數(shù)y=x+1的變化趨勢(shì)． 解　作出函數(shù)y=x+1的圖像．不論x從小于2的方向趨近于2，或者從大于2的方向趨近于2，函數(shù)y=x+1的值總是隨著自變量x的變化從兩個(gè)不同的方向愈來(lái)愈接近于3 ，所以說(shuō)當(dāng)x174。3． 例5 討論當(dāng)x174。, 1)200。)，在x=1處函數(shù)沒(méi)有定義，x不論從大于1或從小于1兩個(gè)方向趨近于1時(shí)，函數(shù)y=的值是從兩個(gè)不同方向愈來(lái)愈接近于2的．我們研究當(dāng)x趨近于1函數(shù)y=的變化趨勢(shì)時(shí)，并不計(jì)較函數(shù)在x=1處是否有定義，而僅關(guān)心函數(shù)在x=1的鄰近（x）的函數(shù)值的變化趨勢(shì)，也即我們認(rèn)為在x174。1．因此，當(dāng)x174。2． 定義 如果當(dāng)x185。x0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么就稱(chēng)當(dāng)x174。x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限，記作． 例6 求下列極限： (1)f(x)=x，f(x)；(2)f(x)=C，f(x), (C為常數(shù))． 解　(1)因?yàn)楫?dāng)x174。x0時(shí)，f(x)的值恒等于C，所以有f(x)= C=C．由此可見(jiàn)，常數(shù)的極限是其本身． 　規(guī)定：(1)如果x從大于x0的方向趨近于x0(即x174。x0時(shí)，函數(shù)f(x)的右極限 ，記作； (2)如果x從小于x0的方向趨近于x0(即x174。x0時(shí)，函數(shù)f(x)的左極限 ，記作． 例7 已知函數(shù)，討論當(dāng)x174。0時(shí)f(x)的極限不存在．一般地，=A． 例8　已知，求．解　因?yàn)?，即　　　　?2，所以 　?。? 例9 已知f(x)=， 是否存在？解　當(dāng)x0時(shí)，f(x)==1；當(dāng)x0時(shí)，f(x)==1，所以函數(shù)可以分段表示為于是，即 ，所以不存在167。g(x)]=f(x) 177。B； 2．[f(x)g(x)]=f(x) g(x)=AB；特別地，Cf(x)=Cf(x)=CA，(C為常數(shù))； 3．． 說(shuō)明： 1．上述運(yùn)算法則對(duì)于x174。等其他變化過(guò)程同樣成立； 2．法則1, 2可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情況，因此只要x使函數(shù)有意義，例如下面的等式也成立： [f(x)]n=[f(x)]n，[f(x)]a=[f(x)]a, a206。14 無(wú)窮大和無(wú)窮小Oxy1x0時(shí)，函數(shù)f(x)的絕對(duì)值無(wú)限增大，那么稱(chēng)函數(shù)f(x)為當(dāng)x174。x0時(shí)的無(wú)窮大，那么它的極限是不存在的．但為了便于描述函數(shù)的這種變化趨勢(shì)，我們也說(shuō)“函數(shù)的極限是無(wú)窮大”，并記作=165?！笔且粋€(gè)記號(hào)而不是確定的數(shù)，記號(hào)的含意僅表示“f(x)的絕對(duì)值無(wú)限增大”． 如果在無(wú)窮大的定義中，對(duì)于x0左右近旁的x，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都是正的或都是負(fù)的，也即當(dāng)x174。 或=165。1時(shí)，||無(wú)限增大，所以是當(dāng)x174。． 定義可推廣到x174。,，x174。, x174。時(shí)的情形． 例如，（２）當(dāng)x174。時(shí)，|x|無(wú)限增大，所以x是當(dāng)x174。時(shí)的的無(wú)窮大，記作x=165。+165。+165。．Oxy10+時(shí)，lnx總?cè)∝?fù)值而無(wú)限減小，所以lnx是x174。． 注意　 (1)一個(gè)函數(shù)f(x)是無(wú)窮大，是與自變量x的變化過(guò)程緊密相連的，因此必須指明自變量x的變化過(guò)程． (2)不要把絕對(duì)值很大的數(shù)說(shuō)成是無(wú)窮大．無(wú)窮大表示的是一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的絕對(duì)值在自變量某個(gè)變化過(guò)程中的變化