函數(shù)奇偶性的概念(編輯修改稿)
2024-12-15 13:37 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 函數(shù)． (4) f ( x ) ＝ x2－ 1 ＋ 1 － x2的定義域是 { － 1,1 } ，關于原點對稱， 在定義域內(nèi)化簡 f ( x ) ＝ x2－ 1 ＋ 1 － x2＝ 0 ， 所以 f ( － 1) ＝ f (1) ＝ 0 ，且 f ( － 1) ＝－ f (1 ) ＝ 0 ， f ( x ) ＝ x2－ 1 ＋ 1 － x2既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)． [題后感悟 ] (1)利用定義判斷函數(shù)的奇偶性要注意以下幾點： ① 必須首先判斷 f(x)的定義域是否關于原點對稱； ② 有些函數(shù)必須根據(jù)定義域化簡后才可判斷，否則可能無法判斷或判斷錯誤．如本例 (4)中，若不化簡可能會判斷為偶函數(shù)．注意下面變式訓練中的第 (4)小題． ③ 若判斷一個函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，可以舉一個反例即可． (2)判斷函數(shù)的奇偶性，一般有以下幾種方法： ① 定義法：若函數(shù)定義域不關于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若函數(shù)定義域關于原點對稱，則應進一步判斷 f(－ x)是否等于 177。 f(x)，或判斷f(－ x)177。 f(x)是否等于 0，從而確定奇偶性． ② 圖象法：若函數(shù)圖象關于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關于 y軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)． 另外，還有如下性質可判定函數(shù)奇偶性： 偶函數(shù)的和、差、積、商 (分母不為零 )仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)，奇 (偶 )數(shù)個奇函數(shù)的積、商 (分母不為零 )為奇 (偶 )函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù)． (注：利用以上結論時要注意各函數(shù)的定義域 ) 1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1) f ( x ) ＝ x3＋ x5； (2) f ( x ) ＝2 x2＋ 2 xx ＋ 1； (3) f ( x ) ＝ | x ＋ 1| ＋ | x － 1| ； (4) f ( x ) ＝1 － x2|3 － x |－ 3. 解析： (1)函數(shù)定義域為 R. f(－ x)＝ (－ x)3＋ (－ x)5＝－ (x3＋ x5)＝－ f(x)． ∴ f(x)是奇函數(shù)． (2)函數(shù)的定義域為 {x|x≠－ 1}．不關于原點對稱， ∴ 函數(shù) f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． (3)f(x)的定義域是 R， 又 f(－ x)＝ |－ x＋ 1|＋ |－ x－ 1|＝ |x－ 1|＋ |x＋ 1|＝ f(x)， ∴ f(x)是偶函數(shù)． (4) 函數(shù) f ( x ) 的定義域為 [ － 1,0) ∪ (0,1] ，關于原點對稱， ∵ f ( x ) ＝1 － x23 － x － 3
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