函數(shù)奇偶性的概念-閱讀頁
2024-11-29 13:37本頁面
【正文】 ③ 當－ x ∈ I2時，求 f ( － x ) ，判斷 f ( － x ) 與 f ( x )的關(guān)系； ④ 結(jié)論． (2)判斷分段函數(shù)奇偶性的注意事項： ① 根據(jù)－ x所屬區(qū)間進行分類討論，只不過經(jīng)過轉(zhuǎn)化最后變成了先寫 x的所屬區(qū)間； ② f(－ x)與 f(x)需用不同分段上的解析式，因為－ x與 x所屬區(qū)間不同； ③ 定義域內(nèi)的 x值應討論全面，不能遺漏． 2. 判 斷 函 數(shù) f ( x ) ＝????? x － 1 ， x ＞ 0 ，0 ， x ＝ 0 ，x ＋ 1 ， x ＜ 0的奇偶性． 解析： 當 x＜ 0時，－ x＞ 0， f(－ x)＝－ x－ 1＝－ (x＋ 1)＝－ f(x)， 另一方面，當 x＞ 0時，－ x＜ 0， f(－ x)＝－ x＋ 1＝－ (x－ 1)＝－ f(x)， 而 f(0)＝ 0， ∴ f(x)是奇函數(shù)． 3 ．判斷函數(shù) f ( x ) ＝????? x － 2 ? x 0 ?0 ? x ＝ 0 ?－ x － 2 ? x 0 ?的奇偶性． 解析： ① 當 x0時，－ x0 f(－ x)＝－ x－ 2＝ f(x) ② 當 x0時，－ x0 f(－ x)＝－ (－ x)－ 2＝ x－ 2 ＝ f(x) ③ 當 x＝ 0時， f(－ x)＝ 0＝ f(x) ∴ f(x)是偶函數(shù)． 抽象函數(shù)奇偶性的判斷 已知函數(shù) f ( x ) 不恒為 0 ，當 x 、 y ∈ R 時，恒有 f ( x ＋ y ) ＝ f ( x ) ＋ f ( y ) ． 求證： f ( x ) 是奇函數(shù)． [解題過程 ] 函數(shù)定義域為 R，其定義域關(guān)于原點對稱． ∵ f(x＋ y)＝ f(x)＋ f(y)， ∴ 令 y＝－ x， 則 f(0)＝ f(x)＋ f(－ x)， 再令 x＝ y＝ 0， 則 f(0)＝ f(0)＋ f(0)，得 f(0)＝ 0， ∴ f(－ x)＝－ f(x)， ∴ f(x)為奇函數(shù)． [題后感悟 ] 如何判斷抽象函數(shù)的奇偶性？ ① 明確目標：判斷 f(－ x)與 f(x)的關(guān)系； ② 用賦值法在已知抽象關(guān)系中湊出 f(－ x)與 f(x),如本例中令 y＝－ x； ③用賦值法求特殊函數(shù)值，如本例中令 x＝ y＝0,求 f(0)． 4. 本例中，若將條件 “ f ( x ＋ y ) ＝ f ( x )＋ f ( y ) ” 改為 f ( x ＋ y ) ＋ f ( x － y ) ＝ 2 f ( x )f(x)① 又令 x＝ x， y＝ 0得 f(x)＋ f(x)＝ 2f(x)18
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