高三數(shù)學函數(shù)的奇偶性(編輯修改稿)
2024-12-16 00:29 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 定義域為 R. ① 當 a＝ 0時， f(x)＝ |x|， ∴ f(－ x)＝ f(x)， 此時 f(x)為偶函數(shù)． ②當 a≠0 時， ∵ f(a)＝ 0， f(－ a)＝ 2|a|， ∴ f(－ a) ≠f(a) 且 f(－ a)≠ － f(a)， 此時 f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． 綜上可知， a＝ 0時， f(x)為偶函數(shù)； a≠0 時， f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． 分數(shù)函數(shù)的奇偶性 已知函數(shù) f(x)＝ 試判斷函數(shù) f(x)的奇偶性． 【 思路點撥 】 【 自主探究 】 由題設可知函數(shù)的定義域關于原點對稱． 當 x＞ 0時，－ x＜ 0， ∴ f(x)＝ f(－ x)． 當 x＜ 0時，－ x＞ 0， ∴ f(x)＝ f(－ x)． 綜上所述，對于 x≠0 都有 f(－ x)＝ f(x)成立， ∴ f(x)為偶函數(shù)． 【 方法點評 】 分段函數(shù)奇偶性的判定步驟： (1)分析其定義域是否關于原點對稱； (2)對 x的值進行分段討論，尋求 f(x)與 f(－ x)在各段上的關系； (3)綜合 (2)在定義域內(nèi) f(－ x)與 f(x)的關系，從而判斷f(x)的奇偶性． 【 解析 】 當 x＜－ 1時， f(x)＝ x＋ 2，－ x＞ 1， ∴ f(－ x)＝－ (－ x)＋ 2＝ x＋ 2＝ f(x)． 當 x＞ 1時， f(x)＝－ x＋ 2，－ x＜－ 1， ∴ f(－ x)＝ (－ x)＋ 2＝－ x＋ 2＝ f(x)． 當－ 1≤x≤1 時， f(x)＝ 0，－ 1≤ － x≤1 ， ∴ f(－ x)＝ 0＝ f(x)． 綜上可知，對于定義域內(nèi)的每一個 x都有 f(－ x)＝ f(x)， ∴ f(x)為偶函數(shù)． 2．判斷函數(shù) f(x)＝ 抽象函數(shù)的奇偶性 已知函數(shù) f(x)對一切 x、 y∈R ， 都有 f(x＋ y)＝ f(x)＋ f(y)． (1)試判斷 f(x)的奇偶性； (2)若 f(－ 3)＝ a，用 a表示 f(12)． 【 思路點撥 】 (1)判斷 f(x)的奇偶性，即找 f(－ x)與 f(x)之間的關系， ∴ 令 y＝－ x，有 f(0)＝ f(x)＋ f(－ x)，再想法求 f(0)即可； (2)尋找 f(12)與 f(－ 3)之間的關系，注意用 (1)問的結論． 【 自主探究 】 (1)顯然 f(x)的定義域是 R，關于原點對稱． 又 ∵ 函數(shù) f(x)對一切 x、 y∈R 都有 f(x＋ y)＝ f(x)＋ f(y)， ∴ 令 x＝ y＝ 0，得 f(0)＝ 2f(0)， ∴ f(0)＝ 0. 再令 y＝－ x，得 f(0)＝ f(x)＋ f(－ x)， ∴ f(－ x)＝－ f(x)， ∴ f(x)為奇函數(shù)． (2)∵f( － 3)＝ a且 f(x)為奇函數(shù)， ∴ f(3)＝－ f(－ 3)＝－ a.
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